Nichtstandardisierte Analyse

Ein Nicht-Null-Element eines geordneten Feldes ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ist genau dann infinitesimal, wenn sein absoluter Wert kleiner als ein Element von ist${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ der Form ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$, zum ${\ displaystyle n}$eine natürliche Standardzahl. Geordnete Felder mit infinitesimalen Elementen werden auch als nicht-archimedisch bezeichnet . Im Allgemeinen ist eine nicht standardisierte Analyse jede Form der Mathematik, die auf nicht standardmäßigen Modellen und dem Übertragungsprinzip beruht . Ein Feld, das das Übertragungsprinzip für reelle Zahlen erfüllt, ist ein hyperreales Feld , und die nicht standardmäßige reelle Analyse verwendet diese Felder als nicht standardmäßige Modelle der reellen Zahlen.

Robinsons ursprünglicher Ansatz basierte auf diesen nicht standardmäßigen Modellen des Feldes der reellen Zahlen. Sein klassisches Grundbuch zum Thema Nonstandard Analysis wurde 1966 veröffentlicht und ist noch in gedruckter Form. ^[8] Auf Seite 88 schreibt Robinson:

Die Existenz nicht standardisierter Rechenmodelle wurde von Thoralf Skolem (1934) entdeckt. Skolems Methode lässt die Ultrapower- Konstruktion ahnen [...]

Mehrere technische Probleme müssen angegangen werden, um eine Berechnung von Infinitesimalen zu entwickeln. Zum Beispiel reicht es nicht aus, ein geordnetes Feld mit Infinitesimalen zu konstruieren. Im Artikel über hyperreale Zahlen finden Sie eine Diskussion einiger relevanter Ideen.

In diesem Abschnitt beschreiben wir einen der einfachsten Ansätze zur Definition eines hyperrealen Feldes ${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$. Lassen${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ sei das Feld der reellen Zahlen und lass ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$sei das Semirieren natürlicher Zahlen. Bezeichnen mit${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$die Menge der Folgen von reellen Zahlen. Ein Feld${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$ ist definiert als ein geeigneter Quotient von ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$, wie folgt. Nehmen Sie einen nicht-primären Ultrafilter ${\ displaystyle F \ subseteq P (\ mathbb {N})}$. Bestimmtes,${\ displaystyle F}$enthält den Fréchet-Filter . Betrachten Sie ein Paar von Sequenzen

${\ displaystyle u = (u_ {n}), v = (v_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

Das sagen wir ${\ displaystyle u}$ und ${\ displaystyle v}$ sind äquivalent, wenn sie auf einer Reihe von Indizes zusammenfallen, die Mitglied des Ultrafilters sind, oder in Formeln:

${\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N}: u_ {n} = v_ {n} \} \ in F}$

Der Quotient von ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ durch die resultierende Äquivalenzbeziehung entsteht ein hyperreales Feld ${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$, eine Situation, die durch die Formel zusammengefasst wird ${\ displaystyle ^ {*} \ mathbb {R} = {\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} / {F}}$.

Es gibt mindestens drei Gründe, nicht standardisierte Analysen in Betracht zu ziehen: historische, pädagogische und technische.

Historisch

Ein Großteil der frühesten Entwicklung des Infinitesimalkalküls durch Newton und Leibniz wurde unter Verwendung von Ausdrücken wie Infinitesimalzahl und verschwindende Menge formuliert . Wie in dem Artikel über hyperreale Zahlen erwähnt , wurden diese Formulierungen von George Berkeley und anderen weithin kritisiert . Es war eine Herausforderung, eine konsistente Analysetheorie unter Verwendung von Infinitesimalen zu entwickeln, und die erste Person, die dies auf zufriedenstellende Weise tat, war Abraham Robinson. ^[6]

1958 veröffentlichten Curt Schmieden und Detlef Laugwitz einen Artikel "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ^{[9], in} dem die Konstruktion eines Ringes mit Infinitesimalen vorgeschlagen wurde. Der Ring wurde aus Folgen reeller Zahlen konstruiert. Zwei Sequenzen wurden als äquivalent angesehen, wenn sie sich nur in einer endlichen Anzahl von Elementen unterschieden. Arithmetische Operationen wurden elementweise definiert. Der auf diese Weise aufgebaute Ring enthält jedoch Nullteiler und kann daher kein Feld sein.

