Dimensionsanalyse

Viele Parameter und Messungen in den Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften werden als konkrete Zahl ausgedrückt - eine numerische Größe und eine entsprechende Maßeinheit. Oft wird eine Menge in mehreren anderen Mengen ausgedrückt; Zum Beispiel ist Geschwindigkeit eine Kombination aus Länge und Zeit, z. B. 60 Kilometer pro Stunde oder 1,4 Kilometer pro Sekunde. Zusammengesetzte Beziehungen mit "per" werden mit Division ausgedrückt , z. B. 60 km / 1 h. Andere Beziehungen können Multiplikation (oft mit einem zentrierten Punkt oder Nebeneinander dargestellt ), Potenzen (wie m ² für Quadratmeter) oder Kombinationen davon beinhalten.

Ein Satz von Basiseinheiten für ein Messsystem ist ein herkömmlich gewählter Satz von Einheiten, von denen keine als Kombination der anderen ausgedrückt werden kann und in Bezug auf die alle verbleibenden Einheiten des Systems ausgedrückt werden können. ^[5] Beispielsweise werden normalerweise Einheiten für Länge und Zeit als Basiseinheiten ausgewählt. Einheiten für Volumen , kann jedoch in die Basislängeneinheiten (m faktorisiert werden ³ ), so sind sie abgeleitet oder Verbindungseinheiten betrachtet.

Manchmal verschleiern die Namen von Einheiten die Tatsache, dass sie abgeleitete Einheiten sind. Zum Beispiel ist ein Newton (N) eine Krafteinheit , die Masseneinheiten (kg) mal Beschleunigungseinheiten (m⋅s ⁻² ) hat. Der Newton ist definiert als 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² .

Prozentsätze und Derivate

Prozentsätze sind dimensionslose Größen, da sie Verhältnisse zweier Größen mit denselben Dimensionen sind. Mit anderen Worten kann das% -Zeichen als "Hundertstel" gelesen werden, da 1% = 1/100 .

Wenn man eine Ableitung in Bezug auf eine Größe nimmt, addiert sich die Dimension der Variablen, zu der man differenziert, im Nenner. So:

• Position ( x ) hat die Abmessung L (Länge);
• Die Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit ( dx / dt , Geschwindigkeit ) hat die Dimension LT ^{−1 -} Länge von Position, Zeit aufgrund des Gradienten;
• Die zweite Ableitung ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , Beschleunigung ) hat die Dimension LT ⁻² .

In der Wirtschaft unterscheidet man zwischen Aktien und Flüssen : Eine Aktie hat Einheiten von "Einheiten" (z. B. Widgets oder Dollar), während ein Fluss eine Ableitung einer Aktie ist und Einheiten von "Einheiten / Zeit" (z. B. Dollar /) hat. Jahr).

In einigen Kontexten werden dimensionale Größen als dimensionslose Größen oder Prozentsätze ausgedrückt, indem einige Dimensionen weggelassen werden. Zum Beispiel werden Schulden-BIP-Verhältnisse im Allgemeinen als Prozentsätze ausgedrückt: Gesamtverschuldung (Dimension der Währung) geteilt durch das jährliche BIP (Dimension der Währung) - aber man kann argumentieren, dass beim Vergleich eines Bestands mit einem Strom das jährliche BIP sollte haben Dimensionen von Währung / Zeit (z. B. Dollar / Jahr) und daher sollte die Verschuldung zum BIP Einheiten von Jahren haben, was darauf hinweist, dass die Verschuldung zum BIP die Anzahl der Jahre ist, die ein konstantes BIP benötigt, um die Schulden zu bezahlen. wenn das gesamte BIP für die Schulden ausgegeben wird und die Schulden ansonsten unverändert bleiben.

In der Dimensionsanalyse wird ein Verhältnis, das eine Maßeinheit in eine andere umwandelt, ohne die Menge zu ändern, als Umrechnungsfaktor bezeichnet . Zum Beispiel sind kPa und bar beide Druckeinheiten und 100 kPa = 1 bar . Die Regeln der Algebra erlauben es, beide Seiten einer Gleichung durch denselben Ausdruck zu teilen, was 100 kPa / 1 bar = 1 entspricht . Da jede Menge mit 1 multipliziert werden kann, ohne sie zu ändern, kann der Ausdruck " 100 kPa / 1 bar " verwendet werden, um von Balken in kPa umzurechnen, indem sie mit der umzurechnenden Menge einschließlich Einheiten multipliziert wird. Zum Beispiel 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa, weil 5 × 100/1 = 500 und bar / bar abbrechen, also 5 bar = 500 kPa .

Die grundlegendste Regel der Dimensionsanalyse ist die der Dimensionshomogenität. ^[6]

Es können nur entsprechende Größen (physikalische Größen mit derselben Dimension) verglichen , gleichgesetzt , addiert oder subtrahiert werden .

Die Dimensionen bilden jedoch eine abelsche Gruppe unter Multiplikation, also:

Man kann Verhältnisse von nicht messbaren Mengen (Mengen mit unterschiedlichen Dimensionen) nehmen und sie multiplizieren oder dividieren .

Zum Beispiel ist es nicht sinnvoll zu fragen, ob 1 Stunde mehr, gleich oder weniger als 1 Kilometer ist, da diese unterschiedliche Abmessungen haben, oder 1 Stunde zu 1 Kilometer hinzuzufügen. Es ist jedoch durchaus sinnvoll zu fragen, ob 1 Meile mehr, gleich oder weniger als 1 Kilometer die gleiche Dimension der physikalischen Größe ist, obwohl die Einheiten unterschiedlich sind. Wenn sich ein Objekt andererseits in 2 Stunden 100 km bewegt, kann man diese teilen und daraus schließen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit des Objekts 50 km / h betrug.

Die Regel impliziert, dass in einem physikalisch bedeutsamen Ausdruck nur Mengen derselben Dimension addiert, subtrahiert oder verglichen werden können. Wenn beispielsweise m _man , m _rat und L _man die Masse eines Mannes, die Masse einer Ratte und die Länge dieses Mannes bezeichnen, ist der dimensional homogene Ausdruck m _man + m _rat bedeutsam, aber der heterogene Ausdruck m _Mann + L _Mann ist bedeutungslos. Allerdings m _Mann / L ² _Mann ist in Ordnung. Daher kann die Dimensionsanalyse als Überprüfung der Richtigkeit physikalischer Gleichungen verwendet werden: Die beiden Seiten einer Gleichung müssen angemessen sein oder die gleichen Abmessungen haben.

Dies hat zur Folge, dass die meisten mathematischen Funktionen, insbesondere die transzendentalen Funktionen , eine dimensionslose Größe, eine reine Zahl, als Argument haben und als Ergebnis eine dimensionslose Zahl zurückgeben müssen. Dies ist klar, weil viele transzendentale Funktionen als unendliche Potenzreihen mit dimensionslosen Koeffizienten ausgedrückt werden können.

