Hofstadters Schmetterling

In der Physik der kondensierten Materie ist der Schmetterling von Hofstadter ein Diagramm der spektralen Eigenschaften von nicht wechselwirkenden zweidimensionalen Elektronen in einem senkrechten Magnetfeld in einem Gitter . Die fraktale, selbstähnliche Natur des Spektrums wurde 1976 im Ph.D. Arbeit von Douglas Hofstadter [1] und ist eines der frühen Beispiele moderner wissenschaftlicher Datenvisualisierung. Der Name spiegelt die Tatsache wider, dass, wie Hofstadter schrieb, "die großen Lücken [in der Grafik] ein sehr auffälliges Muster bilden, das einem Schmetterling ähnelt". [1]

Der Hofstadter-Schmetterling spielt eine wichtige Rolle in der Theorie des ganzzahligen Quanten-Hall-Effekts und der Theorie der topologischen Quantenzahlen .

Die erste mathematische Beschreibung von Elektronen auf einem 2D-Gitter, auf das ein senkrechtes homogenes Magnetfeld einwirkt, wurde in den 1950er Jahren von Rudolf Peierls und seinem Schüler RG Harper untersucht. [2] [3]

Hofstadter beschrieb die Struktur erstmals 1976 in einem Artikel über die Energieniveaus von Bloch-Elektronen in senkrechten Magnetfeldern. [1] Es gibt eine grafische Darstellung des Spektrums der Harper-Gleichung bei verschiedenen Frequenzen. Ein Schlüsselaspekt der mathematischen Struktur dieses Spektrums – die Aufspaltung von Energiebändern für einen bestimmten Wert des Magnetfelds entlang einer einzigen Dimension (Energie) – wurde bereits 1964 von dem sowjetischen Physiker Mark Azbel am Rande erwähnt [4] ( in einem von Hofstadter zitierten Artikel), aber Hofstadter erweiterte diese Arbeit erheblich, indem er alles aufzeichneteWerte des Magnetfelds gegen alle Energiewerte, wodurch das zweidimensionale Diagramm erstellt wurde, das zuerst die einzigartigen rekursiven geometrischen Eigenschaften des Spektrums offenbarte. [1]

Geschrieben, während Hofstadter an der University of Oregon war, war sein Artikel einflussreich für die Ausrichtung weiterer Forschungen. Es sagte auf theoretischer Grundlage voraus, dass die zulässigen Energieniveauwerte eines Elektrons in einem zweidimensionalen quadratischen Gitter als Funktion eines senkrecht zum System angelegten Magnetfelds das bilden, was heute als fraktale Menge bekannt ist . Das heißt, die Verteilung von Energieniveaus für kleinräumige Änderungen im angelegten Magnetfeld wiederholt rekursiv Muster , die in der großräumigen Struktur zu sehen sind. [1] „Gplot“, wie Hofstadter die Figur nannte, wurde in seinem Artikel von 1976 in Physical Review B als rekursive Struktur beschrieben, [1] geschrieben, bevor Benoit Mandelbrots neu geprägtes Wort „Fraktal“ in einen englischen Text eingeführt wurde. Hofstadter diskutiert die Figur auch in seinem 1979 erschienenen Buch Gödel, Escher, Bach . Die Struktur wurde allgemein als "Hofstadter-Schmetterling" bekannt.

David J. Thouless und sein Team entdeckten, dass die Flügel des Schmetterlings durch Chern-Ganzzahlen gekennzeichnet sind , die eine Möglichkeit bieten, die Hall-Leitfähigkeit in Hofstadters Modell zu berechnen. [5]


Rendering des Schmetterlings von Hofstadter
Eine Simulation von Elektronen über supraleitende Qubits ergibt den Hofstadter-Schmetterling
Der Hofstadter-Schmetterling ist die grafische Lösung der Harper-Gleichung, bei der das Energieverhältnis als Funktion des Flussverhältnisses aufgetragen ist .
Schmetterlings-Phasendiagramm nach Hofstadter bei Nulltemperatur. Die horizontale Achse gibt die Elektronendichte an, beginnend ohne Elektronen von links. Die vertikale Achse zeigt die Stärke des magnetischen Flusses, beginnend bei Null unten, das Muster wiederholt sich periodisch für höhere Felder. Die Farben stellen die Chern-Zahlen der Lücken im Spektrum dar, die auch als TKNN-Ganzzahlen (Thouless, Kohmoto, Nightingale und Nijs) bekannt sind. Bläuliche kalte Farben zeigen negative Chern-Zahlen an, warme rote Farben zeigen positive Chern-Zahlen an, Weiß zeigt Null an. [2]
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