Wiederholende Dezimalzahl

Notation

Es gibt mehrere Notationskonventionen für die Darstellung sich wiederholender Dezimalzahlen. Keine von ihnen wird allgemein akzeptiert.

• In den Vereinigten Staaten , Kanada , Indien , Frankreich , Deutschland , der Schweiz , Tschechien und der Slowakei ist es die Konvention, eine horizontale Linie (ein Vinculum ) über dem Repetenten zu ziehen. (Siehe Beispiele in der Tabelle unten, Spalte Vinculum.)
• Im Vereinigten Königreich , in Neuseeland , Australien , Südkorea und Festlandchina sieht die Konvention vor, Punkte über den äußersten Ziffern der Wiederholung zu platzieren. (Siehe Beispiele in der Tabelle unten, Spalte Punkte.)
• In Teilen Europas , Vietnams und Russlands soll die Konvention die Wiederholung in Klammern setzen . (Siehe Beispiele in der Tabelle unten, Spalte Klammern.) Dies kann zu Verwechslungen mit der Notation für Standardunsicherheit führen .
• In Spanien und einigen lateinamerikanischen Ländern wird auch die Bogennotation über dem Repetente als Alternative zum Vinculum und der Punktnotation verwendet. (Siehe Beispiele in der Tabelle unten, Spalte Bogen.)
• Informell werden sich wiederholende Dezimalzahlen oft durch Auslassungspunkte (drei Punkte, 0,333...) dargestellt, insbesondere wenn die bisherigen Notationskonventionen erstmals in der Schule gelehrt werden. Diese Notation führt zu Unsicherheit, welche Ziffern wiederholt werden sollen und ob überhaupt eine Wiederholung stattfindet, da solche Ellipsen auch für irrationale Zahlen verwendet werden ; π kann beispielsweise als 3.14159... dargestellt werden.

Beispiele

Fraktion	Vinculum	Punkte	Klammern	Bogen	Ellipse
1/9	0. 1	${\displaystyle 0.{\dot {1}}}$	0.(1)	${\displaystyle 0.{\overset {\frown}{1}}}$	0,111...
1/3 = 3/9	0. 3	${\displaystyle 0.{\dot {3}}}$	0.(3)	${\displaystyle 0.{\overset {\stirn }{3}}}$	0,333...
2/3 = 6/9	0. 6	${\displaystyle 0.{\dot {6}}}$	0.(6)	${\displaystyle 0.{\overset {\stirn }{6}}}$	0,666...
9/11 = 81/99	0. 81	${\displaystyle 0.{\dot {8}}{\dot {1}}}$	0.(81)	${\displaystyle 0.{\overset {\stirn }{81}}}$	0,8181...
7/12 = 525/900	0,58 3	${\displaystyle 0.58{\dot {3}}}$	0,58(3)	${\displaystyle 0.58{\overset {\stirn }{3}}}$	0,58 333 ...
1/7 = 142857/999999	0. 142857	${\displaystyle 0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}}$	0.(142857)	[3]	0,142857 142857 ...
1/81 = 12345679/999999999	0. 012345679	${\displaystyle 0.{\dot {0}}1234567{\dot {9}}}$	0.(012345679)	[3]	0,012345679 012345679 ...
22/7 = 3142854/999999	3. 142857	${\displaystyle 3.{\dot {1}}4285{\dot {7}}}$	3.(142857)	[3]	3.142857 142857 ...

Im Englischen gibt es verschiedene Möglichkeiten, sich wiederholende Dezimalzahlen laut vorzulesen. Zum Beispiel kann 1,2 34 gelesen werden „ein Komma zwei wiederholt drei vier“, „ein Komma zwei wiederholt drei vier“, „ein Komma zwei wiederholt drei vier“, „ein Komma zwei wiederholt drei vier“ oder „ein Komma zwei ins Unendliche“. drei vier".

Dezimalexpansions- und Wiederholungssequenz

Um eine als Bruch dargestellte rationale Zahl in eine Dezimalform umzuwandeln , kann man eine lange Division verwenden . Betrachten Sie zum Beispiel die rationale Zahl 5/74:

  0.0 675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

usw. Beachten Sie, dass wir bei jedem Schritt einen Rest haben; die oben angezeigten aufeinanderfolgenden Reste sind 56, 42, 50. Wenn wir 50 als Rest erhalten und die "0" absenken, teilen wir 500 durch 74, was das gleiche Problem ist, mit dem wir begonnen haben. Daher wiederholt sich die Dezimalzahl: 0,0675 675 675 ....

