Umkehrfunktion

Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Eine Funktion f und ihre Umkehrung f  −1 . Da f a auf 3 abbildet , bildet die Umkehrung f  −1 3 auf a zurück .

In der Mathematik , eine inverse Funktion (oder anti-Funktion ) [1] ist eine Funktion , dass „umkehrt“ eine andere Funktion: wenn die Funktion f an einen Eingang x ergibt ein Ergebnis von y , dann ihre Umkehrfunktion Anlegen g bis y gibt die Ergebnis x , dh g ( y ) = x genau dann, wenn f ( x ) = y . [2] [3] Die Umkehrfunktion von f wird auch als bezeichnet .[4] [5] [6]

Betrachten Sie als Beispiel die reelle Funktion einer reellen Variablen, die durch f ( x ) = 5 x - 7 gegeben ist . Stellen Sie sich dies als eine schrittweise Prozedur vor (nehmen Sie eine Zahl x , multiplizieren Sie sie mit 5 und subtrahieren Sie dann 7 vom Ergebnis), um dies umzukehren und x von einem Ausgabewert zurückzugewinnen, z. B. y , würden wir rückgängig machen jeder Schritt in umgekehrter Reihenfolge. In diesem Fall bedeutet dies, 7 zu y zu addieren und dann das Ergebnis durch 5 zu teilen. In der funktionalen Notation wäre diese Umkehrfunktion gegeben durch:

Mit y = 5 x - 7 haben wir f ( x ) = y und g ( y ) = x .

Nicht alle Funktionen haben inverse Funktionen. [nb 1] Diejenigen, die dies tun, werden als invertierbar bezeichnet . Damit eine Funktion f : XY eine Inverse hat, muss sie die Eigenschaft haben, dass es für jedes y in Y genau ein x in X gibt, so dass f ( x ) = y ist . Diese Eigenschaft stellt sicher, dass eine Funktion g : YX mit der erforderlichen Beziehung zu f existiert .

Definitionen [ bearbeiten ]

Wenn f X auf Y abbildet , ordnet f  −1 Y wieder X zu .

Sei f eine Funktion, deren Domäne die Menge X ist und deren Codomäne die Menge Y ist . Dann f ist umkehrbar , wenn es eine Funktion existiert g mit Domäne Y und codomain X mit der Eigenschaft:

Wenn f umkehrbar ist, dann ist die Funktion g ist einzigartig , [7] , was bedeutet , dass es genau eine Funktion g diese Eigenschaft erfüllt. Darüber hinaus folgt auch, dass die Bereiche von g und f ihren jeweiligen Codomänen entsprechen. Die Funktion g heißt die Umkehrung von f und wird gewöhnlich als f  −1 bezeichnet [4], eine Notation, die 1813 von John Frederick William Herschel eingeführt wurde. [8] [9] [10] [11] [12] [nb 2]

Anders gesagt, eine Funktion als als binäre Beziehung , hat eine inverse , wenn und nur wenn die umgekehrte Beziehung eine Funktion auf der codomain ist Y , wobei in diesem Fall die umgekehrte Beziehung ist die inverse Funktion. [13]

Nicht alle Funktionen haben eine Umkehrung. Damit eine Funktion eine Inverse hat, darf jedes Element yY nicht mehr als einem xX entsprechen ; Eine Funktion f mit dieser Eigenschaft wird als Eins-zu-Eins oder als Injektion bezeichnet . Wenn f  −1 eine Funktion auf Y sein soll , muss jedes Element yY einem xX entsprechen . Funktionen mit dieser Eigenschaft werden als Surjektionen bezeichnet . Diese Eigenschaft ist per Definition erfüllt, wenn Y das Bild von f ist, kann aber nicht in einem allgemeineren Kontext gelten. Um invertierbar zu sein, muss eine Funktion sowohl eine Injektion als auch eine Surjektion sein. Solche Funktionen nennt man Bijektionen . Die Inverse einer Injektion f : XY , die nicht eine Bijektion ist (dh, kein Surjektion ist), ist nur eine Teilfunktion auf Y , was bedeutet , dass für einige yY , f -1 ( y ) ist nicht definiert. Wenn eine Funktion f invertierbar ist, sind sowohl sie als auch ihre Umkehrfunktion f −1 Bijektionen.

Eine andere Konvention wird bei der Definition von Funktionen verwendet, die als "satztheoretische" oder "graphische" Definition unter Verwendung geordneter Paare bezeichnet wird , wodurch die Codomäne und das Bild der Funktion gleich werden. [14] Nach dieser Konvention sind alle Funktionen surjektiv, [nb 3] also sind Bijektivität und Injektivität gleich. Autoren, die diese Konvention verwenden, können die Formulierung verwenden, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn es sich um eine Injektion handelt. [15] Die beiden Konventionen müssen keine Verwirrung stiften, solange daran erinnert wird, dass in dieser alternativen Konvention die Codomäne einer Funktion immer als Bild der Funktion angesehen wird.

