Set (Mathematik)

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Eine Reihe von Polygonen in einem Euler-Diagramm

In der Mathematik ist eine Menge eine Sammlung verschiedener Elemente . [1] [2] [3] Die Elemente, aus denen eine Menge besteht, können beliebige Dinge sein: Personen, Buchstaben des Alphabets, Zahlen, Punkte im Raum, Linien, andere geometrische Formen, Variablen oder sogar andere Mengen. [4] Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente haben. [5]

Mengen sind in der modernen Mathematik allgegenwärtig. In der Tat ist die Mengenlehre , insbesondere die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre , seit der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts die Standardmethode, um strenge Grundlagen für alle Bereiche der Mathematik zu schaffen. [4]

Herkunft [ bearbeiten ]

Das Konzept einer Menge entstand Ende des 19. Jahrhunderts in der Mathematik. [6] Das deutsche Wort für Menge, Menge , wurde von Bernard Bozen in seiner Arbeit Paradoxes of the Infinite geprägt . [7] [8] [9]

Passage mit einer Übersetzung der ursprünglichen Setdefinition von Georg Cantor. Das deutsche Wort Menge für Menge wird hier mit Aggregat übersetzt .

Georg Cantor , einer der Begründer der Mengenlehre, gab zu Beginn seiner Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre folgende Definition : [10]

Eine Menge ist eine Ansammlung von bestimmten, unterschiedlichen Objekten unserer Wahrnehmung oder unseres Denkens, die als Elemente der Menge bezeichnet werden.

Naive Mengenlehre [ Bearbeiten ]

Die wichtigste Eigenschaft einer Menge ist, dass sie Elemente enthalten kann, die auch als Mitglieder bezeichnet werden . Zwei Sätze sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. Genauer gesagt sind die Mengen A und B gleich, wenn jedes Element von A ein Mitglied von B ist und jedes Element von B ein Element von A ist ; Diese Eigenschaft wird als Extensionalität von Mengen bezeichnet . [11]

Das einfache Konzept einer Menge hat sich in der Mathematik als enorm nützlich erwiesen, aber Paradoxe entstehen, wenn keine Einschränkungen hinsichtlich der Konstruktion von Mengen auferlegt werden:

  • Russells Paradoxon zeigt, dass die "Menge aller Mengen, die sich nicht enthalten ", dh { x | x ist eine Menge und xx } kann nicht existieren.
  • Cantors Paradoxon zeigt, dass "die Menge aller Mengen" nicht existieren kann.

Die naive Mengenlehre definiert eine Menge als eine genau definierte Sammlung unterschiedlicher Elemente. Probleme ergeben sich jedoch aus der Unbestimmtheit des Begriffs einer genau definierten Menge .

Axiomatische Mengenlehre [ Bearbeiten ]

In späteren Versuchen, diese Paradoxien seit der ursprünglichen Formulierung der naiven Mengenlehre aufzulösen, wurden die Eigenschaften von Mengen durch Axiome definiert . Die axiomatische Mengenlehre nimmt das Konzept einer Menge als primitiven Begriff . [12] Der Zweck der Axiome besteht darin, einen Grundrahmen bereitzustellen, aus dem die Wahrheit oder Falschheit bestimmter mathematischer Sätze (Aussagen) über Mengen unter Verwendung von Logik erster Ordnung abgeleitet werden kann . Nach Gödels Unvollständigkeitssätzen ist es jedoch nicht möglich, die Logik erster Ordnung zu verwenden, um zu beweisen, dass eine solche bestimmte axiomatische Mengenlehre frei von Paradoxien ist. [ Zitat benötigt ]

Wie Mengen definiert werden und Satznotation [ Bearbeiten ]

Mathematische Texte allgemein bezeichnen Sätze von Großbuchstaben [13] [4] [14] in kursiv , wie A , B , C . [14] [15] Eine Menge kann auch als Sammlung oder Familie bezeichnet werden , insbesondere wenn ihre Elemente selbst Mengen sind.