Pädagogisch

H. Jerome Keisler , David Tall und andere Pädagogen behaupten, dass die Verwendung von Infinitesimalen für Schüler intuitiver und leichter zu verstehen ist als der "Epsilon-Delta" -Ansatz für analytische Konzepte. ^[10] Dieser Ansatz kann manchmal einfachere Beweise für Ergebnisse liefern als die entsprechende Epsilon-Delta-Formulierung des Beweises. Ein Großteil der Vereinfachung ergibt sich aus der Anwendung sehr einfacher Regeln für nicht standardmäßige Arithmetik wie folgt:

infinitesimal × endlich = infinitesimal

infinitesimal + infinitesimal = infinitesimal

zusammen mit dem unten genannten Übertragungsprinzip.

Eine weitere pädagogische Anwendung der Nichtstandardanalyse ist Edward Nelsons Behandlung der Theorie stochastischer Prozesse . ^[11]

Technisch

Einige neuere Arbeiten wurden in der Analyse unter Verwendung von Konzepten aus der Nichtstandardanalyse durchgeführt, insbesondere bei der Untersuchung von Grenzprozessen der Statistik und der mathematischen Physik. Sergio Albeverio et al. ^[12] diskutieren einige dieser Anwendungen.

Es gibt zwei unterschiedliche Hauptansätze für die Nichtstandardanalyse: den semantischen oder modelltheoretischen Ansatz und den syntaktischen Ansatz. Beide Ansätze gelten für andere Bereiche der Mathematik, die über die Analyse hinausgehen, einschließlich Zahlentheorie, Algebra und Topologie.

Robinsons ursprüngliche Formulierung der Nichtstandardanalyse fällt in die Kategorie des semantischen Ansatzes . Wie von ihm in seinen Arbeiten entwickelt, basiert es auf dem Studium von Modellen (insbesondere gesättigten Modellen ) einer Theorie . Seit Robinsons erstem Erscheinen wurde ein einfacherer semantischer Ansatz (aufgrund von Elias Zakon) unter Verwendung rein satztheoretischer Objekte entwickelt, die als Überstrukturen bezeichnet werden . Bei diesem Ansatz wird ein Modell einer Theorie durch ein Objekt ersetzt, das als Überbau V ( S ) über einer Menge S bezeichnet wird . Ausgehend von einem Überbau V ( S ) konstruiert man ein anderes Objekt * V ( S ) unter Verwendung der Ultrapower- Konstruktion zusammen mit einer Abbildung V ( S ) → * V ( S ) , die das Übertragungsprinzip erfüllt . Die Karte * bezieht sich auf formale Eigenschaften von V ( S ) und * V ( S ) . Darüber hinaus ist es möglich, eine einfachere Form der Sättigung in Betracht zu ziehen, die als zählbare Sättigung bezeichnet wird. Dieser vereinfachte Ansatz eignet sich auch besser für Mathematiker, die keine Spezialisten für Modelltheorie oder -logik sind.

Der syntaktische Ansatz erfordert viel weniger Logik und Modelltheorie, um verstanden und verwendet zu werden. Dieser Ansatz wurde Mitte der 1970er Jahre vom Mathematiker Edward Nelson entwickelt . Nelson führte eine völlig axiomatische Formulierung der Nichtstandardanalyse ein, die er als interne Mengenlehre (IST) bezeichnete. ^[13] IST ist eine Erweiterung der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) in dem neben der grundlegenden binären Zugehörigkeitsbeziehung ∈, führt sie einen neuen unären Prädikat Standard , die zu den Elementen des mathematischen Universums mit einigen Axiomen für die Argumentation zusammen angewandt werden können mit diesem neuen Prädikat.

Die syntaktische Nichtstandardanalyse erfordert viel Sorgfalt bei der Anwendung des Prinzips der Mengenbildung (formal als Axiom des Verstehens bekannt ), das Mathematiker normalerweise für selbstverständlich halten. Wie Nelson betont, ist ein Trugschluss in der Argumentation in IST der der illegalen Mengenbildung . Zum Beispiel gibt es in IST keine Menge, deren Elemente genau die Standard-Ganzzahlen sind (hier wird Standard im Sinne des neuen Prädikats verstanden). Um eine illegale Mengenbildung zu vermeiden, dürfen nur Prädikate von ZFC verwendet werden, um Teilmengen zu definieren. ^[13]

Ein weiteres Beispiel für den syntaktischen Ansatz ist die von Petr Vopěnka eingeführte alternative Mengenlehre ^[14] , mit der versucht wird, satztheoretische Axiome zu finden, die mit der Nichtstandardanalyse besser kompatibel sind als die Axiome von ZF.