Beispiel: Quadrier- und Quadratwurzelfunktionen [ Bearbeiten ]

Die durch f ( x ) = x 2 gegebene Funktion f : ℝ → [0, ∞) ist nicht injektiv, da jedes mögliche Ergebnis y (außer 0) zwei verschiedenen Startpunkten in X entspricht - einem positiven und einem negativen und so weiter Diese Funktion ist nicht invertierbar. Mit dieser Art von Funktion ist es unmöglich, eine (eindeutige) Eingabe von ihrer Ausgabe abzuleiten. Eine solche Funktion wird als nicht injektiv oder in einigen Anwendungen als Informationsverlust bezeichnet. [ Zitat benötigt ]

Wenn der Bereich der Funktion auf die nichtnegativen Realitäten beschränkt ist, dh die Funktion mit der gleichen Regel wie zuvor neu definiert wird als f : [0, ∞) → [0, ∞) , dann ist die Funktion bijektiv und so, invertierbar. [16] Die Umkehrfunktion wird hier als (positive) Quadratwurzelfunktion bezeichnet .

Inversen und Komposition [ Bearbeiten ]

Wenn f eine invertierbare Funktion mit Domäne X und Codomäne Y ist , dann

für jeden ; und für jeden . [6]

Mit der Zusammensetzung der Funktionen können wir diese Aussage wie folgt umschreiben:

und

wobei id X die Identitätsfunktion auf der Menge X ist ; das heißt, die Funktion, die ihr Argument unverändert lässt. In der Kategorietheorie wird diese Aussage als Definition eines inversen Morphismus verwendet .

Die Berücksichtigung der Funktionszusammensetzung hilft, die Notation f  −1 zu verstehen . Das wiederholte Zusammenstellen einer Funktion mit sich selbst wird als Iteration bezeichnet . Wenn f n- mal angewendet wird, beginnend mit dem Wert x , dann wird dies als f n ( x ) geschrieben ; also f  2 ( x ) = f ( f ( x )) usw. Da f  −1 ( f ( x )) = x ist, setzt sich f  −1 und f zusammenn ergibt f n −1 , wodurch der Effekt einer Anwendung vonf"rückgängig gemacht" wird.

Notation [ Bearbeiten ]

Während die Notation f  −1 ( x ) missverstanden werden könnte, bezeichnet [6] ( f ( x )) −1 sicherlich die multiplikative Inverse von f ( x ) und hat nichts mit der Inversen Funktion von f zu tun . [12]

In Übereinstimmung mit der allgemeinen Notation verwenden einige englische Autoren Ausdrücke wie sin −1 ( x ) , um die Umkehrung der auf x angewendeten Sinusfunktion zu bezeichnen (tatsächlich eine partielle Umkehrung ; siehe unten). [17] [12] Andere Autoren sind der Ansicht, dass dies mit der Notation für die multiplikative Inverse von sin ( x ) verwechselt werden kann, die als (sin ( x )) −1 bezeichnet werden kann . [12] Um Verwechslungen zu vermeiden, wird eine inverse trigonometrische Funktion häufig durch das Präfix " arc " (für lateinischen Arcus ) angezeigt .[18] [19] Beispielsweise wird die Umkehrung der Sinusfunktion typischerweise als Arkussinusfunktion bezeichnet, die als Arkussinus ( x ) geschrieben wird . [4] [18] [19] In ähnlicher Weise wird die Umkehrung einer hyperbolischen Funktion durch das Präfix " ar " (für lateinisch ārea ) angezeigt . [19] Beispielsweise wird die Umkehrung der hyperbolischen Sinusfunktion typischerweise als arsinh ( x ) geschrieben . [19] Anderen inversen Sonderfunktionen wird manchmal das Präfix "inv" vorangestellt, wenn die Mehrdeutigkeit des f −1 Notation sollte vermieden werden. [1] [19]

Eigenschaften [ Bearbeiten ]

Da eine Funktion eine spezielle Art von binärer Beziehung ist , entsprechen viele der Eigenschaften einer inversen Funktion den Eigenschaften von umgekehrten Beziehungen .

Einzigartigkeit [ Bearbeiten ]

Wenn für eine gegebene Funktion f eine Umkehrfunktion existiert , ist sie eindeutig. [20] Dies folgt, da die Umkehrfunktion die Umkehrbeziehung sein muss, die vollständig durch f bestimmt wird .