Semantische Definition [ Bearbeiten ]

Eine Möglichkeit, eine Menge zu definieren, besteht darin, mithilfe einer Regel zu bestimmen, um welche Elemente es sich handelt:

Sei A die Menge, deren Mitglieder die ersten vier positiven ganzen Zahlen sind .
Sei B die Farbmenge der französischen Flagge .

Eine solche Definition wird auch als semantische Beschreibung bezeichnet . [16] [17]

Dienstplannotation [ Bearbeiten ]

Die Dienstplan- oder Aufzählungsnotation definiert eine Menge, indem ihre Elemente in geschweiften Klammern aufgeführt werden , die durch Kommas getrennt sind: [18] [19] [20] [21]

A = {4, 2, 1, 3}
B = {blau, weiß, rot}.

In einer Menge ist alles, was zählt, ob jedes Element darin enthalten ist oder nicht, daher ist die Reihenfolge der Elemente in der Dienstplannotation irrelevant (im Gegensatz dazu ist in einer Sequenz , einem Tupel oder einer Permutation einer Menge die Reihenfolge der Begriffe sind wichtig). Zum Beispiel repräsentieren {2, 4, 6} und {4, 6, 2} dieselbe Menge. [22] [15] [23]

Bei Mengen mit vielen Elementen, insbesondere solchen, die einem impliziten Muster folgen, kann die Liste der Elemente mit einem Auslassungszeichen "..." abgekürzt werden . [24] [25] Beispielsweise kann die Menge der ersten tausend positiven ganzen Zahlen in der Dienstplannotation als angegeben werden

{1, 2, 3, ..., 1000}.

Unendliche Mengen in Dienstplannotation [ Bearbeiten ]

Eine unendliche Menge ist eine Menge mit einer endlosen Liste von Elementen. Um eine unendliche Menge in der Dienstplannotation zu beschreiben, wird am Ende der Liste oder an beiden Enden ein Auslassungszeichen eingefügt, um anzuzeigen, dass die Liste für immer fortbesteht. Zum Beispiel der Satz von nicht - negativen ganzen Zahlen ist

{0, 1, 2, 3, 4, ...},

und die Menge aller ganzen Zahlen ist

{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Set-Builder-Notation [ Bearbeiten ]

Die Set-Builder-Notation gibt eine Menge als Auswahl aus einer größeren Menge an, die durch eine Bedingung für die Elemente bestimmt wird. [17] [26] [27] Beispielsweise kann eine Menge F wie folgt definiert werden:

F.

In dieser Notation ist der vertikale Balken "|" bedeutet "so dass", und die Beschreibung kann interpretiert werden als " F ist die Menge aller Zahlen n, so dass n eine ganze Zahl im Bereich von 0 bis einschließlich 19 ist". Einige Autoren verwenden anstelle des vertikalen Balkens einen Doppelpunkt ":". [28]

Klassifizierungsmethoden klassifizieren [ bearbeiten ]

Die Philosophie verwendet spezifische Begriffe, um Arten von Definitionen zu klassifizieren:

  • Eine Intensionsdefinition verwendet eine Regel , um die Mitgliedschaft zu bestimmen. Beispiele sind semantische Definitionen und Definitionen in Set-Builder-Notation.
  • Eine Erweiterungsdefinition beschreibt eine Menge, indem alle ihre Elemente aufgelistet werden . [17] Solche Definitionen werden auch als Aufzählung bezeichnet .
  • Eine ostensive Definition beschreibt eine Menge anhand von Beispielen für Elemente. Ein Dienstplan mit Auslassungspunkten wäre ein Beispiel.