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots}$

Alle Potenzen von x müssen dieselbe Dimension haben, damit die Terme angemessen sind. Wenn x jedoch nicht dimensionslos ist, haben die verschiedenen Potenzen von x unterschiedliche, nicht vergleichbare Dimensionen. Jedoch Potenzfunktionen einschließlich Wurzelfunktionen kann ein dimensional Argument haben und ein Ergebnis mit Dimension zurück, die die gleiche Kraft auf das Argument Dimension angewendet ist. Dies liegt daran, dass Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen lose nur ein Ausdruck der Multiplikation von Größen sind.

Selbst wenn zwei physikalische Größen identische Abmessungen haben, kann es dennoch bedeutungslos sein, sie zu vergleichen oder hinzuzufügen. Obwohl Drehmoment und Energie die Dimension L ² M T ⁻² teilen , handelt es sich beispielsweise um grundlegend unterschiedliche physikalische Größen.

Um Mengen mit denselben Abmessungen zu vergleichen, zu addieren oder zu subtrahieren, die jedoch in unterschiedlichen Einheiten ausgedrückt werden, müssen Sie zunächst alle in die gleichen Einheiten konvertieren. Um beispielsweise 32 Meter mit 35 Yards zu vergleichen, verwenden Sie 1 Yard = 0,9144 m, um 35 Yards in 32,004 m umzuwandeln.

Ein verwandtes Prinzip ist, dass jedes physikalische Gesetz, das die reale Welt genau beschreibt, unabhängig von den Einheiten sein muss, die zur Messung der physikalischen Variablen verwendet werden. ^[7] Beispielsweise müssen Newtons Bewegungsgesetze gelten, unabhängig davon, ob die Entfernung in Meilen oder Kilometern gemessen wird. Dieses Prinzip führt zu der Form, die Umrechnungsfaktoren zwischen Einheiten annehmen müssen, die dieselbe Dimension messen: Multiplikation mit einer einfachen Konstante. Es stellt auch die Gleichwertigkeit sicher; Wenn beispielsweise zwei Gebäude dieselbe Höhe in Fuß haben, müssen sie dieselbe Höhe in Metern haben.

Das Faktor-Label-Verfahren ist die sequentielle Anwendung von Umrechnungsfaktoren, die als Brüche ausgedrückt und so angeordnet sind, dass jede Maßeinheit, die sowohl im Zähler als auch im Nenner einer der Brüche erscheint, aufgehoben werden kann, bis nur der gewünschte Satz von Maßeinheiten erhalten wird. Zum Beispiel können 10 Meilen pro Stunde unter Verwendung einer Folge von Umrechnungsfaktoren in Meter pro Sekunde umgerechnet werden, wie unten gezeigt:

${\ displaystyle {\ frac {10 \ {\ cancel {\ text {Meile}}} {1 \ {\ Abbrechen {\ Text {Stunde}}}} \ times {\ frac {1609.344 {\ text {meter} }} {1 \ {\ Abbrechen {\ Text {Meile}}}} \ Zeiten {\ frac {1 \ {\ Abbrechen {\ Text {Stunde}}} {3600 {\ Text {Sekunde}}} = 4.4704 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}}.}$

Jeder Umrechnungsfaktor wird basierend auf der Beziehung zwischen einer der ursprünglichen Einheiten und einer der gewünschten Einheiten (oder einer Zwischeneinheit) ausgewählt, bevor er neu angeordnet wird, um einen Faktor zu erstellen, der die ursprüngliche Einheit aufhebt. Zum Beispiel als "Meile" ist der Zähler in der ursprünglichen Fraktion und${\ displaystyle 1 \ {\ text {Meile}} = 1609.344 \ {\ Text {Meter}}}$"Meile" muss der Nenner des Umrechnungsfaktors sein. Das Teilen beider Seiten der Gleichung durch 1 Meile ergibt${\ displaystyle {\ frac {1 \ {\ text {Meile}}} {1 \ {\ Text {Meile}}} = {\ frac {1609.344 \ {\ Text {Meter}} {1 \ {\ Text {Meile}}}}}$, was, wenn vereinfacht, zum dimensionslosen führt ${\ displaystyle 1 = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {Meile}}}}$. Das Multiplizieren einer beliebigen Menge (physikalische Größe oder nicht) mit der dimensionslosen 1 ändert diese Größe nicht. Sobald dies und der Umrechnungsfaktor für Sekunden pro Stunde mit dem ursprünglichen Bruchteil multipliziert wurden, um die Einheiten Meile und Stunde aufzuheben , werden 10 Meilen pro Stunde in 4,4704 Meter pro Sekunde umgerechnet.

Als komplexeres Beispiel ist die Konzentration von Stickoxiden (dh NEIN x {\ displaystyle \ color {Blue} {\ ce {NO}} _ {x}} ) In dem Rauchgas aus einem Industrieofen kann zu einem überführt wird Massendurchflussrate in Gramm pro Stunde (dh g / h) von exprimiertem${\ displaystyle {\ ce {NO}} _ {x}}$ Verwenden Sie dazu die folgenden Informationen:

NO _x -Konzentration

= 10 Volumenteile pro Million = 10 ppmv = 10 Volumina / 10 ⁶ Volumina

NO _x Molmasse

= 46 kg / kmol = 46 g / mol

Durchflussmenge des Rauchgases

= 20 Kubikmeter pro Minute = 20 m ³ / min

Das Rauchgas verlässt den Ofen bei einer Temperatur von 0 ° C und einem absoluten Druck von 101,325 kPa.

Das Molvolumen eines Gases bei 0 ° C Temperatur und 101,325 kPa beträgt 22,414 m ³ / kmol .

${\ displaystyle {\ frac {1000 \ {\ ce {g \ NO}} _ {x}} {1 {\ cancel {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}} \ times {\ frac {46 \ {\ cancel {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}} {1 \ {\ cancel {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}} \ times {\ frac {1 \ {\ cancel {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}} {22.414 \ {\ cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO }} _ {x}}}} \ times {\ frac {10 \ {\ cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO}} _ {x}}} {10 ^ {6} \ {\ cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}} \ times {\ frac {20 \ {\ cancel {{\ ce {m} } ^ {3} \ {\ ce {gas}}}} {1 \ {\ cancel {\ ce {minute}}}} \ times {\ frac {60 \ {\ cancel {\ ce {minute}} }} {1 \ {\ ce {Stunde}}} = 24,63 \ {\ frac {{\ ce {g \ NO}} _ {x}} {\ ce {Stunde}}}$

Nach dem Aufheben aller Maßeinheiten, die sowohl in den Zählern als auch in den Nennern der Fraktionen in der obigen Gleichung erscheinen, wird die NO _x -Konzentration von 10 ppm _v in einen Massenstrom von 24,63 g pro Stunde umgewandelt.