Symmetrie [ Bearbeiten ]

Es gibt eine Symmetrie zwischen einer Funktion und ihrer Umkehrung. Insbesondere wenn f eine invertierbare Funktion mit Domäne X und Codomäne Y ist , dann hat ihre Umkehrung f  −1 Domäne Y und Bild X , und die Umkehrung von f  −1 ist die ursprüngliche Funktion f . In Symbolen für die Funktionen f : XY und f −1 : YX , [20]

und

Diese Aussage ist eine Folge der Implikation, dass f , um invertierbar zu sein, bijektiv sein muss. Die Involution des Inversen kann durch [21] präzise ausgedrückt werden.

Die Umkehrung von g  ∘  f ist f  −1  ∘  g  −1 .

Die Umkehrung einer Zusammensetzung von Funktionen ist gegeben durch [22]

Beachten Sie, dass die Reihenfolge von g und f umgekehrt wurde. Um f gefolgt von g rückgängig zu machen , müssen wir zuerst g rückgängig machen und dann f rückgängig machen .

Zum Beispiel sei f ( x ) = 3 x und sei g ( x ) = x + 5 . Dann ist die Zusammensetzung g  ∘  f die Funktion, die zuerst mit drei multipliziert und dann fünf addiert.

Um diesen Prozess umzukehren, müssen wir zuerst fünf subtrahieren und dann durch drei dividieren.

Dies ist die Zusammensetzung ( f  −1  ∘  g  −1 ) ( x ) .

Selbstumkehrung [ Bearbeiten ]

Wenn X eine Menge ist, ist die Identitätsfunktion auf X eine eigene Umkehrung:

Allgemeiner ist eine Funktion f  : XX genau dann gleich ihrer eigenen Umkehrung, wenn die Zusammensetzung f  ∘  f gleich id X ist . Eine solche Funktion wird als Involution bezeichnet .

Inversen im Kalkül [ Bearbeiten ]

Die Einzelvariablenrechnung befasst sich hauptsächlich mit Funktionen, die reelle Zahlen auf reelle Zahlen abbilden. Solche Funktionen werden oft durch Formeln definiert , wie zum Beispiel:

Eine surjektive Funktion f von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen besitzt eine Umkehrung, solange sie eins zu eins ist. Das heißt, der Graph von y = f ( x ) hat für jeden möglichen y- Wert nur einen entsprechenden x- Wert und besteht somit den horizontalen Linientest .

Die folgende Tabelle zeigt einige Standardfunktionen und ihre Umkehrungen:

Funktion f ( x )Invers f  −1 ( y )Anmerkungen
x + ay - a
a - xa - y
mxy/.mm ≠ 0
1/.x(dh x −1 )1/.y(dh y −1 )x ,  y ≠ 0
x 2√ y (dh y 1/2 )x ,  y ≥ 0 nur
x 33 √ y (dh y 1/3 )Keine Einschränkung für x und y
x pp y (dh y 1 / p )x ,  y ≥ 0, wenn p gerade ist; ganze Zahl p > 0
2 xlb  yy > 0
e xln  yy > 0
10 xlog  yy > 0
a xlog a yy > 0 und a > 0
trigonometrische Funktioneninverse trigonometrische Funktionenverschiedene Einschränkungen (siehe Tabelle unten)
hyperbolische Funktioneninverse hyperbolische Funktionenverschiedene Einschränkungen

Formel für die Umkehrung [ Bearbeiten ]

Ein Ansatz, um eine Formel für f  −1 zu finden , besteht darin, die Gleichung y = f ( x ) für x zu lösen . [23] Zum Beispiel, wenn f die Funktion ist

dann müssen wir die Gleichung y = (2 x + 8) 3 für x lösen :

Somit ist die Umkehrfunktion f  −1 durch die Formel gegeben

Manchmal kann die Umkehrung einer Funktion nicht durch eine Formel mit einer endlichen Anzahl von Begriffen ausgedrückt werden. Zum Beispiel, wenn f die Funktion ist

dann ist f eine Bijektion und besitzt daher eine Umkehrfunktion f  −1 . Die Formel für diese Umkehrung hat unendlich viele Begriffe:

Grafik der Umkehrung [ Bearbeiten ]

Die Graphen von y = f ( x ) und y = f  −1 ( x ) . Die gepunktete Linie ist y = x .

Wenn f invertierbar ist, dann der Graph der Funktion

ist das gleiche wie der Graph der Gleichung

Dies ist identisch mit der Gleichung y = f ( x ) , die den Graphen von f definiert , außer dass die Rollen von x und y vertauscht wurden. Somit kann der Graph von f  −1 aus dem Graph von f durch Umschalten der Positionen der x- und y- Achse erhalten werden. Dies entspricht der Reflexion des Graphen über die Linie y = x . [24] [6]

Inversen und Derivate [ Bearbeiten ]

Eine stetige Funktion f ist in ihrem Bereich (Bild) genau dann invertierbar, wenn sie entweder streng zunimmt oder abnimmt (ohne lokale Maxima oder Minima ). [ Zitat benötigt ] Zum Beispiel die Funktion

ist invertierbar, da die Ableitung f ' ( x ) = 3 x 2 + 1 immer positiv ist.