Mitgliedschaft [ bearbeiten ]

Wenn B eine Menge ist und x ein Element von B ist , wird dies in Kurzform als xB geschrieben , was auch als "x gehört zu B" oder "x ist in B" gelesen werden kann . [11] Die Aussage "y ist kein Element von B" wird als yB geschrieben , was auch als "y ist nicht in B" gelesen werden kann . [29] [14] [30]

Zum Beispiel in Bezug auf die Mengen A = {1, 2, 3, 4}, B = {blau, weiß, rot} und F = { n | n ist eine ganze Zahl und 0 ≤ n ≤ 19},

4 ∈ A und 12 ∈ F ; und
20 ∉ F und grünes ∉ B .

Der leere Satz [ Bearbeiten ]

Die leere Menge (oder Nullmenge ) ist die eindeutige Menge, die keine Mitglieder hat. Es wird mit ∅ oder oder {} bezeichnet. [31] [14] [32]

Singleton setzt [ bearbeiten ]

Eine Singleton-Menge ist eine Menge mit genau einem Element. Ein solcher Satz kann auch als Einheitensatz bezeichnet werden . [5] Jede solche Menge kann als { x } geschrieben werden, wobei x das Element ist. Die Menge { x } und das Element x bedeuten verschiedene Dinge; Halmos [33] zieht die Analogie, dass eine Schachtel mit einem Hut nicht mit dem Hut identisch ist.

Teilmengen [ bearbeiten ]

Wenn jedes Element des Satzes A auch in ist B , dann A wird als eine beschriebenen Teilmenge von B , oder in B enthalten ist , geschrieben AB . [34] BA bedeutet, dass B A enthält , B A enthält oder B eine Obermenge von A ist ; BA entspricht AB . [35] [14] Die Beziehung zwischen durch ⊆ festgelegten Mengen wird Einschluss oder Eindämmung genannt. Zwei Sätze gleich sind , wenn sie sich gegenseitig enthalten: AB und BA entspricht A = B . [26]

Wenn A eine Teilmenge von B ist, A jedoch nicht gleich B ist , wird A als geeignete Teilmenge von B bezeichnet . Dies kann AB geschrieben werden . Ebenso BA bedeutet , B eine richtige Superset von A ist , das heißt B enthält , A , und ist nicht auf gleich A .

Ein drittes Operatorenpaar ⊂ und ⊃ wird von verschiedenen Autoren unterschiedlich verwendet: Einige Autoren verwenden AB und BA, um zu bedeuten, dass A eine beliebige Teilmenge von B ist (und nicht unbedingt eine richtige Teilmenge), [36] [29] während andere Reservieren Sie AB und BA für Fälle, in denen A eine geeignete Teilmenge von B ist . [34]

Beispiele:

  • Die Menge aller Menschen ist eine richtige Teilmenge der Menge aller Säugetiere.
  • {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge, [31] und jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst: [36]

  • ∅ ⊆ A .
  • AA .

Euler- und Venn-Diagramme [ Bearbeiten ]

A ist eine Teilmenge von B.

Ein Euler-Diagramm ist eine grafische Darstellung einer Sammlung von Mengen. Jeder Satz wird als planare Region dargestellt, die von einer Schleife mit ihren Elementen im Inneren umschlossen ist. Wenn A eine Teilmenge von B ist , befindet sich der Bereich, der A darstellt, vollständig innerhalb des Bereichs, der B darstellt . Wenn zwei Sätze keine gemeinsamen Elemente haben, überlappen sich die Regionen nicht.

Im Gegensatz dazu ist ein Venn-Diagramm eine grafische Darstellung von n Mengen, in denen die n Schleifen die Ebene in 2 n Zonen unterteilen, so dass für jede Art der Auswahl einiger der n Mengen (möglicherweise alle oder keine) eine Zone für vorhanden ist die Elemente, die zu allen ausgewählten Mengen und keiner der anderen gehören. Wenn die Mengen beispielsweise A , B und C sind , sollte es eine Zone für die Elemente geben, die sich innerhalb von A und C und außerhalb von B befinden (auch wenn solche Elemente nicht vorhanden sind).