Überprüfen von Gleichungen mit Dimensionen

Die Faktor-Label-Methode kann auch für jede mathematische Gleichung verwendet werden, um zu überprüfen, ob die Maßeinheiten auf der linken Seite der Gleichung mit den Maßeinheiten auf der rechten Seite der Gleichung übereinstimmen oder nicht. Die gleichen Einheiten auf beiden Seiten einer Gleichung zu haben, stellt nicht sicher, dass die Gleichung korrekt ist, aber unterschiedliche Einheiten auf den beiden Seiten (ausgedrückt als Basiseinheiten) einer Gleichung implizieren, dass die Gleichung falsch ist.

Überprüfen Sie beispielsweise die universelle Gasgesetzgleichung von PV = nRT , wenn:

• der Druck P ist in Pascal (Pa)
• das Volumen V ist in Kubikmetern (m ³ )
• Die Menge der Substanz n ist in Mol (Mol) angegeben.
• die universelle Gasgesetzkonstante R beträgt 8,3145 Pa⋅m ³ / (mol⋅K)
• die Temperatur T ist in Kelvin (K)

${\ displaystyle {\ ce {Pa.m ^ 3}} = {\ frac {\ cancel {{\ ce {mol}}} {1}} \ times {\ frac {{\ ce {Pa.m ^ 3 }}} {{\ cancel {{\ ce {mol}}}} \ {\ cancel {{\ ce {K}}}}} \ times {\ frac {\ cancel {{\ ce {K}}} } {1}}}$

Wie zu sehen ist, haben beide Seiten der Gleichung die gleichen Maßeinheiten, wenn die im Zähler und Nenner der rechten Seite der Gleichung erscheinenden Maßeinheiten aufgehoben werden. Die Dimensionsanalyse kann als Werkzeug verwendet werden, um Gleichungen zu konstruieren, die nicht assoziierte physikalisch-chemische Eigenschaften in Beziehung setzen. Die Gleichungen können bisher unbekannte oder übersehene Eigenschaften der Materie in Form von übrig gebliebenen Dimensionen - Dimensionseinstellern - offenbaren, denen dann physikalische Bedeutung zugewiesen werden kann. Es ist wichtig darauf hinzuweisen, dass eine solche „mathematische Manipulation“ weder ohne vorherigen Präzedenzfall noch ohne wesentliche wissenschaftliche Bedeutung ist. In der Tat wurde die Plancksche Konstante, eine fundamentale Konstante des Universums, als rein mathematische Abstraktion oder Darstellung "entdeckt", die auf der Rayleigh-Jeans-Gleichung zur Verhinderung der ultravioletten Katastrophe aufbaute. Es wurde entweder im Tandem oder nach der mathematischen Dimensionsanpassung zugewiesen und auf seine quantenphysikalische Bedeutung aufgestiegen - nicht früher.

Einschränkungen

Die Faktor-Label-Methode kann nur Einheitenmengen konvertieren, für die die Einheiten in einer linearen Beziehung stehen, die sich bei 0 schneidet. ( Verhältnisskala in Stevens 'Typologie) Die meisten Einheiten passen zu diesem Paradigma. Ein Beispiel, für das es nicht verwendet werden kann, ist die Umrechnung zwischen Grad Celsius und Kelvin (oder Grad Fahrenheit ). Zwischen Grad Celsius und Kelvin gibt es eher einen konstanten Unterschied als ein konstantes Verhältnis, während zwischen Grad Celsius und Grad Fahrenheit weder ein konstanter Unterschied noch ein konstantes Verhältnis besteht. Es gibt jedoch eine affine Transformation (${\ displaystyle x \ mapsto axe + b}$eher als eine lineare Transformation ${\ displaystyle x \ mapsto axe}$) zwischen ihnen.

Zum Beispiel beträgt der Gefrierpunkt von Wasser 0 ° C und 32 ° F (0 ° C), und eine Änderung von 5 ° C entspricht einer Änderung von 9 ° F (–13 ° C). Um von Einheiten von Fahrenheit in Einheiten von Celsius umzurechnen, subtrahiert man 32 ° F (den Versatz vom Bezugspunkt), dividiert durch 9 ° F (–13 ° C) und multipliziert mit 5 ° C (skaliert mit dem Verhältnis) von Einheiten) und addiert 0 ° C (der Versatz vom Bezugspunkt). Umgekehrt ergibt sich die Formel zum Erhalten einer Menge in Einheiten von Celsius aus Einheiten von Fahrenheit; man hätte mit der Äquivalenz zwischen 100 ° C und 100 ° C beginnen können, obwohl dies am Ende die gleiche Formel ergeben würde.

Um den numerischen Größenwert einer Temperatur T [F] in Grad Fahrenheit in einen numerischen Größenwert T [C] in Grad Celsius umzuwandeln , kann diese Formel verwendet werden:

T [C] = ( T [F] - 32) × 5/9.

Um T [C] in Grad Celsius in T [F] in Grad Fahrenheit umzuwandeln , kann diese Formel verwendet werden:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

Die Dimensionsanalyse wird am häufigsten in der Physik und Chemie - und in ihrer Mathematik - verwendet, findet jedoch auch außerhalb dieser Bereiche einige Anwendungen.

Mathematik

Eine einfache Anwendung der Dimensionsanalyse auf die Mathematik besteht in der Berechnung der Form des Volumens einer n- Kugel (der festen Kugel in n Dimensionen) oder der Fläche ihrer Oberfläche, der n- Kugel : als n- dimensionale Figur Volumenskalen als${\ displaystyle x ^ {n},}$ während die Oberfläche ist ${\ displaystyle (n-1)}$-dimensional, skaliert als ${\ displaystyle x ^ {n-1}.}$Somit ist das Volumen des n- Balls in Bezug auf den Radius${\ displaystyle C_ {n} r ^ {n},}$ für eine Konstante ${\ displaystyle C_ {n}.}$ Die Bestimmung der Konstante erfordert mehr Mathematik, aber die Form kann allein durch Dimensionsanalyse abgeleitet und überprüft werden.

Finanzen, Wirtschaft und Buchhaltung

In den Bereichen Finanzen, Wirtschaft und Rechnungswesen wird die Dimensionsanalyse am häufigsten im Hinblick auf die Unterscheidung zwischen Beständen und Strömen bezeichnet . Allgemeiner wird die Dimensionsanalyse bei der Interpretation verschiedener Finanzkennzahlen , Wirtschaftskennzahlen und Bilanzierungskennzahlen verwendet.