Wenn die Funktion f ist differenzierbar auf einem Intervall I und f ' ( x ) ≠ 0 für jedes xI , dann ist die inverse F  -1 differenzierbar auf f ( I ) . [25] Wenn y = f ( x ) ist , ist die Ableitung der Umkehrung durch den Satz der Umkehrfunktion gegeben ,

Unter Verwendung der Leibniz-Notation kann die obige Formel wie folgt geschrieben werden

Dieses Ergebnis ergibt sich aus der Kettenregel (siehe Artikel über inverse Funktionen und Differenzierung ).

Der inverse Funktionssatz kann auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinert werden. Genauer gesagt, eine differenzierbare multivariable Funktion f : R nR n invertierbar ist in einer Nachbarschaft eines Punktes p , solange die Jacobi - Matrix von f an p ist umkehrbar . In diesem Fall ist der Jacobi von f  −1 bei f ( p ) die inverse Matrix des Jacobi von f bei p .

Beispiele aus der Praxis [ Bearbeiten ]

  • Lassen f die Funktion , die wandelt eine Temperatur in Grad Celsius auf eine Temperatur in Grad Fahrenheit ,
dann wandelt seine Umkehrfunktion Grad Fahrenheit in Grad Celsius um,
[5]
schon seit
  • Angenommen, f weist jedem Kind in einer Familie sein Geburtsjahr zu. Eine Umkehrfunktion würde ausgeben, welches Kind in einem bestimmten Jahr geboren wurde. Wenn jedoch die Familienkinder im selben Jahr geboren wurden (z. B. Zwillinge oder Drillinge usw.), kann die Ausgabe nicht bekannt sein, wenn die Eingabe das gemeinsame Geburtsjahr ist. Wenn ein Jahr angegeben wird, in dem kein Kind geboren wurde, kann ein Kind nicht benannt werden. Wenn jedoch jedes Kind in einem anderen Jahr geboren wurde und wir die Aufmerksamkeit auf die drei Jahre beschränken, in denen ein Kind geboren wurde, haben wir eine umgekehrte Funktion. Beispielsweise,
  • Sei R die Funktion, die zu einem Anstieg des x- Prozentsatzes um eine bestimmte Menge führt, und F die Funktion, die einen Abfall des x- Prozentsatzes erzeugt. Auf $ 100 mit x = 10% angewendet, stellen wir fest, dass das Anwenden der ersten Funktion gefolgt von der zweiten nicht den ursprünglichen Wert von $ 100 wiederherstellt, was die Tatsache zeigt, dass diese beiden Funktionen trotz des Auftretens keine Umkehrungen voneinander sind.
  • Die Formel zur Berechnung des pH-Werts einer Lösung lautet pH = -log10 [H +]. In vielen Fällen müssen wir die Säurekonzentration aus einer pH-Messung ermitteln. Die Umkehrfunktion [H +] = 10 ^ -pH wird verwendet.

Verallgemeinerungen [ bearbeiten ]

Teilumkehrungen [ Bearbeiten ]

Die Quadratwurzel von x ist eine partielle Umkehrung zu f ( x ) = x 2 .

Selbst wenn eine Funktion f nicht eins zu eins ist, kann es möglich sein, eine partielle Umkehrung von f durch Einschränken der Domäne zu definieren . Zum Beispiel die Funktion

ist nicht eins zu eins, da x 2 = (- x ) 2 . Die Funktion wird jedoch eins zu eins, wenn wir uns auf die Domäne x ≥ 0 beschränken . In diesem Fall

(Wenn wir stattdessen auf die Domäne x ≤ 0 beschränken , ist die Umkehrung das Negativ der Quadratwurzel von y .) Alternativ besteht keine Notwendigkeit, die Domäne einzuschränken, wenn wir uns damit zufrieden geben, dass die Umkehrung eine mehrwertige Funktion ist :

Die Umkehrung dieser kubischen Funktion hat drei Zweige.

Manchmal wird diese mehrwertige Umkehrung die vollständige Umkehrung von f genannt , und die Teile (wie x und - x ) werden Zweige genannt . Der wichtigste Zweig einer mehrwertigen Funktion (z. B. die positive Quadratwurzel) wird als Hauptzweig bezeichnet , und sein Wert bei y wird als Hauptwert von f  −1 ( y ) bezeichnet .