Spezielle Zahlenreihen in der Mathematik [ Bearbeiten ]

Die natürlichen Zahlen ℕ sind in den ganzen Zahlen ℤ enthalten, die in den rationalen Zahlen ℚ enthalten sind, die in den reellen Zahlen ℝ enthalten sind, die in den komplexen Zahlen ℂ enthalten sind

Es gibt Sätze von solcher mathematischer Bedeutung, auf die sich Mathematiker so häufig beziehen, dass sie spezielle Namen und Notationskonventionen erworben haben, um sie zu identifizieren.

Viele dieser wichtigen Mengen werden in mathematischen Texten mit Fettdruck (z. B. Z ) oder Fettdruck (z . B. ) dargestellt. [37] Dazu gehören [14]

  • N oderdie Menge aller natürlichen Zahlen : N = {0, 1, 2, 3, ...} (einige Autoren schließen 0 aus ); [37]
  • Z oderdie Menge aller ganzen Zahlen (ob positiv, negativ oder null): Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} ; [37]
  • Q oderdie Menge aller rationalen Zahlen (dh die Menge aller richtigen und unpassenden Brüche ): Q = { a / b | a , bZ , b ≠ 0} . Zum Beispiel -7/4 ∈ Q und 5 = 5/1 ∈ Q ; [37]
  • R oderdie Menge aller reellen Zahlen , einschließlich aller rationalen Zahlen und aller irrationalen Zahlen (einschließlich algebraischer Zahlen wie2 , die nicht als Brüche umgeschrieben werden können, sowie transzendentaler Zahlen wie π und e ); [37]
  • C oderdie Menge aller komplexen Zahlen : C = { a + bi | a , bR } , beispielsweise 1 + 2 iC . [37]

Jeder der oben genannten Sätze von Zahlen hat eine unendliche Anzahl von Elementen. Jedes ist eine Teilmenge der darunter aufgeführten Mengen.

Sätze positiver oder negativer Zahlen werden manchmal durch hochgestellte Plus- bzw. Minuszeichen gekennzeichnet. Stellt beispielsweise die Menge positiver rationaler Zahlen dar.

Funktionen [ Bearbeiten ]

Eine Funktion (oder Zuordnung ) von einer Menge A zu einer Menge B ist eine Regel, die jedem "Eingabe" -Element von A eine "Ausgabe" zuweist, die ein Element von B ist ; formal ist eine Funktion eine spezielle Art von Beziehung , die jedes Element von A mit genau einem Element von B in Beziehung setzt . Eine Funktion wird aufgerufen

  • injektiv (oder ein Eins-zu-Eins) , wenn es bildet keine zwei verschiedene Elemente von A zu verschiedenen Elementen B ,
  • surjektiv (oder auf), wenn es für jedes Element von B mindestens ein Element von A gibt , das ihm zugeordnet ist, und
  • Bijektiv (oder eine Eins-zu-Eins-Entsprechung), wenn die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist - in diesem Fall wird jedes Element von A mit einem eindeutigen Element von B gepaart , und jedes Element von B wird mit einem eindeutigen Element von A gepaart , so dass es keine ungepaarten Elemente gibt.

Eine injizierende Funktion wird als Injektion bezeichnet , eine surjektive Funktion wird als Surjektion bezeichnet und eine bijektive Funktion wird als Bijektion oder Eins-zu-Eins-Entsprechung bezeichnet .

Kardinalität [ bearbeiten ]

Die Kardinalität einer Menge S , bezeichnet mit | S |, ist die Zahl der Mitglieder von S . [38] Wenn zum Beispiel B = {blau, weiß, rot}, dann | B | = 3 . Wiederholte Mitglieder in der Dienstplannotation werden nicht gezählt, [39] [40] also | {blau, weiß, rot, blau, weiß} | = 3 auch.

Formal gesehen teilen zwei Mengen dieselbe Kardinalität, wenn zwischen ihnen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung besteht.