Jede rationale Zahl ist entweder eine abschließende oder sich wiederholende Dezimalzahl

Für einen gegebenen Teiler können nur endlich viele verschiedene Reste auftreten. Im obigen Beispiel sind die 74 möglichen Reste 0, 1, 2, ..., 73. Wenn der Rest an irgendeinem Punkt der Division 0 ist, endet die Expansion an diesem Punkt. Dann wird die Länge des Repetens, auch „Periode“ genannt, mit 0 definiert.

Wenn 0 nie als Rest auftritt, wird der Divisionsprozess für immer fortgesetzt, und schließlich muss ein Rest auftreten, der zuvor aufgetreten ist. Der nächste Schritt der Division ergibt dieselbe neue Ziffer im Quotienten und denselben neuen Rest wie beim vorherigen Mal, dass der Rest gleich war. Daher wiederholt die folgende Division die gleichen Ergebnisse. Die sich wiederholende Ziffernfolge wird als „repetend“ bezeichnet und hat eine bestimmte Länge größer als 0, auch „Periode“ genannt. ^[4]

Jede sich wiederholende oder abschließende Dezimalzahl ist eine rationale Zahl

Jede sich wiederholende Dezimalzahl erfüllt eine lineare Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, und ihre eindeutige Lösung ist eine rationale Zahl. Um den letzteren Punkt zu veranschaulichen, erfüllt die obige Zahl α = 5.8144144144... die Gleichung 10000 α − 10 α = 58144.144144... − 58.144144... = 58086 , deren Lösung α = . ist 58086/9990 = 3227/555. Der Prozess zum Finden dieser ganzzahligen Koeffizienten wird unten beschrieben .

Dabei ist Bruch der Einheitsbruch1/neinund l ₁₀ ist die Länge der (dezimal) Periode.

Die Länge der Wiederholungen von 1/nein, n = 1, 2, 3, ..., sind:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (Sequenz A051626 im OEIS ).

Die Wiederholungen von 1/nein, n = 1, 2, 3, ..., sind:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (Sequenz A036275 im OEIS ).

Die wiederholten Längen von 1/p, p = 2, 3, 5, ... ( n- te Primzahl), sind:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (Sequenz A002371 im OEIS ).

Die kleinsten Primzahlen p, für die 1/phat Wiederholungslänge n , n = 1, 2, 3, ..., sind:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 11111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (Sequenz A007138 im OEIS ).

Die kleinsten Primzahlen p, für die k/phat n verschiedene Zyklen ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., sind:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (Sequenz A054471 im OEIS ).

Zum Vergleich die Längen der Repetenten der binären Brüche1/nein, n = 1, 2, 3, ..., sind:

1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 1, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 1, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (Sequenz A007733 im OEIS ) .

Eine Fraktion in niedrigsten Begriffe mit einem Prime Nenner anderen als 2 oder 5 (dh coprime bis 10) erzeugt immer eine sich wiederholende Dezimal. Die Länge der Wiederholung (Periode des sich wiederholenden Dezimalsegments) von 1/pgleich der Größenordnung von 10 modulo p ist . Wenn 10 eine Primitivwurzel modulo p ist , ist die Wiederholungslänge gleich p  − 1; andernfalls ist die Repetenlänge ein Faktor von p  − 1. Dieses Ergebnis kann aus dem kleinen Satz von Fermat abgeleitet werden , der besagt, dass 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) ist .

Der Repetente zur Basis 10 des Kehrwerts jeder Primzahl größer als 5 ist durch 9 teilbar. ^[5]

Wenn die wiederholte Länge von 1/pfür Primzahl p gleich p  − 1 ist, dann heißt die Wiederholung, ausgedrückt als ganze Zahl, eine zyklische Zahl .