Für eine kontinuierliche Funktion auf der realen Linie ist ein Zweig zwischen jedem Paar lokaler Extrema erforderlich . Beispielsweise hat die Umkehrung einer kubischen Funktion mit einem lokalen Maximum und einem lokalen Minimum drei Zweige (siehe nebenstehendes Bild).

Der Arkussinus ist eine teilweise Umkehrung der Sinusfunktion .

Diese Überlegungen sind besonders wichtig für die Definition der Inversen trigonometrischer Funktionen . Zum Beispiel ist die Sinusfunktion nicht eins zu eins, da

für jedes reelle x (und allgemeiner sin ( x + 2 π n ) = sin ( x ) für jede ganze Zahl n ). Der Sinus ist jedoch eins zu eins im Intervall [-π/.2, π/.2] , und die entsprechende partielle Inverse wird als Arkussinus bezeichnet . Dies wird als Hauptzweig des inversen Sinus angesehen, daher liegt der Hauptwert des inversen Sinus immer zwischen -π/.2 und π/.2. Die folgende Tabelle beschreibt den Hauptzweig jeder inversen trigonometrischen Funktion: [26]

FunktionBereich des üblichen Hauptwerts
arcsin- -π/.2≤ sin −1 ( x ) ≤π/.2
Arccos0 ≤ cos −1 ( x ) ≤ π
Arctan- -π/.2<tan −1 ( x ) <π/.2
Arccot0 <cot −1 ( x ) < π
arcsec0 ≤ sec −1 ( x ) ≤ π
arccsc- -π/.2≤ csc −1 ( x ) ≤π/.2

Links und rechts invers [ bearbeiten ]

Linke und rechte Umkehrung sind nicht unbedingt gleich. Wenn g eine linke inverse für ist f , dann g kann oder kann nicht eine Rechtsinverse für sein f ; und wenn g eine rechte Umkehrung für f ist , dann ist g nicht notwendigerweise eine linke Umkehrung für f . Zum Beispiel sei f : R[0, ∞) die Quadrierungskarte, so dass f ( x ) = x 2 für alle x in R ist , und sei g : [0, ∞)R.bezeichnen die Quadratwurzelkarte so, dass g ( x ) = x für alle x ≥ 0 ist . Dann ist f ( g ( x )) = x für alle x in [0, ∞) ; das heißt, g ist eine Rechtsumkehrung zu f . Jedoch g ist keine linke invers zu f , da beispielsweise g ( f (-1)) = 1 ≠ -1 .

Links invers [ bearbeiten ]

Wenn f : XY , ist eine Linksinverse für f (oder das Zurückziehen von f ) eine Funktion g : YX, so dass das Zusammensetzen von f mit g von links die Identitätsfunktion ergibt [ Zitieren erforderlich ] :

Das heißt, die Funktion g erfüllt die Regel

Wenn ja , dann

Somit muss g gleich der Umkehrung von f auf dem Bild von f sein , kann jedoch beliebige Werte für Elemente von Y annehmen, die nicht im Bild enthalten sind.

Eine Funktion f ist genau dann injektiv, wenn sie eine Linksumkehrung hat oder die leere Funktion ist. [ Zitat benötigt ]

Wenn g die linke Umkehrung von f ist , ist f injektiv. Wenn f (x) = f (y) , dann .
Wenn f: X → Y injektiv ist, ist f entweder die leere Funktion ( X = ∅ ) oder hat eine linksinverse g: YX ( X ≠ ≠) , die wie folgt konstruiert werden kann: für alle y ∈ Y , wenn y ist im Bild von f (es existiert x ∈ X, so dass f (x) = y ), sei g (y) = x ( x ist eindeutig, weil f injektiv ist); Andernfalls lassen g (y) ein beliebiges Element sein , X . Für alle x ∈ X gilt f (x)ist im Bild von f , also ist g (f (x)) = x von oben, also ist g eine linke Umkehrung von f .

In der klassischen Mathematik hat jede injizierende Funktion f mit einer nicht leeren Domäne notwendigerweise eine linke Umkehrung; Dies kann jedoch in der konstruktiven Mathematik fehlschlagen . Zum Beispiel verletzt eine linke Umkehrung des Einschlusses {0,1} → R der Zwei-Elemente-Menge in den Reals die Unzusammensetzbarkeit, indem sie der Menge {0,1}  die Reallinie zurückzieht . [ Zitat benötigt ]

Rechts invers [ bearbeiten ]

Eine Rechtsumkehrung für f (oder einen Abschnitt von f ) ist eine Funktion h : YX, so dass [ Zitieren erforderlich ]

Das heißt, die Funktion h erfüllt die Regel

Wenn ja , dann

Somit kann h ( y ) eines der Elemente von X sein , die unter f auf y abgebildet werden .

Eine Funktion f hat genau dann eine Rechtsumkehrung, wenn sie surjektiv ist (obwohl die Konstruktion einer solchen Umkehrung im Allgemeinen das Axiom der Wahl erfordert ).

Wenn h die rechte Umkehrung von f ist , ist f surjektiv. Für alle gibt es solche .
Wenn f surjektiv ist, hat f eine rechtsinverse h , die wie folgt konstruiert werden kann: Für alle gibt es mindestens eine solche, die (weil f surjektiv ist), also wählen wir eine als Wert von h (y) . [ Zitat benötigt ]

Zweiseitige Umkehrungen [ Bearbeiten ]

Eine Inverse, die sowohl eine linke als auch eine rechte Inverse ist (eine zweiseitige Inverse ), muss eindeutig sein, falls sie existiert. Wenn eine Funktion eine Linksumkehrung und eine Rechtsumkehrung hat, sind beide die gleiche zweiseitige Umkehrung, so dass sie als Umkehrung bezeichnet werden kann .

Wenn ist eine linke Umkehrung und eine rechte Umkehrung von für alle , .

Eine Funktion hat genau dann eine zweiseitige Umkehrung, wenn sie bijektiv ist.

Eine bijektive Funktion f ist injektiv, hat also eine Linksumkehrung (wenn f die leere Funktion ist, ist sie ihre eigene Linksumkehrung). f ist surjektiv, hat also eine Rechtsumkehrung. Durch das Obige sind die linke und die rechte Umkehrung gleich.
Wenn f eine zweiseitige Umkehrung g hat , dann ist g eine Linksumkehrung und eine Rechtsumkehrung von f , so dass f injektiv und surjektiv ist.

Preimages [ bearbeiten ]

Wenn f : XY eine Funktion ist (nicht unbedingt invertierbar), ist das Vorbild (oder inverse Bild ) eines Elements yY die Menge aller Elemente von X , die y zugeordnet sind : [ Zitieren erforderlich ]

Das Vorbild von y kann als das Bild von y unter der (mehrwertigen) vollständigen Umkehrung der Funktion f betrachtet werden .

In ähnlicher Weise , wenn S eine beliebige ist Subset von Y , das Urbild von S , bezeichnet , [4] ist die Menge aller Elemente von X dass Karte S :

Nehmen Sie zum Beispiel eine Funktion f : RR , wobei f : xx 2 ist . Diese Funktion ist aus den in § Beispiel: Quadrieren und Quadratwurzelfunktionen erläuterten Gründen nicht invertierbar . Es können jedoch Vorbilder für Teilmengen der Codomäne definiert werden:

Das Vorbild eines einzelnen Elements yY - eine Singleton-Menge { y }  - wird manchmal als Faser von y bezeichnet . Wenn Y die Menge reeller Zahlen ist, wird üblicherweise f  −1 ({ y }) als Pegelsatz bezeichnet .

Siehe auch [ Bearbeiten ]

  • Der Lagrange-Inversionssatz gibt die Taylorreihenerweiterung der inversen Funktion einer analytischen Funktion an
  • Integral von inversen Funktionen
  • Inverse Fourier-Transformation
  • Reversibles Rechnen

Notizen [ Bearbeiten ]

  1. ^ Es ist üblich, wenn keine Mehrdeutigkeit auftreten kann, den Begriff "Funktion" wegzulassen und sich nur auf eine "Umkehrung" zu beziehen.
  2. ^ Nicht zu verwechseln mit numerischer Exponentiation wie der multiplikativen Umkehrung einer reellen Zahl ungleich Null.
  3. ^ Dieser Begriff wird in dieser Konvention also nie verwendet.

Referenzen [ bearbeiten ]