Die Kardinalität der leeren Menge ist Null. [41]

Unendliche Mengen und unendliche Kardinalität [ Bearbeiten ]

Die Liste der Elemente einiger Mengen ist endlos oder unendlich . Zum Beispiel ist die Menge der natürlichen Zahlen unendlich. [26] Tatsächlich sind alle im obigen Abschnitt erwähnten speziellen Zahlenmengen unendlich. Unendliche Mengen haben unendliche Kardinalität .

Einige unendliche Kardinalitäten sind größer als andere. Sets mit der gleichen Mächtigkeit wie nennt man abzählbaren Mengen . Wohl eines der bedeutendsten Ergebnisse der Mengenlehre ist, dass die Menge der reellen Zahlen eine größere Kardinalität aufweist als die Menge der natürlichen Zahlen. [42] Mengen mit einer Kardinalität, die größer als die Menge der natürlichen Zahlen ist, werden als unzählige Mengen bezeichnet .

Es kann jedoch gezeigt werden, dass die Kardinalität einer geraden Linie (dh die Anzahl der Punkte auf einer Linie) dieselbe ist wie die Kardinalität eines Segments dieser Linie, der gesamten Ebene und tatsächlich eines endlichdimensionalen Euklidischen Raum . [43]

Die Kontinuumshypothese [ Bearbeiten ]

Die Kontinuumshypothese, die 1878 von Georg Cantor formuliert wurde, ist die Aussage, dass es keine Menge mit Kardinalität gibt, die streng zwischen der Kardinalität der natürlichen Zahlen und der Kardinalität einer geraden Linie liegt. [44] 1963 bewies Paul Cohen , dass die Kontinuumshypothese unabhängig vom Axiomensystem ZFC ist, das aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit dem Axiom der Wahl besteht . [45] (ZFC ist die am weitesten untersuchte Version der axiomatischen Mengenlehre.)

Power Sets [ Bearbeiten ]

Der Leistungssatz eines Satzes S ist die Menge aller Teilmengen von S . [26] Die leere Menge und S selbst sind Elemente der Potenzmenge von S, da beide Teilmengen von S sind . Zum Beispiel ist die Potenzmenge von {1, 2, 3} {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}}. Die Potenzmenge einer Menge S wird üblicherweise als P ( S ) oder 2 P geschrieben . [26] [46] [14] [15]

Die Potenzmenge einer endlichen Menge mit n Elementen hat 2 n Elemente. [47] Zum Beispiel enthält die Menge {1, 2, 3} drei Elemente, und die oben gezeigte Potenzmenge enthält 2 3 = 8 Elemente.

Die Potenzmenge einer unendlichen (entweder zählbaren oder unzählbaren ) Menge ist immer unzählbar. Darüber hinaus ist innerhalb der am weitesten verbreiteten Rahmenbedingungen der Mengenlehre die Potenzmenge einer Menge immer streng "größer" als die ursprüngliche Menge, in dem Sinne, dass es keine Möglichkeit gibt, jedes Element von S mit genau einem Element von P zu koppeln ( S ). (Es gibt niemals eine Karte oder eine Surjektion von S auf P ( S ).) [48]

Partitionen [ bearbeiten ]

Eine Partition einer Menge S ist eine Menge nicht leerer Teilmengen von S , so dass sich jedes Element x in S in genau einer dieser Teilmengen befindet. Das heißt, sind die Untergruppen paarweise disjunkt (dh alle zwei Sätze der Partition kein Element gemeinsam enthalten) und die Vereinigung von allen Untergruppen der Partition S . [49] [50]

Grundlegende Operationen [ Bearbeiten ]

Es gibt mehrere grundlegende Operationen zum Erstellen neuer Mengen aus gegebenen Mengen.

Gewerkschaften [ bearbeiten ]

Die Vereinigung von A und B , bezeichnet mit AB.