• Zum Beispiel hat das KGV Zeitdimensionen (Einheiten von Jahren) und kann als "Jahre des Einkommens, um den gezahlten Preis zu verdienen" interpretiert werden.
• In der Wirtschaft hat die Schuldenquote auch Einheiten von Jahren (Schulden haben Währungseinheiten, BIP hat Währungseinheiten / Jahr).
• In der Finanzanalyse haben einige Anleihendauerarten auch eine Zeitdimension (Einheit von Jahren) und können als "Jahre zum Ausgleich zwischen Zinszahlungen und nominaler Rückzahlung" interpretiert werden.
• Die Geldgeschwindigkeit hat Einheiten von 1 / Jahr (BIP / Geldmenge hat Einheiten von Währung / Jahr über Währung): Wie oft zirkuliert eine Währungseinheit pro Jahr.
• Die Zinssätze werden häufig als Prozentsatz ausgedrückt, genauer gesagt als Prozentsatz pro Jahr, der Dimensionen von 1 / Jahr hat.

Strömungsmechanik

In der Strömungsmechanik wird eine Dimensionsanalyse durchgeführt, um dimensionslose pi-Terme oder -Gruppen zu erhalten. Gemäß den Prinzipien der Dimensionsanalyse kann jeder Prototyp durch eine Reihe dieser Begriffe oder Gruppen beschrieben werden, die das Verhalten des Systems beschreiben. Unter Verwendung geeigneter pi-Terme oder -Gruppen ist es möglich, einen ähnlichen Satz von pi-Termen für ein Modell zu entwickeln, das dieselben dimensionalen Beziehungen aufweist. ^[8] Mit anderen Worten, pi-Begriffe bieten eine Abkürzung zur Entwicklung eines Modells, das einen bestimmten Prototyp darstellt. Übliche dimensionslose Gruppen in der Strömungsmechanik sind:

• Reynoldszahl (Re), allgemein wichtig bei allen Arten von Flüssigkeitsproblemen:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho \, ud} {\ mu}}}$.

• Froude-Zahl (Fr), Modellierungsfluss mit freier Oberfläche:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {g \, L}}}.}$

• Eulernummer (Eu), die bei Problemen verwendet wird, bei denen Druck von Interesse ist:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Eu} = {\ frac {\ Delta p} {\ rho u ^ {2}}}.}$

• Machzahl (Ma), wichtig bei Hochgeschwindigkeitsflüssen, bei denen sich die Geschwindigkeit der lokalen Schallgeschwindigkeit nähert oder diese überschreitet:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {u} {c}},}$Dabei gilt Folgendes: c ist die lokale Schallgeschwindigkeit.

Die Ursprünge der Dimensionsanalyse wurden von Historikern bestritten. ^{[9] [10]}

Die erste schriftliche Anwendung der Dimensionsanalyse wurde einem Artikel von François Daviet an der Akademie der Wissenschaften von Turin zugeschrieben . Daviet hatte den Meister Lagrange als Lehrer. Seine grundlegenden Werke sind in Akten der Akademie vom 1799 enthalten. ^[10]

Dies führte zu der Schlussfolgerung, dass bedeutungsvolle Gesetze in ihren verschiedenen Maßeinheiten homogene Gleichungen sein müssen, ein Ergebnis, das später im Buckingham-π-Theorem formalisiert wurde . Simeon Poisson behandelte in seiner Abhandlung von 1811 und 1833 (Bd. I, S. 39) auch das gleiche Problem des Parallelogrammgesetzes von Daviet. ^[11] In der zweiten Ausgabe von 1833 führt Poisson anstelle der Daviet- Homogenität ausdrücklich den Begriff Dimension ein .

1822 leistete der wichtige napoleonische Wissenschaftler Joseph Fourier die ersten wichtigen Beiträge ^[12], die auf der Idee beruhten, dass physikalische Gesetze wie F = ma unabhängig von den Einheiten sein sollten, die zur Messung der physikalischen Variablen verwendet werden.

Maxwell spielte eine wichtige Rolle bei der Etablierung der modernen Verwendung der Dimensionsanalyse, indem er Masse, Länge und Zeit als grundlegende Einheiten unterschied und sich dabei auf andere Einheiten als abgeleitete Einheiten bezog. ^[13] Obwohl Maxwell Länge, Zeit und Masse als "die drei Grundeinheiten" definierte, stellte er auch fest, dass die Gravitationsmasse aus Länge und Zeit abgeleitet werden kann, indem eine Form des Newtonschen Gesetzes der universellen Gravitation angenommen wird, in der die Gravitationskonstante G ist als Einheit genommen, wodurch M = L ³ T ^{−2 definiert wird} . ^[14] Unter der Annahme einer Form des Coulombschen Gesetzes, in der die Coulombsche Konstante k _e als Einheit genommen wird, stellte Maxwell dann fest, dass die Dimensionen einer elektrostatischen Ladungseinheit Q = L ^3/2 M ^1/2 T ^{−1 waren} , ^{[15 ],} was nach Ersetzen der Masse durch seine M = L ³ T ^−2- Gleichung zu einer Ladung führt, die die gleichen Dimensionen wie die Masse hat, d. h. Q = L ³ T ^-2 .

Die Dimensionsanalyse wird auch verwendet, um Beziehungen zwischen den physikalischen Größen abzuleiten, die an einem bestimmten Phänomen beteiligt sind, das man verstehen und charakterisieren möchte. Es wurde 1872 zum ersten Mal ( Pesic 2005 ) auf diese Weise von Lord Rayleigh verwendet , der zu verstehen versuchte, warum der Himmel blau ist. Rayleigh veröffentlichte die Technik erstmals 1877 in seinem Buch The Theory of Sound . ^[16]

Die ursprüngliche Bedeutung der Wortdimension in Fouriers Theorie de la Chaleur war der numerische Wert der Exponenten der Basiseinheiten. Beispielsweise wurde angenommen, dass die Beschleunigung die Dimension 1 in Bezug auf die Längeneinheit und die Dimension –2 in Bezug auf die Zeiteinheit hat. ^[17] Dies wurde von Maxwell leicht geändert, der sagte, die Beschleunigungsdimensionen seien LT ⁻² und nicht nur die Exponenten. ^[18]

Das Buckingham-π-Theorem beschreibt, wie jede physikalisch bedeutsame Gleichung mit n Variablen äquivalent als Gleichung von n - m dimensionslosen Parametern umgeschrieben werden kann, wobei m der Rang der dimensionalen Matrix ist. Darüber hinaus und vor allem bietet es eine Methode zur Berechnung dieser dimensionslosen Parameter aus den angegebenen Variablen.

Bei einer Dimensionsgleichung können die Dimensionen durch Nichtdimensionalisierung reduziert oder eliminiert werden , was mit der Dimensionsanalyse beginnt und die Skalierung von Größen nach charakteristischen Einheiten eines Systems oder natürlichen Natureinheiten umfasst. Dies gibt einen Einblick in die grundlegenden Eigenschaften des Systems, wie in den folgenden Beispielen dargestellt.