  1. ^ a b Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Artikel 14: Inverse trigonometrische Funktionen" . Geschrieben bei Ann Arbor, Michigan, USA. Flugzeugtrigonometrie . New York: Henry Holt & Company . S. 15–16 . Abgerufen am 12.08.2017 . α = arcsin  m Diese Notation wird in Europa allgemein verwendet und gewinnt in diesem Land schnell an Bedeutung. Ein weniger wünschenswertes Symbol, α = sin -1 m , findet sich immer noch in englischen und amerikanischen Texten. Die Notation α = inv sin m ist wegen ihrer allgemeinen Anwendbarkeit vielleicht noch besser. […] Eine ähnliche symbolische Beziehung gilt für die anderetrigonometrische Funktionen . Es wird häufig "Bogen-Sinus m" oder "Anti-Sinus m " gelesen , da zwei zueinander inverse Funktionen als die Anti-Funktion des anderen bezeichnet werden.
  2. ^ Keisler, Howard Jerome . "Differenzierung" (PDF) . Abgerufen am 24.01.2015 . §2.4
  3. ^ Scheinerman, Edward R. (2013). Mathematik: Eine diskrete Einführung . Brooks / Cole . p. 173. ISBN 978-0840049421.
  4. ^ a b c d "Umfassende Liste der Algebra-Symbole" . Math Vault . 2020-03-25 . Abgerufen am 08.09.2020 .
  5. ^ a b "Inverse Funktionen" . www.mathsisfun.com . Abgerufen am 08.09.2020 .
  6. ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Inverse Funktion" . mathworld.wolfram.com . Abgerufen am 08.09.2020 .
  7. ^ Devlin 2004 , p. 101, Satz 4.5.1
  8. ^ Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "Über eine bemerkenswerte Anwendung des Satzes von Cotes" . Philosophische Transaktionen der Royal Society of London . London: Royal Society of London , gedruckt von W. Bulmer und Co., Cleveland-Row, St. James's, verkauft von G. und W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Teil 1): 8–26 [10]. doi : 10.1098 / rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .  
  9. ^ Herschel, John Frederick William (1820). "Teil III. Abschnitt I. Beispiele für die direkte Methode der Unterschiede" . Eine Sammlung von Beispielen für die Anwendung der Berechnung endlicher Differenzen . Cambridge, Großbritannien: Gedruckt von J. Smith, verkauft von J. Deighton & Sons. S. 1–13 [5–6]. Archiviert vom Original am 04.08.2020 . Abgerufen am 04.08.2020 . [1] (NB. Hier bezieht sich Herschel auf sein Werk von 1813 und erwähnt das ältere Werk von Hans Heinrich Bürmann .)
  10. ^ Peirce, Benjamin (1852). Kurven, Funktionen und Kräfte . Ich (neue Ausgabe). Boston, USA. p. 203.
  11. ^ Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (auf Französisch). IV . p. 229.
  12. ^ a b c d Cajori, Florian (1952) [März 1929]. "§472. Die Potenz eines Logarithmus / §473. Iterierte Logarithmen / §533. John Herschels Notation für inverse Funktionen / §535. Persistenz rivalisierender Notationen für inverse Funktionen / §537. Potenzen trigonometrischer Funktionen". Eine Geschichte der mathematischen Notationen . 2 (3. korrigierter Druck der Ausgabe von 1929, 2. Aufl.). Chicago, USA: Open Court Verlag . S. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Abgerufen am 18.01.2016 . […] §473. Iterierte Logarithmen […] Wir stellen hier die Symbolik fest, die Pringsheim und Molk in ihrem gemeinsamen Enzyklopädie- Artikel verwendeten: " 2 log b a = log b (log b a ), ..., k + 1 log b a = log b ( k log b a ). " […] § 533. John Herschels Notation für inverse Funktionen, sin −1 x , tan −1 xusw. wurde von ihm in den Philosophical Transactions of London für das Jahr 1813 veröffentlicht. Er sagt ( S. 10 ): "Diese Notation cos. −1 e darf nicht so verstanden werden, dass sie 1 / cos.  e bedeutet , aber was wird normalerweise so geschrieben, arc (cos. = e ). " Er gibt zu, dass einige Autoren cos verwenden. m A für (cos.  A ) m , aber er rechtfertigt seine eigene Notation mit dem Hinweis darauf , dass seit d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x Mittelwert dd x , ΔΔΔ  x , ΣΣ  xWir sollten Sünde schreiben. 2 x für Sünde. Sünde.  x , log. 3 x für Protokoll. Log. Log.  x . So wie wir d - n  V = ∫ n  V schreiben, können wir ähnlich sin schreiben. −1 x = Bogen (sin. = X ), log. −1 x . = C x . Einige Jahre später erklärte Herschel, dass er 1813 f n ( x ), f - n ( x ), sin benutzte . −1 x usw. ", wie er damals zum ersten Mal vermutete. Die Arbeit eines deutschen Analysten,Burmann ist jedoch innerhalb dieser wenigen Monate zu seinem Wissen gekommen, in dem dasselbe zu einem wesentlich früheren Zeitpunkt erklärt wird. Er [Burmann] scheint jedoch weder die Bequemlichkeit bemerkt zu haben, diese Idee auf die inversen Funktionen tan −1 usw. anzuwenden , noch scheint er sich der inversen Funktionsrechnung, aus der sie hervorgeht, überhaupt bewusst zu sein. " Herschel fügt hinzu: "Die Symmetrie dieser Notation und vor allem die neuen und umfangreichsten Ansichten, die sie über die Natur analytischer Operationen eröffnet, scheinen ihre universelle Übernahme zu genehmigen." [A] […] § 535. Beharrlichkeit rivalisierender Notationen für inverse Funktionen . - […] Die Verwendung von Herschels Notation hat sich bei Benjamin Peirce geringfügig geändertBücher, um den hauptsächlichen Einwand gegen sie zu beseitigen; Peirce schrieb: "cos [−1] x ", "log [−1] x ". [b] […] §537. Potenzen trigonometrischer Funktionen. - Drei Hauptnotationen wurden verwendet, um beispielsweise das Quadrat von sin  x zu bezeichnen , nämlich (sin  x ) 2 , sin  x 2 , sin 2 x . Die derzeit vorherrschende Notation ist sin 2 x , obwohl die erste am wenigsten wahrscheinlich falsch interpretiert wird. Im Fall von Sünde 2 x bieten sich zwei Interpretationen an; zuerst sin  x · sin  x;; zweitens [c] sin (sin  x ). Da Funktionen des letzten Typs normalerweise nicht vorhanden sind, ist die Gefahr einer Fehlinterpretation sehr viel geringer als im Fall von log 2 x , wo log  x · log  x und log (log  x ) in der Analyse häufig auftreten. […] Die Notation sin n x für (sin  x ) n ist weit verbreitet und ist jetzt die vorherrschende. […] (xviii + 367 + 1 Seiten, einschließlich 1 Nachtragsseite) (NB. ISBN und Link zum Nachdruck der 2. Auflage von Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)
  13. ^ Smith, Eggen & St. Andre 2006 , p. 202, Satz 4.9
  14. ^ Wolf 1998 , p. 198
  15. ^ Fletcher & Patty 1988 , p. 116, Satz 5.1
  16. ^ Lay 2006 , p. 69, Beispiel 7.24
  17. ^ Thomas 1972 , S. 304–309
  18. ^ a b Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Inverse trigonometrische Funktionen". Mathematisches Handbuch für Wissenschaftler und Ingenieure: Definitionen, Theoreme und Formulare als Referenz und Übersicht (3. Aufl.). Mineola, New York, USA: Dover Publications, Inc. p. 811 . ISBN 978-0-486-41147-7.
  19. ^ a b c d e Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009) [1987]. Ein Atlas der Funktionen: mit Äquator der Atlas-Funktionsrechner (2. Aufl.). Springer Science + Business Media, LLC . doi : 10.1007 / 978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525 .
  20. ^ a b Wolf 1998 , p. 208, Satz 7.2
  21. ^ Smith, Eggen & St. Andre 2006 , pg. 141 Satz 3.3 (a)
  22. ^ Lay 2006 , p. 71, Satz 7.26
  23. ^ Devlin 2004 , p. 101
  24. ^ Briggs & Cochran 2011 , S. 28–29
  25. ^ Lay 2006 , p. 246, Satz 26.10
  26. ^ Briggs & Cochran 2011 , S. 39–42