Zyklische Zahlen

Beispiele für Fraktionen, die zu dieser Gruppe gehören, sind:

• 1/7= 0. 142857 , 6 sich wiederholende Ziffern
• 1/17= 0. 0588235294117647 , 16 sich wiederholende Ziffern
• 1/19= 0. 052631578947368421 , 18 sich wiederholende Ziffern
• 1/23= 0. 0434782608695652173913 , 22 sich wiederholende Ziffern
• 1/29= 0. 0344827586206896551724137931 , 28 sich wiederholende Ziffern
• 1/47= 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 sich wiederholende Ziffern
• 1/59= 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 sich wiederholende Ziffern
• 1/61= 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 sich wiederholende Ziffern
• 1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 sich wiederholende Ziffern

Die Liste kann mit den Brüchen fortgesetzt werden 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193, usw. (Sequenz A001913 im OEIS ).

Jedes echte Vielfache einer zyklischen Zahl (d. h. ein Vielfaches mit der gleichen Anzahl von Stellen) ist eine Drehung:

• 1/7 = 1 × 0,142857... = 0,142857...
• 2/7 = 2 × 0,142857... = 0,285714...
• 3/7 = 3 × 0,142857... = 0,428571...
• 4/7 = 4 × 0,142857... = 0,571428...
• 5/7 = 5 × 0,142857... = 0,714285...
• 6/7 = 6 × 0,142857... = 0,857142...

Der Grund für das zyklische Verhalten ergibt sich aus einer Rechenübung der langen Division von 1/7: die sequentiellen Reste sind die zyklische Folge {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Siehe auch Artikel 142.857 für weitere Eigenschaften dieser zyklischen Zahl.

Ein zyklischer Bruch hat also eine wiederkehrende Dezimalzahl von gerader Länge, die sich in zwei Folgen im Neunerkomplement aufteilt. Beispielsweise 1/7 beginnt mit '142' und wird von '857' gefolgt, während 6/7(durch Rotation) beginnt '857', gefolgt von seinem Neuner-Komplement '142'.

Eine echte Primzahl ist eine Primzahl p, die mit der Ziffer 1 zur Basis 10 endet und deren Kehrwert zur Basis 10 eine Wiederholung der Länge p  − 1 hat. In solchen Primzahlen kommt jede Ziffer 0, 1,..., 9 in der Wiederholung vor Sequenz so oft wie jede andere Ziffer (nämlich, p  − 1/10mal). Sie sind: ^{[6] : 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (Sequenz A073761 im OEIS ).

Eine Primzahl ist genau dann eine echte Primzahl, wenn sie eine vollständige Reptend-Primzahl und kongruent zu 1 mod 10 ist.

Wenn eine Primzahl p sowohl eine voll retendierte Primzahl als auch eine sichere Primzahl ist , dann 1/perzeugt einen Strom von p  − 1 pseudozufälligen Ziffern . Diese Primzahlen sind

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823,... (Sequenz A000353 im OEIS ).

Andere Kehrwerte von Primzahlen

Einige Kehrwerte von Primzahlen, die keine zyklischen Zahlen erzeugen, sind:

• 1/3= 0 3 , die eine Periode (Periode der Länge) von 1 aufweist.
• 1/11= 0. 09 , die eine Periode von 2 hat.
• 1/13= 0. 076923 , was eine Periode von 6 hat.
• 1/31= 0.032258064516129 , was eine Periode von 15 hat.
• 1/37= 0, 027 , was eine Periode von 3 hat.
• 1/41= 0. 02439 , was eine Periode von 5 hat.
• 1/43= 0. 023255813953488372093 , was eine Periode von 21 hat.
• 1/53= 0. 0188679245283 , was eine Periode von 13 hat.
• 1/67= 0. 014925373134328358208955223880597 , was eine Periode von 33 hat.

(Sequenz A006559 im OEIS )

Der Grund dafür ist, dass 3 ein Teiler von 9, 11 ein Teiler von 99 ist, 41 ein Teiler von 99999 usw. Um die Periode von . zu finden 1/p, können wir überprüfen, ob die Primzahl p eine Zahl 999...999 teilt, in der die Anzahl der Stellen p  − 1 teilt . Da die Periode nie größer als p  − 1 ist, können wir dies durch Berechnung von erhalten 10 ^{p −1} − 1/p. Zum Beispiel für 11 erhalten wir

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

und dann durch Inspektion die Wiederholung 09 und die Periode von 2 finden.