Definition

Die Dimension einer physikalischen Größe kann als Produkt der physikalischen Grunddimensionen wie Länge , Masse und Zeit ausgedrückt werden, die jeweils zu einer rationalen Kraft erhoben werden . Die Dimension einer physikalischen Größe ist fundamentaler als einige Skaleneinheit verwendet , um die Menge dieser physikalischen Größe auszudrücken. Zum Beispiel ist Masse eine Dimension, während das Kilogramm eine bestimmte Skaleneinheit ist, die ausgewählt wird, um eine Massenmenge auszudrücken. Mit Ausnahme natürlicher Einheiten ist die Wahl des Maßstabs kulturell und willkürlich.

Es gibt viele Möglichkeiten für grundlegende physikalische Dimensionen. Die SI-Norm empfiehlt die Verwendung der folgenden Abmessungen und der entsprechenden Symbole: Länge (L), Masse (M), Zeit (T), elektrischer Strom (I), absolute Temperatur (Θ), Substanzmenge (N) und Lichtstärke (J). Die Symbole sind üblicherweise in römischer serifenloser Schrift geschrieben. ^[19] Mathematisch ist die Dimension der Größe Q gegeben durch

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {Q} = {\ mathsf {L}} ^ {a} {\ mathsf {M}} ^ {b} {\ mathsf {T}} ^ {c} {\ mathsf {I}} ^ {d} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {e} {\ mathsf {N}} ^ {f} {\ mathsf {J}} ^ {g}}$

wobei a , b , c , d , e , f , g die dimensionalen Exponenten sind. Andere physikalische Größen könnten als Basisgrößen definiert werden, sofern sie eine linear unabhängige Basis bilden . Beispielsweise könnte man die Dimension des elektrischen Stroms (I) der SI-Basis durch eine Dimension der elektrischen Ladung (Q) ersetzen , da Q = IT ist.

Als Beispiele, die Dimension der physikalischen Größe Geschwindigkeit v ist

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ v = {\ frac {\ text {length}} {\ text {time}}} = {\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} = {\ mathsf {LT}} ^ {- 1}}$

und die Dimension der physikalischen Größe Kraft F ist

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ F = {\ text {mass}} \ times {\ text {beschleunigung}} = {\ text {mass}} \ times {\ frac {\ text {length}} { {\ text {time}} ^ {2}}} = {\ frac {\ mathsf {ML}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} = {\ mathsf {MLT}} ^ {- 2 }}$

Die Einheit, die ausgewählt wurde, um eine physikalische Größe und ihre Dimension auszudrücken, sind verwandte, aber nicht identische Konzepte. Die Einheiten einer physikalischen Größe werden durch Konvention definiert und beziehen sich auf einen Standard; z. B. kann die Länge Einheiten von Metern, Fuß, Zoll, Meilen oder Mikrometern haben; Aber jede Länge hat immer eine Dimension von L, egal welche Längeneinheiten gewählt werden, um sie auszudrücken. Zwei verschiedene Einheiten derselben physikalischen Größe haben Umrechnungsfaktoren , die sie in Beziehung setzen. Zum Beispiel 1 Zoll = 2,54 cm; in diesem Fall (2,54 cm / in) ist der Umrechnungsfaktor, der selbst dimensionslos ist. Das Multiplizieren mit diesem Umrechnungsfaktor ändert daher nicht die Abmessungen einer physikalischen Größe.

Es gibt auch Physiker, die Zweifel an der Existenz inkompatibler grundlegender Dimensionen der physikalischen Größe aufkommen lassen ^[20], obwohl dies die Nützlichkeit der Dimensionsanalyse nicht ungültig macht.

Mathematische Eigenschaften

Die Dimensionen, die aus einer gegebenen Sammlung grundlegender physikalischer Dimensionen wie M, L und T gebildet werden können, bilden eine abelsche Gruppe : Die Identität wird als 1 geschrieben; L ⁰ = 1 und die Umkehrung zu L ist 1 / L oder L ⁻¹ . L, das zu einer rationalen Potenz p erhoben wird, ist ein Mitglied der Gruppe mit einer Umkehrung von L ^{- p} oder 1 / L ^p . Die Operation der Gruppe ist eine Multiplikation mit den üblichen Regeln für den Umgang mit Exponenten ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ).

Diese Gruppe kann als Vektorraum über den rationalen Zahlen beschrieben werden, wobei beispielsweise das dimensionale Symbol M ⁱ L ^j T ^k dem Vektor ( i , j , k ) entspricht . Wenn physikalisch gemessene Größen (seien sie gleichdimensional oder ungleichdimensional) miteinander multipliziert oder geteilt werden, werden ihre Maßeinheiten ebenfalls multipliziert oder geteilt; Dies entspricht einer Addition oder Subtraktion im Vektorraum. Wenn messbare Größen zu einer rationalen Kraft erhoben werden, geschieht dies auch mit den Maßsymbolen, die diesen Größen zugeordnet sind. Dies entspricht einer skalaren Multiplikation im Vektorraum.

Eine Basis für einen solchen Vektorraum von Dimensionssymbolen wird eine Menge von Basisgrößen genannt , und alle anderen Vektoren werden abgeleitete Einheiten genannt. Wie in jedem Vektorraum kann man verschiedene Basen wählen , was unterschiedliche Einheitensysteme ergibt (z. B. wählen, ob die Einheit für die Ladung von der Einheit für den Strom abgeleitet wird oder umgekehrt).

Die Gruppenidentität 1, die Dimension dimensionsloser Größen, entspricht dem Ursprung in diesem Vektorraum.

Die Menge der Einheiten der physikalischen Größen, die an einem Problem beteiligt sind, entspricht einer Menge von Vektoren (oder einer Matrix). Die Nichtigkeit beschreibt eine Anzahl (z. B. m ) von Möglichkeiten, wie diese Vektoren kombiniert werden können, um einen Nullvektor zu erzeugen. Diese entsprechen der Erzeugung (aus den Messungen) einer Anzahl dimensionsloser Größen {π ₁ , ..., π _m }. (Tatsächlich überspannen diese Wege vollständig den Null-Unterraum eines anderen unterschiedlichen Raums, der Potenzen der Messungen.) Jede mögliche Art, die gemessenen Größen zu multiplizieren (und zu potenzieren ), um etwas mit den gleichen Einheiten wie eine abgeleitete Größe X zu erzeugen, kann ausgedrückt werden in der allgemeinen Form

${\ displaystyle X = \ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ pi _ {i}) ^ {k_ {i}} \ ,.}$

Folglich kann jede mögliche entsprechende Gleichung für die Physik des Systems in der Form umgeschrieben werden

${\ displaystyle f (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, ..., \ pi _ {m}) = 0 \,.}$

Die Kenntnis dieser Einschränkung kann ein leistungsfähiges Werkzeug sein, um neue Einblicke in das System zu erhalten.

Mechanik

Die Dimension physikalischer Größen, die für die Mechanik von Interesse sind, kann als Basisdimensionen M, L und T ausgedrückt werden - diese bilden einen dreidimensionalen Vektorraum. Dies ist nicht die einzig gültige Wahl der Basisabmessungen, aber die am häufigsten verwendete. Zum Beispiel könnte man Kraft, Länge und Masse als Basisabmessungen wählen (wie einige es getan haben), mit zugehörigen Abmessungen F, L, M; Dies entspricht einer anderen Basis, und man kann zwischen diesen Darstellungen durch einen Basiswechsel konvertieren . Die Wahl des Basissatzes von Dimensionen ist daher eine Konvention mit dem Vorteil einer erhöhten Nützlichkeit und Vertrautheit. Die Wahl der Basisabmessungen ist nicht völlig willkürlich, da sie eine Basis bilden müssen : Sie müssen den Raum überspannen und linear unabhängig sein .

Zum Beispiel bilden F, L, M eine Menge grundlegender Dimensionen, weil sie eine Basis bilden, die M, L, T entspricht: Ersteres kann ausgedrückt werden als [F = ML / T ² ], L, M, während das Letzteres kann ausgedrückt werden als M, L, [T = (ML / F) ^1/2 ].

Andererseits bilden Länge, Geschwindigkeit und Zeit (L, V, T) aus zwei Gründen keinen Satz von Basisabmessungen für die Mechanik:

• Es gibt keine Möglichkeit, Masse - oder etwas daraus abgeleitetes wie Kraft - zu erhalten, ohne eine andere Basisdimension einzuführen (daher überspannen sie nicht den Raum ).
• Die Geschwindigkeit, die in Länge und Zeit ausgedrückt werden kann (V = L / T), ist redundant (die Menge ist nicht linear unabhängig ).

Andere Bereiche der Physik und Chemie

Abhängig vom Gebiet der Physik kann es vorteilhaft sein, den einen oder anderen erweiterten Satz von Dimensionssymbolen zu wählen. Im Elektromagnetismus kann es beispielsweise nützlich sein, die Dimensionen M, L, T und Q zu verwenden, wobei Q die Dimension der elektrischen Ladung darstellt . In der Thermodynamik wird der Basissatz von Dimensionen häufig um eine Dimension für die Temperatur erweitert, Θ. In der Chemie die Substanzmenge (die Anzahl der Moleküle geteilt durch die Avogadro-Konstante , ≈6.02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ) ist ebenfalls als Basisdimension N definiert. Bei der Wechselwirkung von relativistischem Plasma mit starken Laserpulsen wird zusätzlich zum elektromagnetischen Vektorpotential ein dimensionsloser relativistischer Ähnlichkeitsparameter konstruiert , der mit den Symmetrieeigenschaften der kollisionsfreien Vlasov-Gleichung verbunden ist. Die Wahl der Dimensionen oder sogar der Anzahl der Dimensionen, die in verschiedenen Bereichen der Physik verwendet werden sollen, ist zum Teil willkürlich, aber Konsistenz in der Verwendung und einfache Kommunikation sind gemeinsame und notwendige Merkmale.

Polynome und transzendentale Funktionen

Skalare Argumente für transzendentale Funktionen wie Exponential- , Trigonometrie- und Logarithmusfunktionen oder für inhomogene Polynome müssen dimensionslose Größen sein . (Hinweis: Diese Anforderung ist in der unten beschriebenen Orientierungsanalyse von Siano, in der das Quadrat bestimmter dimensionierter Größen dimensionslos ist, etwas gelockert.)

Während die meisten mathematischen Identitäten über dimensionslose Zahlen auf einfache Weise in dimensionale Größen übersetzt werden, muss mit Logarithmen von Verhältnissen vorsichtig umgegangen werden: Das Identitätsprotokoll (a / b) = log a - log b, wobei der Logarithmus in einer beliebigen Basis genommen wird, gilt für dimensionslose Zahlen a und b, aber es gilt nicht , wenn a und b dimensional sind, weil in diesem Fall die linke Seite gut definiert ist, die rechte Seite jedoch nicht.

Während man Monome ( x ⁿ ) von Dimensionsgrößen bewerten kann, kann man Polynome gemischten Grades mit dimensionslosen Koeffizienten für Dimensionsgrößen nicht bewerten: Für x ² ist der Ausdruck (3 m) ²  = 9 m ² sinnvoll (als Fläche) ), während für x ²  +  x der Ausdruck (3 m) ²  + 3 m = 9 m ²  + 3 m keinen Sinn ergibt.

Polynome gemischten Grades können jedoch sinnvoll sein, wenn die Koeffizienten geeignet gewählte physikalische Größen sind, die nicht dimensionslos sind. Beispielsweise,

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9,8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2}}} \ right) \ cdot t ^ {2} + \ left (500 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}} \ right) \ cdot t.}$

Dies ist die Höhe, auf die ein Objekt in der Zeit t ansteigt,  wenn die Erdbeschleunigung 9,8 Meter pro Sekunde pro Sekunde und die anfängliche Aufwärtsgeschwindigkeit 500 Meter pro Sekunde beträgt. Es ist nicht erforderlich, dass t in Sekunden ist . Angenommen, t  = 0,01 Minuten. Dann wäre der erste Begriff

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9,8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2} }} \ rechts) \ cdot (0,01 {\ text {Minute}}) ^ {2} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9,8 \ cdot \ links (0,01) ^ {2} \ right) \ left ({\ frac {\ text {minute}} {\ text {second}}} \ right) ^ {2} \ cdot {\ text {meter}} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ left (0.01 ^ {2} \ right) \ cdot 60 ^ {2} \ cdot {\ text {meter}}. \ end { ausgerichtet}}}$

Einheiten einbauen

Der Wert einer dimensionalen physikalischen Größe Z wird als Produkt einer Einheit [ Z ] innerhalb der Dimension und eines dimensionslosen numerischen Faktors n geschrieben . ^[21]

${\ displaystyle Z = n \ times [Z] = n [Z]}$

Wenn gleichdimensionierte Größen addiert oder subtrahiert oder verglichen werden, ist es zweckmäßig, sie in konsistenten Einheiten auszudrücken, damit die numerischen Werte dieser Größen direkt addiert oder subtrahiert werden können. Im Konzept ist es jedoch kein Problem, Mengen derselben Dimension hinzuzufügen, die in verschiedenen Einheiten ausgedrückt werden. Zum Beispiel ist 1 Meter zu 1 Fuß eine Länge, aber man kann diese Länge nicht durch einfaches Addieren von 1 und 1 ableiten. Ein Umrechnungsfaktor , der ein Verhältnis von gleichdimensionierten Größen ist und der dimensionslosen Einheit entspricht, wird benötigt:

${\ displaystyle 1 \ {\ mbox {ft}} = 0.3048 \ {\ mbox {m}} \}$ ist identisch mit ${\ displaystyle 1 = {\ frac {0.3048 \ {\ mbox {m}}} {1 \ {\ mbox {ft}}}. \}$

Der Faktor ${\ displaystyle 0.3048 \ {\ frac {\ mbox {m}} {\ mbox {ft}}}}$ist identisch mit der dimensionslosen 1, daher ändert das Multiplizieren mit diesem Umrechnungsfaktor nichts. Wenn dann zwei Größen gleicher Dimension hinzugefügt werden, die jedoch in unterschiedlichen Einheiten ausgedrückt werden, wird der entsprechende Umrechnungsfaktor, der im Wesentlichen die dimensionslose 1 ist, verwendet, um die Größen in identische Einheiten umzuwandeln, sodass ihre numerischen Werte addiert oder subtrahiert werden können.

Nur so ist es sinnvoll, von gleichdimensionierten Mengen unterschiedlicher Einheiten zu sprechen.

Position gegen Verschiebung

Einige Diskussionen zur Dimensionsanalyse beschreiben implizit alle Größen als mathematische Vektoren. (In der Mathematik werden Skalare als Sonderfall von Vektoren betrachtet. ^{[ Zitierweise erforderlich ]} Vektoren können zu anderen Vektoren addiert oder von diesen subtrahiert und unter anderem mit Skalaren multipliziert oder dividiert werden. Wenn ein Vektor zum Definieren einer Position verwendet wird, wird davon ausgegangen Ein impliziter Bezugspunkt: ein Ursprung . Dies ist zwar nützlich und oft vollkommen ausreichend, um viele wichtige Fehler zu erfassen, kann jedoch bestimmte Aspekte der Physik nicht modellieren. Ein strengerer Ansatz erfordert die Unterscheidung zwischen Position und Verschiebung (oder Moment in) Zeit gegen Dauer oder absolute Temperatur gegen Temperaturänderung).

Betrachten Sie Punkte auf einer Linie mit jeweils einer Position in Bezug auf einen bestimmten Ursprung und Abstände zwischen ihnen. Positionen und Verschiebungen haben alle Längeneinheiten, aber ihre Bedeutung ist nicht austauschbar:

• Das Hinzufügen von zwei Verschiebungen sollte eine neue Verschiebung ergeben (wenn Sie zehn Schritte und dann zwanzig Schritte gehen, erhalten Sie dreißig Schritte vorwärts).
• Das Hinzufügen einer Verschiebung zu einer Position sollte eine neue Position ergeben (wenn Sie einen Block von einer Kreuzung die Straße entlang gehen, gelangen Sie zur nächsten Kreuzung).
• Das Subtrahieren von zwei Positionen sollte eine Verschiebung ergeben.
• man darf aber nicht zwei Positionen hinzufügen.

Dies zeigt die subtile Unterscheidung zwischen affinen Größen (solche, die durch einen affinen Raum wie die Position modelliert werden ) und Vektorgrößen (solche, die durch einen Vektorraum wie die Verschiebung modelliert werden ).

• Vektorgrößen können zueinander addiert werden, was eine neue Vektorgröße ergibt, und eine Vektorgröße kann zu einer geeigneten affinen Größe addiert werden (ein Vektorraum wirkt auf einen affinen Raum), was eine neue affine Menge ergibt.
• Affine Mengen können nicht addiert werden, sondern können subtrahiert werden, was relative Mengen ergibt, die Vektoren sind, und diese relativen Unterschiede können dann zueinander oder zu einer affinen Menge addiert werden.

Richtig, dann haben Positionen eine Dimension der affinen Länge, während Verschiebungen eine Dimension der Vektorlänge haben . Um einer affinen Einheit eine Zahl zuzuweisen , muss man nicht nur eine Maßeinheit, sondern auch einen Bezugspunkt auswählen , während zum Zuweisen einer Zahl zu einer Vektoreinheit nur eine Maßeinheit erforderlich ist.

Daher werden einige physikalische Größen besser durch vektorielle Größen modelliert, während andere dazu neigen, eine affine Darstellung zu erfordern, und die Unterscheidung spiegelt sich in ihrer Dimensionsanalyse wider.

Diese Unterscheidung ist besonders wichtig bei Temperaturen, bei denen der numerische Wert des absoluten Nullpunkts in einigen Skalen nicht der Ursprung 0 ist. Für den absoluten Nullpunkt

–273,15 ° C ≤ 0 K = 0 ° R ≤ –459,67 ° F,

wobei das Symbol ≘ bedeutet entspricht , da diese Werte auf den jeweiligen Temperaturskalen zwar übereinstimmen, aber unterschiedliche Größen auf dieselbe Weise darstellen, wie die Abstände von unterschiedlichen Startpunkten zu demselben Endpunkt unterschiedliche Größen sind und im Allgemeinen nicht gleichgesetzt werden können.

Bei Temperaturunterschieden

1 K = 1 ° C ≤ 1 ° F (–17 ° C) = 1 ° R.

(Hier bezieht sich ° R auf die Rankine-Skala , nicht auf die Réaumur-Skala ). Die Einheitenumrechnung für Temperaturunterschiede ist einfach eine Frage der Multiplikation mit beispielsweise 1 ° F / 1 K (obwohl das Verhältnis kein konstanter Wert ist). Da einige dieser Skalen Ursprünge haben, die nicht dem absoluten Nullpunkt entsprechen, muss dies bei der Umstellung von einer Temperaturskala auf eine andere berücksichtigt werden. Infolgedessen kann eine einfache Dimensionsanalyse zu Fehlern führen, wenn nicht eindeutig ist, ob 1 K die absolute Temperatur von –272,15 ° C oder die Temperaturdifferenz von 1 ° C bedeutet.

Orientierung und Bezugsrahmen

Ähnlich wie bei der Frage eines Bezugspunkts ist die Frage der Orientierung: Eine Verschiebung in zwei oder drei Dimensionen ist nicht nur eine Länge, sondern eine Länge zusammen mit einer Richtung . (Dieses Problem tritt nicht in einer Dimension auf oder entspricht vielmehr der Unterscheidung zwischen positiv und negativ.) Um zweidimensionale Größen in einem mehrdimensionalen Raum zu vergleichen oder zu kombinieren, muss man sich auch orientieren: Sie müssen verglichen werden zu einem Referenzrahmen .

Dies führt zu den unten diskutierten Erweiterungen , nämlich Huntleys gerichteten Dimensionen und Sianos Orientierungsanalyse.