Bibliographie [ Bearbeiten ]

  • Briggs, William; Cochran, Lyle (2011). Kalkül / frühe Transzendentale Einzelvariable . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-66414-3.
  • Devlin, Keith J. (2004). Mengen, Funktionen und Logik / Eine Einführung in die abstrakte Mathematik (3. Aufl.). Chapman & Hall / CRC Mathematik . ISBN 978-1-58488-449-1.
  • Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). Grundlagen der höheren Mathematik . PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
  • Lay, Steven R. (2006). Analyse / Mit einer Einführung in den Beweis (4 ed.). Pearson / Prentice Hall . ISBN 978-0-13-148101-5.
  • Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006). Ein Übergang zur fortgeschrittenen Mathematik (6 ed.). Thompson Brooks / Cole . ISBN 978-0-534-39900-9.
  • Thomas Jr., George Brinton (1972). Kalkül und analytische Geometrie Teil 1: Funktionen einer Variablen und analytische Geometrie (alternative Ausgabe). Addison-Wesley .
  • Wolf, Robert S. (1998). Beweis, Logik und Vermutung / Die Toolbox des Mathematikers . WH Freeman und Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

Weiterführende Literatur [ Bearbeiten ]

  • Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Implizite Funktionen; Jacobianer; Inverse Funktionen". Advanced Calculus und seine Anwendungen in den Ingenieur- und Physikwissenschaften . New York: Wiley. pp.  103 -120. ISBN 0-471-04934-4.
  • Binmore, Ken G. (1983). "Inverse Funktionen". Kalkül . New York: Cambridge University Press . S. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
  • Spivak, Michael (1994). Kalkül (3 ed.). Veröffentlichen oder zugrunde gehen. ISBN 0-914098-89-6.
  • Stewart, James (2002). Kalkül (5 ed.). Brooks Cole . ISBN 978-0-534-39339-7.

Externe Links [ Bearbeiten ]

  • "Inverse Funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]