Diese Kehrwerte von Primzahlen können mehreren Folgen sich wiederholender Dezimalzahlen zugeordnet werden. Zum Beispiel die Vielfachen von 1/13kann in zwei Sätze mit unterschiedlichen Wiederholungen unterteilt werden. Der erste Satz ist:

• 1/13 = 0,076923...
• 10/13 = 0,769230...
• 9/13 = 0,692307...
• 12/13 = 0,923076...
• 3/13 = 0,230769...
• 4/13 = 0,307692...,

wobei die Wiederholung jedes Bruchs eine zyklische Neuanordnung von 076923 ist. Der zweite Satz ist:

• 2/13 = 0,153846...
• 7/13 = 0,538461...
• 5/13 = 0,384615...
• 11/13 = 0,846153...
• 6/13 = 0,461538...
• 8/13 = 0,615384...,

wobei die Wiederholung jedes Bruchs eine zyklische Neuordnung von 153846 ist.

Im Allgemeinen besteht die Menge der echten Vielfachen der Kehrwerte einer Primzahl p aus n Teilmengen, jede mit der Wiederholungslänge  k , wobei nk  =  p  − 1 gilt.

Totient-Regel

Für eine beliebige ganze Zahl n ist die Länge L ( n ) des Dezimalrepetens von 1/neinteilt φ ( n ), wobei φ die Totient-Funktion ist . Die Länge ist gleich φ ( n ) , wenn und nur wenn a 10 ist Primitivwurzel modulo n . ^[7]

Insbesondere folgt L ( p ) = p − 1 genau dann, wenn p eine Primzahl und 10 eine Primitivwurzel modulo p ist . Dann sind die Dezimalentwicklungen von nein/pfür n = 1, 2, ..., p  − 1 haben alle die Periode p  − 1 und unterscheiden sich nur durch eine zyklische Permutation. Solche Zahlen p heißen voll repetierte Primzahlen .

Wenn p eine andere Primzahl als 2 oder 5 ist, ist die dezimale Darstellung des Bruchs 1/S. ² wiederholt:

1/49= 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

Die Periode (Wiederholungslänge) L (49) muss ein Faktor von λ (49) = 42 sein, wobei λ ( n ) als Carmichael-Funktion bekannt ist . Dies folgt aus Carmichael-Theorem , das besagt , dass wenn n eine positive ganze Zahl ist dann λ ( n ) ist die kleinste ganze Zahl m so dass

${\displaystyle a^{m}\äquiv 1{\pmod {n}}}$

für jede ganze Zahl a , die zu n teilerfremd ist .

Der Zeitraum von 1/S. ²ist normalerweise pT _p , wobei T _p die Periode von ist 1/p. Es gibt drei bekannte Primzahlen, für die dies nicht gilt, und für diese gilt die Periode von 1/S. ² ist gleich der Periode von period 1/pdenn p ² teilt 10 ^{p −1} −1. Diese drei Primzahlen sind 3, 487 und 56598313 (Sequenz A045616 im OEIS ). ^[8]

Ebenso ist die Periode von period 1/p ^kist normalerweise p ^{k –1} T _p

Wenn p und q andere Primzahlen als 2 oder 5 sind, ist die dezimale Darstellung des Bruchs 1/pqwiederholt. Ein Beispiel ist 1/119:

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = LCM ( λ (7), λ (17)) = LCM(6, 16) = 48,

wobei LCM das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet .

Die Periode T von 1/pqist ein Faktor von λ ( pq ) und beträgt in diesem Fall 48:

1/119= 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

Die Periode T von 1/pqist LCM( T _p ,  T _q ), wobei T _p die Periode von ist 1/pund T _q ist die Periode von 1/q.

Wenn p , q , r usw. andere Primzahlen als 2 oder 5 sind und k , l , m usw. positive ganze Zahlen sind, dann

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{l}r^{m}\cdots}}}$

ist eine sich wiederholende Dezimalstelle mit einer Periode von

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{l}},T_{r^{m}},\ldots)}$

wobei T _{p ^k} , T _{q ^l} , T _{r ^m} ,... jeweils die Periode der sich wiederholenden Dezimalstellen sind 1/p ^k, 1/q ^l, 1/r ^m,... wie oben definiert.