Zwei Sätze können zusammen "addiert" werden. Die Vereinigung von A und B , bezeichnet mit A  ∪  B , [14] ist die Menge aller Dinge, die Mitglieder von A oder B sind .

Beispiele:

  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
  • {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Einige grundlegende Eigenschaften von Gewerkschaften:

  • AB = BA .
  • A ∪ ( BC ) = ( AB ) ∪ C .
  • A ⊆ ( AB ).
  • AA = A .
  • A ∪ ∅ = A .
  • AB genau dann, wenn AB = B ist .

Schnittpunkte [ Bearbeiten ]

Ein neuer Satz kann auch erstellt werden, indem bestimmt wird, welche Elemente zwei Sätze "gemeinsam" haben. Der Schnittpunkt von A und B , bezeichnet mit AB , [14] ist der Satz von allen Dingen, die Mitglieder beider sind A und B . Wenn AB = ∅, dann A und B sind die zu disjunkten .

Der Schnittpunkt von A und B , bezeichnet mit AB .

Beispiele:

  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
  • {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
  • {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

Einige grundlegende Eigenschaften von Kreuzungen:

  • AB = BA .
  • A ∩ ( BC ) = ( AB ) ∩ C .
  • ABA .
  • AA = A .
  • A ∩ ∅ = ∅.
  • AB genau dann, wenn AB = A ist .

Ergänzungen [ bearbeiten ]

Das relative Komplement
von B in A.
Das Komplement von A in U.
Die symmetrische Differenz von A und B.

Zwei Sätze können auch "subtrahiert" werden. Das relative Komplement von B in A (auch als satztheoretische Differenz von A und B bezeichnet ), bezeichnet mit A \ B (oder A - B ) [14], ist die Menge aller Elemente, die Mitglieder von A sind, aber nicht Mitglieder von B . Es ist gültig, Mitglieder einer Menge, die nicht in der Menge enthalten sind, zu "subtrahieren", z. B. das Element Grün aus der Menge zu entfernen {1, 2, 3}; Dies wirkt sich nicht auf die Elemente im Set aus.

In bestimmten Einstellungen werden alle diskutierten Mengen als Teilmengen einer gegebenen universellen Menge U betrachtet . In solchen Fällen wird U \ A das absolute Komplement oder einfach das Komplement von A genannt und mit A 'oder A c bezeichnet . [14]

  • A '= U \ A.

Beispiele:

  • {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
  • {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
  • Wenn U die Menge der ganzen Zahlen ist, E ist der Satz von geraden Zahlen, und O ist der Satz von ungeraden Zahlen, dann U \ E = E '= O .

Einige grundlegende Eigenschaften von Ergänzungen umfassen Folgendes:

  • A \ BB \ A für AB .
  • AA '= U .
  • AA ′ = ∅.
  • ( A ')' = A .
  • ∅ \ A = ∅.
  • A \ ∅ = A .
  • A \ A = ∅.
  • A \ U = ∅.
  • A \ A '= A und A ' \ A = A '.
  • U '= ∅ und ∅' = U .
  • A \ B = AB ' .
  • wenn AB, dann ist A \ B = ∅.

Eine Erweiterung des Komplements ist die symmetrische Differenz , die für die Mengen A , B als definiert ist

Zum Beispiel ist die symmetrische Differenz von {7, 8, 9, 10} und {9, 10, 11, 12} die Menge {7, 8, 11, 12}. Die Potenzmenge einer beliebigen Menge wird zu einem Booleschen Ring mit symmetrischer Differenz als Addition des Rings (mit der leeren Menge als neutralem Element) und Schnittmenge als Multiplikation des Rings.

Kartesisches Produkt [ Bearbeiten ]

Ein neuer Satz kann erstellt werden, indem jedes Element eines Satzes jedem Element eines anderen Satzes zugeordnet wird. Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B , bezeichnet mit A × B [14], ist die Menge aller geordneten Paare ( a , b ), so dass a ein Mitglied von A und b ein Mitglied von B ist .

