Singularität (Mathematik)

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In der Mathematik ist eine Singularität ein Punkt, an dem ein gegebenes mathematisches Objekt nicht definiert ist, oder ein Punkt, an dem das mathematische Objekt auf eine bestimmte Weise aufhört, sich gut zu benehmen , z. B. aufgrund fehlender Differenzierbarkeit oder Analytizität . [1] [2] [3] [4]

Zum Beispiel die reelle Funktion

hat eine Singularität bei , wobei der Zahlenwert der Funktion gegen Die Funktion ist also nicht definiert. Die Absolutwertfunktionhat auch eine Singularität bei x = 0 , da sie dort nicht differenzierbar ist. [1] [5]

Die algebraische Kurve definiert durch in dem Koordinatensystem hat eine Singularität (genannt eine Spitze ) bei. Für Singularitäten in der algebraischen Geometrie siehe Singularpunkt einer algebraischen Varietät . Für Singularitäten in der Differentialgeometrie siehe Singularitätstheorie .

Echte Analyse

In der reellen Analysis sind Singularitäten entweder Diskontinuitäten oder Diskontinuitäten der Ableitung (manchmal auch Diskontinuitäten von Ableitungen höherer Ordnung). Es gibt vier Arten von Diskontinuitäten: Typ I , der zwei Untertypen hat, und Typ II , der ebenfalls in zwei Untertypen unterteilt werden kann (obwohl es normalerweise nicht der Fall ist).

Um zu beschreiben, wie diese beiden Arten von Grenzwerten verwendet werden, nehmen wir an, dass ist eine Funktion eines reellen Arguments , und für jeden Wert seines Arguments sagen wir , dann die linkshändige Grenze ,, und die rechtshändige Grenze ,, sind definiert durch:

, eingeschränkt durch und
, eingeschränkt durch .

Der Wert ist der Wert, den die Funktion tendiert als Wert Ansätze von unten und der Wert ist der Wert, den die Funktion tendiert als Wert Ansätze von oben , unabhängig davon, welchen tatsächlichen Wert die Funktion an der Stelle hat, an der .

Es gibt einige Funktionen, für die diese Grenzen überhaupt nicht existieren. Zum Beispiel die Funktion

neigt zu nichts als Ansätze . Die Grenzen sind in diesem Fall nicht unendlich, sondern eher undefiniert : Es gibt keinen Wert, dersetzt sich ein. In Anlehnung an die komplexe Analyse wird dies manchmal als wesentliche Singularität bezeichnet .

Die möglichen Fälle bei einem gegebenen Wert für das Argument sind wie folgt.

  • Ein Stetigkeitspunkt ist ein Wert von für die , wie man es für eine glatte Funktion erwartet. Alle Werte müssen endlich sein. Ob kein Stetigkeitspunkt ist, dann tritt eine Diskontinuität bei auf .
  • Eine Diskontinuität vom Typ I tritt auf, wenn beide und existieren und sind endlich, aber es trifft auch mindestens eine der folgenden drei Bedingungen zu:
    • ;
    • ist nicht definiert für den Fall von ; oder
    • hat einen definierten Wert, der jedoch nicht mit dem Wert der beiden Grenzen übereinstimmt.
    Diskontinuitäten vom Typ I können weiter als einer der folgenden Untertypen unterschieden werden:
    • Eine Sprungunstetigkeit tritt auf, wenn, egal ob definiert ist, und unabhängig von seinem Wert, wenn er definiert ist.
    • Eine entfernbare Diskontinuität tritt auf, wenn, auch unabhängig davon, ob definiert ist, und zwar unabhängig von seinem Wert, falls er definiert ist (der jedoch nicht dem der beiden Grenzen entspricht).
  • Eine Diskontinuität vom Typ II tritt auf, wenn entweder oder existiert nicht (eventuell beides). Dies hat zwei Untertypen, die normalerweise nicht separat betrachtet werden:
    • Eine unendliche Diskontinuität ist der Sonderfall, wenn entweder der linke oder der rechte Grenzwert nicht existiert, insbesondere weil er unendlich ist, und der andere Grenzwert entweder ebenfalls unendlich ist oder eine wohldefinierte endliche Zahl ist. Mit anderen Worten, die Funktion hat eine unendliche Diskontinuität, wenn ihr Graph eine vertikale Asymptote hat .
    • Eine wesentliche Singularität ist ein der komplexen Analyse entlehnter Begriff (siehe unten). Dies ist der Fall, wenn entweder die eine oder die andere Grenze oder existiert nicht, aber nicht, weil es eine unendliche Diskontinuität ist . Wesentliche Singularitäten stoßen an keine Grenze, auch nicht, wenn gültige Antworten um erweitert werden.

In der reellen Analysis ist eine Singularität oder Diskontinuität allein eine Eigenschaft einer Funktion. Alle Singularitäten, die in der Ableitung einer Funktion vorkommen können, werden als zur Ableitung gehörend betrachtet, nicht zur ursprünglichen Funktion.

Koordinatensingularitäten

Eine Koordinatensingularität tritt auf, wenn in einem Koordinatenrahmen eine scheinbare Singularität oder Diskontinuität auftritt, die durch Auswahl eines anderen Rahmens entfernt werden kann. Ein Beispiel dafür ist die scheinbare Singularität beim 90. Breitengrad in Kugelkoordinaten . Ein Objekt, das sich auf der Oberfläche einer Kugel genau nach Norden bewegt (z. . Diese Diskontinuität ist jedoch nur scheinbar; es ist ein Artefakt des gewählten Koordinatensystems, das an den Polen singulär ist. Ein anderes Koordinatensystem würde die scheinbare Diskontinuität beseitigen (z. B. durch Ersetzen der Breiten-/Längen-Darstellung durch einn -Vektordarstellung ).

Komplexe Analyse

In der komplexen Analysis gibt es mehrere Klassen von Singularitäten. Dazu gehören die isolierten Singularitäten, die nicht isolierten Singularitäten und die Verzweigungspunkte.

Isolierte Singularitäten

Angenommen, U ist eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen C , wobei der Punkt a ein Element von U ist , und dass f eine komplexe differenzierbare Funktion ist, die auf einer Umgebung um a definiert ist , ohne a : U \ { a }, dann:

  • Der Punkt a ist eine entfernbare Singularität von f, wenn es eine auf ganz U definierte holomorphe Funktion g gibt, so dass f ( z ) = g ( z ) für alle z in U \ { a } gilt. Die Funktion g ist ein stetiger Ersatz für die Funktion f . [6]
  • Der Punkt a ist ein Pol oder eine nicht-essentielle Singularität von f, wenn es eine auf U definierte holomorphe Funktion g mit g ( a ) ungleich Null und einer natürlichen Zahl n gibt, so dass f ( z ) = g ( z ) / ( za ) n für alle z in U \ { a }. Die kleinste solche Zahl n heißt Polordnung . Die Ableitung an einer nicht-essentiellen Singularität selbst hat eine nicht-essentielle Singularität, wobei n um 1 erhöht wird (außer wenn n 0 ist, damit die Singularität entfernbar ist).
  • Der Punkt a ist eine wesentliche Singularität von f, wenn er weder eine entfernbare Singularität noch ein Pol ist. Der Punkt a ist genau dann eine wesentliche Singularität, wenn die Laurent-Reihe unendlich viele Potenzen negativen Grades hat. [2]

Nicht isolierte Singularitäten

Abgesehen von isolierten Singularitäten können komplexe Funktionen einer Variablen ein anderes singuläres Verhalten aufweisen. Diese werden als nicht isolierte Singularitäten bezeichnet, von denen es zwei Arten gibt:

  • Clusterpunkte : Grenzpunkte isolierter Singularitäten. Wenn sie alle Pole sind, obwohl auf jedem von ihnen Laurent-Reihenentwicklungen zugelassen sind, ist eine solche Erweiterung an ihrer Grenze nicht möglich.
  • Natürliche Grenzen : jede nicht isolierte Menge (zB eine Kurve), auf der Funktionen nicht analytisch fortgeführt werden können (oder außerhalb von ihnen, wenn es sich um geschlossene Kurven in der Riemannschen Kugel handelt ).

Verzweigungspunkte

Verzweigungspunkte sind im Allgemeinen das Ergebnis einer mehrwertigen Funktion , wie z oder , die innerhalb einer bestimmten begrenzten Domäne definiert sind, so dass die Funktion innerhalb der Domäne einwertig gemacht werden kann. Der Schnitt ist eine Linie oder Kurve, die aus dem Bereich ausgeschlossen wird, um eine technische Trennung zwischen unstetigen Werten der Funktion einzuführen. Wenn der Schnitt wirklich erforderlich ist, weist die Funktion auf jeder Seite des Zweigschnitts deutlich unterschiedliche Werte auf. Die Form des Astschnitts ist frei wählbar, auch wenn er zwei verschiedene Astpunkte (z und Pro ) die fest montiert sind.