Eine ganze Zahl, die nicht zu 10 teilerfremd ist, aber einen anderen Primfaktor als 2 oder 5 hat, hat einen Kehrwert, der schließlich periodisch ist, jedoch mit einer sich nicht wiederholenden Ziffernfolge, die dem sich wiederholenden Teil vorangeht. Der Kehrwert kann ausgedrückt werden als:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}5^{b}p^{k}q^{l}\cdots}}\,,}$

wobei a und b nicht beide Null sind.

Dieser Bruchteil kann auch ausgedrückt werden als:

${\displaystyle {\frac {5^{ab}}{10^{a}p^{k}q^{l}\cdots}}\,,}$

wenn a > b , oder as

${\displaystyle {\frac {2^{ba}}{10^{b}p^{k}q^{l}\cdots}}\,,}$

wenn b > a , oder as

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{l}\cdots}}\,,}$

wenn a = b .

Die Dezimalzahl hat:

• Eine anfängliche Transiente von max( a ,  b ) Stellen nach dem Komma. Einige oder alle Ziffern im Transienten können Nullen sein.
• Eine nachfolgende Wiederholung, die mit der für den Bruch identisch ist 1/p ^k q ^l ⋯.

Beispielsweise 1/28= 0,03 571428 :

• a = 2, b = 0, und die anderen Faktoren p ^k q ^l ⋯ = 7
• es gibt 2 sich nicht wiederholende Anfangsziffern, 03; und
• es gibt 6 sich wiederholende Ziffern, 571428, der gleiche Betrag wie 1/7 hast.

Bei einer sich wiederholenden Dezimalstelle ist es möglich, den Bruch zu berechnen, der sie erzeugt hat. Beispielsweise:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=0.333333\ldots \\10x&=3.333333\ldots \quad &{\text{(jede Seite der obigen Zeile mit 10 multiplizieren)}}\\9x&=3&{ \text{(Subtraktion der 1. Zeile von der 2.)}}\\x&={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}&{\text{(Reduzierung auf die niedrigsten Terme) }}\\\Ende{ausgerichtet}}}$

Ein anderes Beispiel:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=\ \ \ \ 0.836363636\ldots \\10x&=\ \ \ \ 8.36363636\ldots \quad &{\text{(Multiplizieren mit einer Potenz von 10 um Dezimal nach . zu verschieben Beginn der Wiederholung)}}\\1000x&=836.36363636\ldots &{\text{(Multiplizieren mit einer Potenz von 100, um die Dezimalstelle an das Ende der ersten wiederholten Dezimalstelle zu verschieben)}}\\990x&=828&{\text{(Subtraktion zum Löschen to Dezimalstellen)}}\\x&={\frac {828}{990}}={\frac {18\times 46}{18\times 55}}={\frac {46}{55}}.\end{ ausgerichtet}}}$

Eine Abkuerzung

Das folgende Verfahren kann insbesondere angewendet werden, wenn der Repetente n Stellen hat, die alle 0 sind, außer der letzten, die 1 ist. Zum Beispiel für n  = 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=99999999x&=1\\x&= {\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{ausgerichtet}}}$

Diese besondere sich wiederholende Dezimalzahl entspricht also dem Bruch 1/10 ⁿ  − 1, wobei der Nenner die Zahl ist, die mit n Stellen 9 geschrieben ist. Wenn man genau das weiß, kann eine allgemeine sich wiederholende Dezimalzahl als Bruch ausgedrückt werden, ohne eine Gleichung lösen zu müssen. Man könnte zum Beispiel argumentieren:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\ frac {73}{10}}+{\frac {9\times 2}{9\times 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[ 12pt]&={\frac {11\times 73+10\times 2}{10\times 11}}={\frac {823}{110}}\end{ausgerichtet}}}$

Es ist möglich, eine allgemeine Formel zu erhalten, die eine sich wiederholende Dezimalzahl mit einer n- stelligen Periode (Wiederholungslänge), die direkt nach dem Komma beginnt, als Bruch ausdrückt:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2} \cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_ {1}a_{2}\cdots a_{n}\\x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

Genauer gesagt erhält man die folgenden Fälle:

Wenn die sich wiederholende Dezimalzahl zwischen 0 und 1 liegt und der sich wiederholende Block n Stellen lang ist und zuerst direkt nach dem Komma auftritt, dann ist der Bruch (nicht unbedingt reduziert) die ganze Zahl, die durch den n- stelligen Block geteilt durch die eins wird durch n Ziffern 9 dargestellt. Zum Beispiel:

• 0.444444... = 4/9 da der sich wiederholende Block 4 ist (ein 1-stelliger Block),
• 0,565656... = 56/99 da der sich wiederholende Block 56 ist (ein 2-stelliger Block),
• 0,012012... = 12/999da der sich wiederholende Block 012 ist (ein 3-stelliger Block); dies reduziert sich weiter auf 4/333.
• 0,999999... = 9/9 = 1, da der Wiederholungsblock 9 ist (auch ein 1-stelliger Block)

Wenn die sich wiederholende Dezimalstelle wie oben beschrieben ist, außer dass zwischen dem Dezimalpunkt und dem sich wiederholenden n- stelligen Block k (zusätzliche) Ziffern 0 sind , dann kann man einfach k Ziffern 0 nach den n Ziffern 9 des Nenners hinzufügen (und wie vorher kann der Bruch nachträglich vereinfacht werden). Beispielsweise,

• 0,000444... = 4/9000 da der sich wiederholende Block 4 ist und diesem Block 3 Nullen vorangehen,
• 0,005656... = 56/9900 da der sich wiederholende Block 56 ist und ihm 2 Nullen vorangehen,
• 0,00012012... = 12/99900 = 1/8325 da der sich wiederholende Block 012 ist und ihm 2 Nullen vorangehen.

Jede sich wiederholende Dezimalzahl, die nicht der oben beschriebenen Form entspricht, kann als Summe einer abschließenden Dezimalzahl und einer sich wiederholenden Dezimalzahl eines der beiden obigen Typen geschrieben werden (eigentlich reicht der erste Typ aus, aber das könnte erfordern, dass die abschließende Dezimalstelle negativ ist). Beispielsweise,

• 1,23444... = 1,23 + 0,00444... = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
  • oder alternativ 1,23444... = 0,79 + 0,44444... = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
• 0,3789789... = 0,3 + 0,0789789... = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
  • oder alternativ 0,3789789... = −0,6 + 0,9789789... = − 6/10 + 978/999 = − 5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

Eine noch schnellere Methode besteht darin, den Dezimalpunkt vollständig zu ignorieren und so vorzugehen

• 1.23444... = 1234 − 123/900 = 1111/900 (Nenner hat eine 9 und zwei Nullen, weil sich eine Ziffer wiederholt und es zwei sich nicht wiederholende Ziffern nach dem Komma gibt)
• 0,3789789... = 3789 − 3/9990 = 3786/9990 (Nenner hat drei 9er und eine 0, weil sich drei Ziffern wiederholen und es eine nicht wiederholende Ziffer nach dem Komma gibt)

Daraus folgt, dass jede sich wiederholende Dezimalzahl mit der Periode n und k Nachkommastellen, die nicht zum sich wiederholenden Teil gehören, als (nicht notwendigerweise reduzierter) Bruch geschrieben werden kann, dessen Nenner (10 ⁿ  − 1)10 ^{k ist} .

Umgekehrt die Periode der sich wiederholenden Dezimalstelle eines Bruchs c/dwird (höchstens) die kleinste Zahl n sein, so dass 10 ⁿ  − 1 durch d teilbar ist .

Zum Beispiel der Bruch 2/7hat d = 7, und das kleinste k , das 10 ^k  − 1 durch 7 teilbar macht, ist k = 6, denn 999999 = 7 × 142857. Die Periode des Bruches 2/7 ist also 6.

Eine sich wiederholende Dezimalzahl kann auch als unendliche Reihe ausgedrückt werden . Das heißt, eine sich wiederholende Dezimalzahl kann als Summe einer unendlichen Anzahl rationaler Zahlen betrachtet werden. Um das einfachste Beispiel zu nehmen,

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\ Summe _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

Die obige Reihe ist eine geometrische Reihe mit dem ersten Term als 1/10 und der gemeinsame Faktor 1/10. Da der Absolutwert des gemeinsamen Faktors kleiner als 1 ist, können wir sagen, dass die geometrische Reihe konvergiert, und den genauen Wert in Form eines Bruchs finden, indem die folgende Formel verwendet wird, wobei a der erste Term der Reihe und r der ist gemeinsamer Faktor.