Beispiele:

  • {1, 2} × {rot, weiß, grün} = {(1, rot), (1, weiß), (1, grün), (2, rot), (2, weiß), (2, grün) }.
  • {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
  • {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Einige grundlegende Eigenschaften kartesischer Produkte:

  • A × = ∅.
  • A × ( BC ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ).
  • ( AB ) × C = ( A × C ) ≤ ( B × C ).

Lassen Sie A und B endliche Mengen; dann ist die Kardinalität des kartesischen Produkts das Produkt der Kardinalitäten:

  • | A × B  | = | B × A  | = | A  | × | B  |.

Anwendungen [ bearbeiten ]

Mengen sind in der modernen Mathematik allgegenwärtig. Beispielsweise sind Strukturen in der abstrakten Algebra wie Gruppen , Felder und Ringe Mengen, die unter einer oder mehreren Operationen geschlossen werden.

Eine der Hauptanwendungen der naiven Mengenlehre ist die Konstruktion von Beziehungen . Eine Beziehung von einer Domäne A an einem codomain B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A × B . Betrachtet man beispielsweise die Menge S = {Stein, Papier, Schere} von Formen im gleichnamigen Spiel , so ist die Beziehung "Schläge" von S zu S die Menge B = {(Schere, Papier) (Papier, Stein) ), (Stein, Schere)}; somit schlägt x y im Spiel, wenn das Paar ( x , y ) ein Mitglied von B ist. Ein anderes Beispiel ist die Menge F aller Paare ( x , x 2 ), wobei x real ist. Diese Beziehung ist eine Teilmenge von R × R , da die Menge aller Quadrate eine Teilmenge der Menge aller reellen Zahlen ist. Da für jedes x in R ein und nur ein Paar ( x , ...) in F gefunden wird , wird es als Funktion bezeichnet . In funktionaler Notation kann diese Beziehung als F ( x ) = x 2 geschrieben werden .

Prinzip des Einschlusses und Ausschlusses [ Bearbeiten ]

Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip wird verwendet, um die Größe der Vereinigung von Mengen zu berechnen: Die Größe der Vereinigung ist die Größe der beiden Mengen abzüglich der Größe ihrer Schnittmenge.

Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip ist eine Zähltechnik, mit der die Anzahl der Elemente in einer Vereinigung zweier Mengen gezählt werden kann - sofern die Größe jeder Menge und die Größe ihrer Schnittmenge bekannt sind. Es kann symbolisch ausgedrückt werden als

Eine allgemeinere Form des Prinzips kann verwendet werden, um die Kardinalität einer endlichen Vereinigung von Mengen zu ermitteln:

De Morgans Gesetze [ Bearbeiten ]

Augustus De Morgan erklärte zwei Gesetze über Sets.

Wenn A und B zwei Sätze sind, dann

  • (A ∪ B) '= A' ∩ B '

Das Komplement von A Union B entspricht dem Komplement von A, das mit dem Komplement von B geschnitten ist.

  • (A ∩ B) '= A' ∪ B '

Das Komplement von A, das mit B geschnitten ist, ist gleich dem Komplement der A-Vereinigung zum Komplement von B.

Siehe auch [ Bearbeiten ]

  • Algebra von Mengen
  • Alternative Mengenlehre
  • Axiomatische Mengenlehre
  • Kategorie von Sets
  • Klasse (Mengenlehre)
  • Dichtes Set
  • Familie von Sets
  • Fuzzy-Set
  • Interner Satz
  • Mathematisches Objekt
  • Mereologie
  • Multiset
  • Naive Mengenlehre
  • Principia Mathematica
  • Grobes Set
  • Russells Paradoxon
  • Sequenz (Mathematik)
  • Notation einstellen
  • Taxonomie
  • Tupel
  • Venn-Diagramm

Notizen [ Bearbeiten ]

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Referenzen [ bearbeiten ]

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Externe Links [ Bearbeiten ]

  • Cantors "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre"