Ultraprodukt

Das allgemeine Verfahren zum Erhalten von Ultraprodukten verwendet einen Indexsatz I , eine Struktur M _i für jedes Element i von I (alle mit derselben Signatur ) und einen Ultrafilter U auf I . Dies hält man normalerweise für den Fall, dass I unendlich ist und U alle kofiniten Teilmengen von I enthält , dh U ist kein Haupt-Ultrafilter . Im Hauptfall ist das Ultraprodukt zu einem der Faktoren isomorph.

Algebraische Operationen am kartesischen Produkt

${\displaystyle \prod_{i\in I}M_{i}}$

sind punktweise definiert (zum Beispiel für eine binäre Funktion +, ( a + b ) _i = a _i + b _i ), und eine Äquivalenzrelation ist definiert durch a ~ b if

${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in U,}$

und das Ultraprodukt ist die Quotientenmenge bezüglich ~. Das Ultraprodukt wird daher manchmal mit bezeichnet

${\displaystyle \prod_{i\in I}M_{i}/U.}$

Man kann ein endlich additives Maß m auf der Indexmenge I definieren, indem man m ( A ) = 1 sagt, falls A ∈ U und sonst = 0. Dann sind zwei Mitglieder des kartesischen Produkts genau dann äquivalent, wenn sie fast überall auf der Indexmenge gleich sind . Das Ultraprodukt ist die Menge der so erzeugten Äquivalenzklassen.

Andere Beziehungen können auf die gleiche Weise erweitert werden:

${\displaystyle R([a^{1}],\dots,[a^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{M_{i}}(a_{i}^{ 1},\dots,a_{i}^{n})\right\}\in U,}$

wobei [ a ] die Äquivalenzklasse von a bezüglich ~ bezeichnet.

Insbesondere wenn jedes M _i ein geordnetes Feld ist , dann ist es auch das Ultraprodukt.

Eine Ultraleistung ist ein Ultraprodukt, bei dem alle Faktoren M _i gleich sind:

${\displaystyle M^{I}/U=\prod_{i\in I}M/U.\,}$

Allgemeiner gesagt kann die obige Konstruktion immer dann ausgeführt werden, wenn U ein Filter auf I ist ; das resultierende Modell${\displaystyle \prod_{i\in I}M_{i}/U}$heißt dann reduziertes Produkt .

Die hyperrealen Zahlen sind das Ultraprodukt einer Kopie der reellen Zahlen für jede natürliche Zahl, bezüglich eines Ultrafilters über die natürlichen Zahlen, die alle kofiniten Mengen enthalten. Ihre Ordnung ist die Erweiterung der Ordnung der reellen Zahlen. Zum Beispiel definiert die durch ω _i  =  i gegebene Folge ω eine Äquivalenzklasse, die eine hyperreelle Zahl darstellt, die größer als jede reelle Zahl ist.

Analog kann man nichtstandardisierte ganze Zahlen , nichtstandardisierte komplexe Zahlen usw. definieren, indem man das Ultraprodukt von Kopien der entsprechenden Strukturen nimmt.

Als Beispiel für die Übertragung von Relationen in das Ultraprodukt betrachten wir die Folge ψ definiert durch ψ _i  = 2 i . Wegen ψ _i  >  ω _i  =  i für alle i folgt, dass die Äquivalenzklasse von ψ _i  = 2 i größer ist als die Äquivalenzklasse von ω _i  =  i , sodass sie als unendliche Zahl interpretiert werden kann, die größer als . ist die ursprünglich gebaute. Aber lassen Sie χ _i  =  i für i nicht gleich 7, aber χ ₇  = 8. Die Menge der Indizes , auf die & omega; und χ einverstanden ist Mitglied einer Ultrafiltrations (weil ω und χ stimmen fast überall), so ω und χ gehören zur gleichen Äquivalenzklasse.

In der Theorie der großen Kardinäle besteht eine Standardkonstruktion darin, das Ultraprodukt des gesamten mengentheoretischen Universums in Bezug auf einen sorgfältig ausgewählten Ultrafilter U zu nehmen . Die Eigenschaften dieses Ultrafilters U haben einen starken Einfluss auf die (höheren) Eigenschaften des Ultraprodukts; zum Beispiel, wenn U ist σ -komplette, dann wird das Ultraprodukt wieder gut begründet sein. (Siehe Messbarer Kardinal für das prototypische Beispiel.)

Der Satz von Łoś, auch Fundamentalsatz der Ultraprodukte genannt , geht auf Jerzy Łoś zurück (der Nachname wird ausgesprochen[ˈwɔɕ] , ungefähr "waschen"). Sie besagt, dass jedeFormel erster Ordnung im Ultraprodukt genau dann wahr ist, wenn die Menge der Indizes i , für die die Formel in M _i gilt, ein Mitglied von U ist . Etwas präziser:

Sei σ eine Signatur, ${\displaystyle U}$ ein Ultrafilter über einem Set ${\displaystyle I}$, und für jeden ${\displaystyle i\in I}$ Lassen ${\displaystyle M_{i}}$sei eine σ -Struktur. Lassen${\displaystyle M}$ sei das Ultraprodukt der ${\displaystyle M_{i}}$ in Gedenken an ${\displaystyle U}$, das ist, ${\displaystyle M=\prod_{i\in I}M_{i}/U.}$ Dann für jeden ${\displaystyle a^{1},\ldots,a^{n}\in\prod M_{i}}$, wo ${\displaystyle a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}}$, und für jede σ -Formel${\displaystyle \phi}$,

${\displaystyle M\models \phi [[a^{1}],\ldots ,[a^{n}]]\iff \{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i} ^{1},\ldots,a_{i}^{n}]\}\in U.}$

Der Satz wird durch Induktion über die Komplexität der Formel bewiesen ${\displaystyle \phi}$. Die Tatsache, dass${\displaystyle U}$ist ein Ultrafilter (und nicht nur ein Filter) wird in der Negationsklausel verwendet, und das Auswahlaxiom wird im existenziellen Quantorenschritt benötigt. Als Anwendung erhält man das Transfertheorem für hyperreale Felder .

Beispiele

Sei R eine unäre Relation in der Struktur M und bilde die Ultrapower von M . Dann das Set${\displaystyle S=\{x\in M|Rx\}}$hat ein analoges ^* S in der Ultrapower, und Formeln erster Ordnung, die S beinhalten, gelten auch für ^* S . Seien beispielsweise M die reellen Zahlen und Rx gilt, wenn x eine rationale Zahl ist. Dann können wir in M sagen, dass für jedes Paar von rationalen Zahlen x und y eine andere Zahl z existiert, so dass z nicht rational ist und x  <  z  <  y . Da dies in der relevanten formalen Sprache in eine logische Formel erster Ordnung übersetzt werden kann, impliziert der Satz von Łoś, dass ^* S die gleiche Eigenschaft hat. Das heißt, wir können einen Begriff der hyperrationalen Zahlen definieren, die eine Teilmenge der Hyperrealen sind und dieselben Eigenschaften erster Ordnung wie die rationalen haben.

Betrachten wir jedoch die archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen, die besagt , dass es keine reelle Zahl x , so daß x  > 1, x  > 1 + 1, x  > 1 + 1 + 1, ... für jede Ungleichheit in der unendlichen Liste . Der Satz von Łoś gilt nicht für die archimedische Eigenschaft, da die archimedische Eigenschaft in der Logik erster Ordnung nicht angegeben werden kann. Tatsächlich ist die archimedische Eigenschaft für die Hyperrealen falsch, wie die Konstruktion der hyperrealen Zahl ω oben zeigt.

Für das Ultraprodukt einer Folge metrischer Räume siehe Ultralimit .

In der Modelltheorie und Mengenlehre wird oft der direkte Grenzwert einer Folge von Ultrakräften betrachtet. In der Modelltheorie kann diese Konstruktion als Ultralimit oder limitierende Ultraleistung bezeichnet werden .

Beginnend mit einer Struktur, A ₀ , und einem Ultrafilter, D ₀ , bilden sie eine Ultraleistung, A ₁ . Wiederholen Sie dann den Vorgang, um A ₂ zu bilden , und so weiter. Für jedes n gibt es eine kanonische diagonale Einbettung${\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}}$. An Grenzstufen, wie A _ω , bilden die direkten Grenzen früherer Stufen. Man kann ins Transfinite weitergehen.

• Kompaktheitssatz  – Satz
• Satz von Löwenheim–Skolem  – Mathematischer Satz
• Übertragungsprinzip  – Dass alle Aussagen einer Sprache, die für eine Struktur zutreffen, auch für eine andere Struktur gelten

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modelle und Ultraprodukte: Eine Einführung (Nachdruck der Ausgabe von 1974). Dover-Publikationen . ISBN 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. Ein Kurs in universeller Algebra (Millennium ed.).