Im Jahr 2018 schlug Abdeljalil Saghe einen expliziten Ansatz vor, um das Feld der nicht standardmäßigen Analyse ohne Verwendung der Ultrafilter zu konstruieren.

Im selben Jahr des Jahres 2018 wurde von Anggha Nugraha ein anderer Ansatz eingeführt, um eine so genannte naive Infinitesimalanalyse zu erstellen. ^{[15] [16]} Sein Ansatz liegt in gewisser Weise zwischen den beiden oben genannten Ansätzen (semantische und syntaktische Ansätze). Semantisch schlug er ein Modell vor,${\ displaystyle \ mathbb {R ^ {Z _ {<}}}}$, das ist in gewisser Weise eine vereinfachte Version von ${\ displaystyle \ mathbb {^ {*} R}}$. Er ließ jedoch nicht zu, dass dies dem Ziel im Wege stand, eine gemeinsame Sprache zu verwenden, um über beide zu sprechen${\ displaystyle \ mathbb {R ^ {Z _ {<}}}}$ und ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$. Axiomatisch sprach er auch über Syntax. Er verwendete einige Prinzipien, die ebenfalls an Bell ^[17] erinnern - Mikrostabilität und so weiter. Trotzdem musste er nicht zwischen "internen" und "externen" Sets unterscheiden, da seine Strategie Chunk & Permeate ist , sodass er sich keine Gedanken über die Inkonsistenzen machen musste, die sich aus der Verschmelzung der beiden ergeben. Ein weiterer Vorteil seines Ansatzes besteht darin, dass er relativ intuitiv funktioniert, ohne sich (zu) in technischen Komplikationen zu verlieren.

Abraham Robinsons Buch Nonstandard Analysis wurde 1966 veröffentlicht. Einige der in dem Buch entwickelten Themen waren bereits in seinem gleichnamigen Artikel von 1961 enthalten (Robinson 1961). ^[18] Das Buch enthält nicht nur die erste vollständige Behandlung der Nichtstandardanalyse, sondern auch einen detaillierten historischen Abschnitt, in dem Robinson einige der erhaltenen Meinungen zur Geschichte der Mathematik in Frage stellt, die auf der Wahrnehmung von Infinitesimalen als inkonsistente Einheiten vor der Nichtstandardanalyse beruhen. Robinson stellt daher die Idee in Frage, dass Augustin-Louis Cauchys " Summensatz " in Cours d'Analyse bezüglich der Konvergenz einer Reihe kontinuierlicher Funktionen falsch war, und schlägt eine infinitesimalbasierte Interpretation seiner Hypothese vor, die zu einem korrekten Satz führt .

Abraham Robinson und Allen Bernstein verwendeten eine nicht standardmäßige Analyse, um zu beweisen, dass jeder polynomiell kompakte lineare Operator auf einem Hilbert-Raum einen invarianten Unterraum hat . ^[19]

Gegeben ein Operator T auf Hilbert - Raum H , betrachten die Bahn eines Punktes v in H unter den iteriert von T . Anwenden von Gram-Schmidt erhält man eine Orthonormalbasis ( e _i ) für H . Lassen ( H _i ) sein , die entsprechende verschachtelte Folge von „Koordinate“ Unterräumen von H . Die Matrix a _{i, j} , die T in Bezug auf ( e _i ) ausdrückt , ist in dem Sinne fast oberes Dreieck, in dem Sinne, dass die Koeffizienten a _{i + 1, i} die einzigen subdiagonalen Koeffizienten ungleich Null sind. Bernstein und Robinson zeigen, dass wenn T polynomiell kompakt ist, es einen hyperfiniten Index w gibt, so dass der Matrixkoeffizient a _{w + 1, w} infinitesimal ist. Als nächstes betrachten den Subraum H _w von * H . Wenn y in H _w eine endliche Norm hat, dann ist T ( y ) unendlich nahe an H _w .

Nun sei T _w der Operator${\ displaystyle P_ {w} \ circ T}$Wirken auf H _w , wobei P _w die orthogonale Projektion zu H _{w ist} . Bezeichne das Polynom mit q so, dass q ( T ) kompakt ist. Der Unterraum H _w ist innerhalb der hyperfiniten Dimension. Durch Übertragen der oberen Triangularisierung von Operatoren des endlichdimensionalen komplexen Vektorraums gibt es eine interne orthonormale Hilbert-Raumbasis ( e _k ) für H _w, wobei k von 1 nach w läuft , so dass jeder der entsprechenden k- dimensionalen Teilräume E _k ist T- Variante. Bezeichne mit Π _k die Projektion auf den Unterraum E _k . Für einen Vektor x ungleich Null mit endlicher Norm in H kann man annehmen, dass q ( T ) ( x ) ungleich Null ist, oder | q ( T ) ( x ) | > 1 , um Ideen zu korrigieren. Da q ( T ) ein kompakter Operator ist, ist ( q ( T _w )) ( x ) unendlich nahe an q ( T ) ( x ) und daher hat man auch | q ( T _w ) ( x ) | > 1 . Nun sei j der größte Index, so dass${\ displaystyle | q (T_ {w}) \ left (\ Pi _ {j} (x) \ right) | <{\ tfrac {1} {2}}}$. Dann ist der Raum aller Standardelemente unendlich nahe an E _j der gewünschte invariante Unterraum.

Beim Lesen eines Vorabdrucks des Bernstein- und Robinson-Papiers interpretierte Paul Halmos ihren Beweis unter Verwendung von Standardtechniken neu. ^[20] Beide Artikel erschienen hintereinander in derselben Ausgabe des Pacific Journal of Mathematics . Einige der Ideen, die in Halmos 'Beweis verwendet wurden, tauchten viele Jahre später in Halmos' eigener Arbeit über quasi-dreieckige Operatoren wieder auf.

Andere Ergebnisse wurden im Sinne der Neuinterpretation oder Tadel früher bekannter Ergebnisse erhalten. Von besonderem Interesse ist Teturo Kamaes Beweis ^[21] des individuellen ergodischen Theorems oder L. van den Dries und Alex Wilkies Behandlung ^[22] des Gromovschen Theorems über Gruppen des Polynomwachstums . Larry Manevitz und Shmuel Weinberger verwendeten eine nicht standardmäßige Analyse , um ein Ergebnis in der algebraischen Topologie zu beweisen. ^[23]

Die wirklichen Beiträge der nichtstandardisierten Analyse liegen jedoch in den Konzepten und Theoremen, die die neue erweiterte Sprache der nichtstandardisierten Mengenlehre verwenden. Unter der Liste der neuen Anwendungen in der Mathematik gibt es neue Ansätze zur Wahrscheinlichkeit, ^[11] Hydrodynamik, ^[24] Messtheorie, ^{[25] nicht} glatte und harmonische Analyse, ^[26] usw.

Es gibt auch Anwendungen der Nichtstandardanalyse auf die Theorie stochastischer Prozesse, insbesondere Konstruktionen der Brownschen Bewegung als zufällige Spaziergänge . Albeverio et al. ^[12] haben eine hervorragende Einführung in dieses Forschungsgebiet.

Anwendungen auf die Analysis

Als Anwendung auf mathematische Bildung , H. Jerome Keisler schrieb Elementary Calculus: Ein Infinitesimale Ansatz . ^[10] Bedecken Nicht - Standard - Zahnstein entwickelt sie Differential- und Integralrechnung die hyperreale Nummern, die infinitesimal Elemente umfassen. Diese Anwendungen der Nichtstandardanalyse hängen von der Existenz des Standardteils eines endlichen hyperrealen r ab . Der mit st ( r ) bezeichnete Standardteil von r ist eine reelle Standardzahl, die unendlich nahe an r liegt . Eines der Visualisierungsgeräte, die Keisler verwendet, ist das eines imaginären Mikroskops mit unendlicher Vergrößerung, um Punkte zu unterscheiden, die unendlich nahe beieinander liegen. Keislers Buch ist inzwischen vergriffen, aber auf seiner Website frei verfügbar. siehe Referenzen unten.

Trotz der Eleganz und Attraktivität einiger Aspekte der Nichtstandardanalyse wurden auch Kritik geäußert, beispielsweise von Errett Bishop , Alain Connes und P. Halmos, wie bei der Kritik an der Nichtstandardanalyse dokumentiert .

Bei jeder Menge S ist der Überbau über einer Menge S die Menge V ( S ), die durch die Bedingungen definiert ist

${\ displaystyle V_ {0} (S) = S,}$

${\ displaystyle V_ {n + 1} (S) = V_ {n} (S) \ cup \ wp (V_ {n} (S)),}$

${\ displaystyle V (S) = \ bigcup _ {n \ in \ mathbf {N}} V_ {n} (S).}$

Somit wird die Überstruktur über S erhalten, indem von S ausgegangen wird und die Operation wiederholt wird, bei der an die Potenzmenge von S angrenzt und die Vereinigung der resultierenden Sequenz genommen wird. Die Überstruktur über den reellen Zahlen enthält eine Fülle mathematischer Strukturen: Zum Beispiel enthält sie isomorphe Kopien aller trennbaren metrischen Räume und messbaren topologischen Vektorräume. Praktisch die gesamte Mathematik, die einen Analytiker interessiert, findet innerhalb von V ( R ) statt .

Die Arbeitsansicht der nicht standardmäßigen Analyse ist eine Menge * R und eine Abbildung *: V ( R ) → V (* R ) , die einige zusätzliche Eigenschaften erfüllt. Um diese Prinzipien zu formulieren, geben wir zunächst einige Definitionen an.

Eine Formel hat die Quantifizierung genau dann begrenzt, wenn die einzigen Quantifizierer, die in der Formel vorkommen, einen über Mengen beschränkten Bereich haben, dh alle die folgende Form haben:

${\ displaystyle \ forall x \ in A, \ Phi (x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$

${\ displaystyle \ existiert x \ in A, \ Phi (x, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$

Zum Beispiel die Formel

${\ displaystyle \ forall x \ in A, \ \ existiert y \ in 2 ^ {B}, \ quad x \ in y}$

beschränkte Quantifizierung hat, die universell quantifiziert variable x Bereiche über A , die existenzquantifizierte variable y Bereiche über den Powerset von B . Andererseits,

${\ displaystyle \ forall x \ in A, \ \ existiert y, \ quad x \ in y}$

hat keine begrenzte Quantifizierung, da die Quantifizierung von y nicht eingeschränkt ist.

Eine Menge x ist genau dann intern, wenn x für ein Element A von V ( R ) ein Element von * A ist . * A selbst ist intern, wenn A zu V ( R ) gehört .

Wir formulieren nun den logischen Grundrahmen der Nichtstandardanalyse:

• Erweiterung Prinzip : Die Abbildung * ist die Identität auf R .
• Übertragungsprinzip : Für jede Formel P ( x ₁ , ..., x _n ) mit begrenzter Quantifizierung und mit freien Variablen x ₁ , ..., x _n und für alle Elemente A ₁ , ..., A _n von V. ( R ) gilt folgende Äquivalenz:

${\ displaystyle P (A_ {1}, \ ldots, A_ {n}) \ iff P (* A_ {1}, \ ldots, * A_ {n})}$

• Zählbare Sättigung : Wenn { A _k } _{k ∈ N} eine abnehmende Folge nicht leerer interner Mengen ist, wobei k über den natürlichen Zahlen liegt, dann

${\ displaystyle \ bigcap _ {k} A_ {k} \ neq \ Emptyset}$

Mit Ultraprodukten kann man zeigen, dass eine solche Karte * existiert. Elemente von V ( R ) werden als Standard bezeichnet . Elemente von * R heißen hyperreale Zahlen .

Das Symbol * N kennzeichnet die nicht standardmäßigen natürlichen Zahlen. Durch die Erweiterung Prinzip ist dies eine Obermenge von N . Die Menge * N - N ist nicht leer. Um dies zu sehen, wenden Sie eine zählbare Sättigung auf die Sequenz der internen Sätze an

${\ displaystyle A_ {n} = \ {k \ in {^ {*} \ mathbf {N}}: k \ geq n \}}$

Die Folge { A _n } _{n ∈ N} hat einen nicht leeren Schnittpunkt, der das Ergebnis beweist.

Wir beginnen mit einigen Definitionen: Hyperreals r , s sind genau dann unendlich nahe, wenn

${\ displaystyle r \ cong s \ iff \ forall \ theta \ in \ mathbf {R} ^ {+}, \ | rs | \ leq \ theta}$

Ein hyperrealen r ist infinitesimal wenn und nur wenn es auf 0. Zum Beispiel unendlich nahe ist, wenn n ein hyperinteger , das heißt ein Element der * N - N , dann 1 / n eine unendlich ist. Ein hyperreales r ist genau dann begrenzt (oder endlich ), wenn sein absoluter Wert von (weniger als) einer Standard-Ganzzahl dominiert wird. Die begrenzten Hyperreals bilden einen Teilring von * R , der die Realreals enthält. In diesem Ring sind die infinitesimalen Hyperreals ein Ideal .

Die Menge der begrenzten Hyperreals oder die Menge der infinitesimalen Hyperreals sind externe Teilmengen von V (* R ) ; In der Praxis bedeutet dies, dass die begrenzte Quantifizierung, bei der die Grenze eine interne Menge ist, niemals über diese Mengen reicht.

Beispiel : Die Ebene ( x , y ) mit x und y über * R ist intern und ein Modell der euklidischen Geometrie der Ebene. Die Ebene mit x und y, die auf begrenzte Werte beschränkt ist (analog zur Dehn-Ebene ), ist extern, und in dieser begrenzten Ebene wird das parallele Postulat verletzt. Beispielsweise ist jede Linie, die durch den Punkt (0, 1) auf der y- Achse verläuft und eine infinitesimale Steigung aufweist, parallel zur x- Achse.

Satz. Für jedes begrenzte hyperreale r gibt es einen eindeutigen Standard-Real, der als st ( r ) bezeichnet wird und unendlich nahe an r liegt . Das Mapping - st ist ein Ringhomomorphismus vom Ring aus begrenzt hyper bis R .

Das Mapping st ist auch extern.

Eine Art, den Standardteil eines Hyperrealen zu denken , sind Dedekind-Schnitte ; Jedes begrenzte Hyperreal s definiert einen Schnitt unter Berücksichtigung des Mengenpaars ( L , U ), wobei L die Menge der Standardrationalen a kleiner als s und U die Menge der Standardrationalen b größer als s ist . Die reelle Zahl, die ( L , U ) entspricht, erfüllt die Bedingung, der Standardteil von s zu sein .

Eine intuitive Charakterisierung der Kontinuität lautet wie folgt:

Satz. Eine reelle Funktion f im Intervall [ a , b ] ist genau dann stetig, wenn für jedes hyperreale x im Intervall * [ a , b ] gilt: * f ( x ) ≅ * f (st ( x ) ) .

( Weitere Informationen finden Sie unter Mikrokontinuität ). Ähnlich,

Satz. Eine reelle Funktion f ist am reellen Wert x genau dann differenzierbar, wenn für jede infinitesimale hyperreale Zahl h der Wert ist

${\ displaystyle f '(x) = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {{^ {*} f} (x + h) - {^ {*} f} (x)} {h}} \ Recht)}$

existiert und ist unabhängig von h . In diesem Fall ist f '( x ) eine reelle Zahl und die Ableitung von f bei x .

Es ist möglich, die Sättigung zu "verbessern", indem Sammlungen mit höherer Kardinalität geschnitten werden können. Ein Modell ist κ - gesättigt, wenn wann immer${\ displaystyle \ {A_ {i} \} _ {i \ in I}}$ist eine Sammlung interner Mengen mit der Eigenschaft endlicher Schnittpunkte und${\ displaystyle | I | \ leq \ kappa}$,

${\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ neq \ Emptyset}$

Dies ist beispielsweise in einem topologischen Raum X nützlich, in dem wir möglicherweise | 2 ^X | möchten -Sättigung, um sicherzustellen, dass der Schnittpunkt einer Standard- Nachbarschaftsbasis nicht leer ist. ^[27]

Für jeden Kardinal κ kann eine κ- gesättigte Erweiterung konstruiert werden. ^[28]

• EE Rosinger, [math / 0407178]. Kurze Einführung in die Nichtstandardanalyse . arxiv.org.

• Zitate im Zusammenhang mit nicht standardmäßigen Analysen bei Wikiquote
• Die Geister der verstorbenen Mengen von Lindsay Keegan.