Endliche Singularität

Die reziproke Funktion mit hyperbolischem Wachstum .

Eine endliche Singularität tritt auf, wenn eine Eingangsvariable die Zeit ist und eine Ausgangsvariable zu einer endlichen Zeit gegen Unendlich ansteigt. Diese sind wichtig in Kinematiken und PDEs ( Partial Differential Equations ) – Infinites treten physikalisch nicht auf, aber das Verhalten in der Nähe der Singularität ist oft von Interesse. Mathematisch sind die einfachsten endlichen Singularitäten Potenzgesetze für verschiedene Exponenten der Formvon denen das einfachste hyperbolisches Wachstum ist , wobei der Exponent (negativ) 1 ist: Genauer gesagt, um mit fortschreitender Zeit eine Singularität zu einem positiven Zeitpunkt zu erhalten (so dass die Ausgabe ins Unendliche wächst), verwendet man stattdessen (mit t für Zeit, Richtungsumkehr zu so dass die Zeit ins Unendliche ansteigt und die Singularität nach vorne von 0 auf eine feste Zeit verschoben wird ).

Ein Beispiel wäre die Sprungbewegung eines unelastischen Balls auf einer Ebene. Betrachtet man eine idealisierte Bewegung, bei der bei jedem Aufprall der gleiche Anteil an kinetischer Energie verloren geht, wird die Häufigkeit des Aufpralls unendlich, da der Ball in endlicher Zeit zur Ruhe kommt. Andere Beispiele von Singularitäten in endlicher Zeit schließen die verschiedenen Formen des Paradoxons Painlevé (beispielsweise die Neigung einer Kreide zu überspringen , wenn über eine Tafel gezogen), und wie die Präzession Geschwindigkeit einer Münze auf einer flachen Oberfläche versponnen beschleunigt in Richtung unendlichdimensionalen bevor Sie abrupt anhalten (wie mit dem Spielzeug Eulersche Scheibe untersucht ).

Hypothetische Beispiele sind Heinz von Foersters scherzhafte „ Doomsday's equation “ (einfache Modelle ergeben unendlich viele Menschen in endlicher Zeit).

Algebraische Geometrie und kommutative Algebra

In der algebraischen Geometrie ist eine Singularität einer algebraischen Varietät ein Punkt der Varietät, an dem der Tangentialraum nicht regelmäßig definiert werden kann. Das einfachste Beispiel für Singularitäten sind Kurven, die sich selbst kreuzen. Aber es gibt auch andere Arten von Singularitäten, wie zum Beispiel Höcker . Zum Beispiel definiert die Gleichung y 2x 3 = 0 eine Kurve, die eine Spitze im Ursprung x = y = 0 hat . Man könnte die x- Achse an dieser Stelle als Tangente definieren , aber diese Definition kann nicht mit der Definition an anderen Punkten identisch sein. Tatsächlich ist in diesem Fall das x-axis ist eine "doppelte Tangente".

Bei affinen und projektiven Varietäten sind die Singularitäten die Punkte, an denen die Jacobi-Matrix einen niedrigeren Rang als an anderen Punkten der Varietät hat.

Eine äquivalente Definition im Sinne der kommutativen Algebra kann gegeben werden, die sich auf abstrakte Varietäten und Schemata erstreckt : Ein Punkt ist singulär, wenn der lokale Ring an diesem Punkt kein regulärer lokaler Ring ist .

Siehe auch

  • Katastrophentheorie
  • Definiert und undefiniert
  • Entartung (Mathematik)
  • Durch Null teilen
  • Hyperbolisches Wachstum
  • Pathologisch (Mathematik)
  • Singuläre Lösung
  • Abnehmbare Singularität

Referenzen

  1. ^ a b "Das endgültige Glossar des höheren mathematischen Jargons - Singularität" . Mathe-Vault . 2019-08-01 . Abgerufen 2019-12-12 .
  2. ^ a b "Singularitäten, Nullstellen und Pole" . mathfaculty.fullerton.edu . Abgerufen 2019-12-12 .
  3. ^ "Singularität | komplexe Funktionen" . Encyclopedia Britannica . Abgerufen 2019-12-12 .
  4. ^ „Singularität (Mathematik)“ . TheFreeDictionary.com . Abgerufen 2019-12-12 .
  5. ^ Berresford, Geoffrey C.; Rockett, Andrew M. (2015). Angewandte Infinitesimalrechnung . Cengage-Lernen. P. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Singularität" . mathworld.wolfram.com . Abgerufen 2019-12-12 .