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1 }{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

Ähnlich,

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+ {\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px] \implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6} }}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{ausgerichtet}}}$

Das zyklische Verhalten sich wiederholender Dezimalzahlen bei der Multiplikation führt auch zur Konstruktion von ganzen Zahlen, die bei der Multiplikation mit bestimmten Zahlen zyklisch permutiert werden. Beispiel: 102564 × 4 = 410256 . 102564 ist die Wiederholung von 4/39 und 410256 die Wiederholung von 16/39.

Mitchell ^[9] und Dickson geben verschiedene Eigenschaften von Repetentenlängen (Perioden) an . ^[10]

• Der Zeitraum von 1/kfür ganzzahliges k ist immer ≤  k  − 1.

• Wenn p eine Primzahl ist, ist die Periode von 1/pteilt sich gleichmäßig in p  − 1 auf.

• Wenn k zusammengesetzt ist, ist die Periode von 1/kist strikt kleiner als k  − 1.

• Der Zeitraum von c/k, für c teilerfremd zu k , gleich der Periode von 1/k.

• Wenn k  = 2 ^a 5 ^b n mit n  > 1 und n nicht durch 2 oder 5 teilbar ist, dann ist die Länge der Transienten von 1/kist max( a ,  b ) und die Periode ist gleich r , wobei r die kleinste ganze Zahl ist, so dass 10 ^r ≡ 1 (mod n ) ist .

• Wenn p , p′ , p″ ,... verschiedene Primzahlen sind, dann ist die Periode von 1/p p′ p″ ⋯ gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Perioden von 1/p, 1/p′, 1/p″,....

• Wenn k und k′ keine anderen gemeinsamen Primfaktoren als 2 oder 5 haben, dann ist die Periode von 1/kk′ gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Perioden von 1/k und 1/k′.

• Für Primzahl p , wenn

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}} }\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

für einige m , aber

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p ^{m+1}}}\rechts),}$

dann gilt für c  ≥ 0

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left( {\frac{1}{p}}\right).}$

• Wenn p eine echte Primzahl ist, die auf eine 1 endet, d. h. wenn die Wiederholung von 1/pist eine zyklische Zahl der Länge p  − 1 und p = 10 h  + 1 für einige h , dann erscheint jede Ziffer 0, 1, ..., 9 im Repetenten genau h =  p  − 1/10 mal.

Für einige andere Eigenschaften von Wiederholungen siehe auch. ^[11]

Verschiedene Merkmale von sich wiederholenden Dezimalzahlen erstrecken sich auf die Darstellung von Zahlen in allen anderen ganzzahligen Basen, nicht nur zur Basis 10:

• Jede reelle Zahl kann als ganzzahliger Teil dargestellt werden, gefolgt von einem Radixpunkt (der Verallgemeinerung eines Dezimalpunkts auf nicht-dezimale Systeme), gefolgt von einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Ziffern .
• Wenn die Basis eine ganze Zahl ist, repräsentiert eine abschließende Sequenz offensichtlich eine rationale Zahl.
• Eine rationale Zahl hat eine abschließende Folge, wenn alle Primfaktoren des Nenners der vollständig reduzierten Bruchform auch Faktoren der Basis sind. Diese Zahlen bilden eine dichte Menge in Q und R .
• Wenn das Positionszahlensystem ein Standardsystem ist, hat es die Basis

${\displaystyle b\in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}}$

kombiniert mit einer fortlaufenden Ziffernfolge

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots,d_{r}\}}$

mit r  := | b | , d _r  := d ₁ + r − 1 und 0 ∈ D , dann ist eine terminierende Folge offensichtlich äquivalent zur gleichen Folge mit nicht terminierendem sich wiederholendem Teil bestehend aus der Ziffer 0. Ist die Basis positiv, dann existiert eine Ordnung Homomorphismus aus der lexikographischen Ordnung der rechtsseitigen unendlichen Strings über das Alphabet D in ein geschlossenes Intervall der reellen Zahlen, das die Strings 0. A ₁ A ₂ ... A _n d _b und 0. A ₁ A ₂ .. abbildet . .( A _n +1) d ₁ mit A _i ∈ D und A _n ≠ d _b zur gleichen reellen Zahl – und es gibt keine anderen doppelten Bilder. Im Dezimalsystem, zum Beispiel, ist es 0. 9  = 1. 0  = 1; im ausgeglichenen ternären System gibt es 0. 1  = 1. T  =  1/2.