Ein einfaches Beispiel: Periode eines harmonischen Oszillators

Was ist die Schwingungsdauer T einer Masse m, die an einer idealen linearen Feder mit einer Federkonstante k befestigt ist, die in der Schwerkraft der Stärke g aufgehängt ist ? Diese Periode ist die Lösung für T einer dimensionslosen Gleichung in den Variablen T , m , k und g . Die vier Größen haben folgende Abmessungen: T [T]; m [M]; k [M / T ² ]; und g [L / T ² ]. Aus diesen können wir nur ein dimensionsloses Produkt der Potenzen unserer gewählten Variablen bilden,${\ displaystyle G_ {1}}$ = ${\ displaystyle T ^ {2} k / m}$ [T ² · M / T ² / M = 1] und Putten${\ displaystyle G_ {1} = C}$für eine dimensionslose Konstante gibt C die gesuchte dimensionslose Gleichung an. Das dimensionslose Produkt von Potenzen von Variablen wird manchmal als dimensionslose Gruppe von Variablen bezeichnet; hier bedeutet der Begriff "Gruppe" eher "Sammlung" als mathematische Gruppe . Sie werden oft auch als dimensionslose Zahlen bezeichnet .

Beachten Sie, dass die Variable g in der Gruppe nicht vorkommt. Es ist leicht zu erkennen, dass es unmöglich ist, ein dimensionsloses Produkt von Potenzen zu bilden, das g mit k , m und T kombiniert , da g die einzige Größe ist, die die Dimension L betrifft. Dies impliziert, dass in diesem Problem das g irrelevant ist. Die Dimensionsanalyse kann manchmal starke Aussagen über die Irrelevanz einiger Größen in einem Problem oder die Notwendigkeit zusätzlicher Parameter liefern . Wenn wir genügend Variablen ausgewählt haben, um das Problem richtig zu beschreiben, können wir aus diesem Argument schließen, dass die Periode der Masse auf der Quelle unabhängig von g ist : Sie ist auf der Erde oder auf dem Mond gleich. Die Gleichung, die die Existenz eines Kraftprodukts für unser Problem demonstriert, kann auf völlig äquivalente Weise geschrieben werden:${\ displaystyle T = \ kappa {\ sqrt {\ tfrac {m} {k}}}$für eine dimensionslose Konstante κ (gleich ${\ displaystyle {\ sqrt {C}}}$ aus der ursprünglichen dimensionslosen Gleichung).

In einem Fall, in dem die Dimensionsanalyse eine Variable (hier g ) ablehnt , von der man intuitiv erwartet, dass sie zu einer physikalischen Beschreibung der Situation gehört, besteht eine andere Möglichkeit darin, dass die abgelehnte Variable tatsächlich relevant ist, eine andere relevante Variable jedoch weggelassen, was sich mit der zurückgewiesenen Variablen zu einer dimensionslosen Größe verbinden könnte. Dies ist hier jedoch nicht der Fall.

Wenn die Dimensionsanalyse wie hier nur eine dimensionslose Gruppe ergibt, gibt es keine unbekannten Funktionen, und die Lösung wird als "vollständig" bezeichnet - obwohl sie möglicherweise noch unbekannte dimensionslose Konstanten wie κ enthält .

Ein komplexeres Beispiel: Energie eines vibrierenden Drahtes

Betrachten Sie den Fall eines vibrierenden Drahtes der Länge ℓ (L), der mit einer Amplitude A (L) vibriert . Der Draht hat eine lineare Dichte ρ (M / L) und steht unter der Spannung s (ML / T ² ), und wir wollen die Energie E (ML ² / T ² ) im Draht wissen . Lassen π ₁ und π ₂ sein , zwei dimensionslose Produkte von Potenzen der Variablen gewählt, gegeben durch

${\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {1} & = {\ frac {E} {As}} \\\ pi _ {2} & = {\ frac {\ ell} {A}}. \ Ende {ausgerichtet}}}$

Die lineare Dichte des Drahtes ist nicht beteiligt. Die beiden gefundenen Gruppen können als Gleichung zu einer äquivalenten Form kombiniert werden

${\ displaystyle F \ left ({\ frac {E} {As}}, {\ frac {\ ell} {A}} \ right) = 0,}$

wobei F eine unbekannte Funktion ist oder äquivalent als

${\ displaystyle E = Asf \ left ({\ frac {\ ell} {A}} \ right),}$

wobei f eine andere unbekannte Funktion ist. Hier impliziert die unbekannte Funktion, dass unsere Lösung jetzt unvollständig ist, aber die Dimensionsanalyse hat uns etwas gegeben, das möglicherweise nicht offensichtlich war: Die Energie ist proportional zur ersten Potenz der Spannung. Vorbehaltlich weiterer analytischer Analysen könnten wir mit Experimenten fortfahren, um die Form für die unbekannte Funktion f zu entdecken . Unsere Experimente sind jedoch einfacher als ohne Dimensionsanalyse. Wir würden keine durchführen, um zu überprüfen, ob die Energie proportional zur Spannung ist. Oder vielleicht könnten wir vermuten, dass die Energie proportional zu ℓ ist , und daraus schließen, dass E = ℓs ist . Die Kraft der Dimensionsanalyse als Hilfsmittel zum Experimentieren und Bilden von Hypothesen wird deutlich.

Die Kraft der Dimensionsanalyse wird wirklich offensichtlich, wenn sie auf Situationen angewendet wird, die im Gegensatz zu den oben angegebenen komplizierter sind, die Menge der beteiligten Variablen nicht offensichtlich ist und die zugrunde liegenden Gleichungen hoffnungslos komplex sind. Stellen Sie sich zum Beispiel einen kleinen Kieselstein vor, der auf einem Flussbett sitzt. Wenn der Fluss schnell genug fließt, hebt er den Kieselstein tatsächlich an und lässt ihn mit dem Wasser mitfließen. Bei welcher kritischen Geschwindigkeit tritt dies auf? Das Aussortieren der erratenen Variablen ist nicht mehr so ​​einfach wie zuvor. Die Dimensionsanalyse kann jedoch eine wichtige Hilfe beim Verständnis solcher Probleme sein und ist normalerweise das allererste Werkzeug, das auf komplexe Probleme angewendet wird, bei denen die zugrunde liegenden Gleichungen und Einschränkungen nur unzureichend verstanden werden. In solchen Fällen kann die Antwort von einer dimensionslosen Zahl wie der Reynolds-Zahl abhängen , die durch Dimensionsanalyse interpretiert werden kann.

Ein drittes Beispiel: Nachfrage versus Kapazität für eine rotierende Scheibe

Dimensionsanalyse und numerische Experimente für eine rotierende Scheibe

Betrachten Sie den Fall einer dünnen, festen, parallelen rotierenden Scheibe mit axialer Dicke t (L) und Radius R (L). Die Scheibe hat eine Dichte ρ (M / L ³ ), dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit ω (T ⁻¹ ) und dies führt zu einer Spannung S (ML ⁻¹ T ⁻² ) im Material. Es gibt eine theoretische lineare elastische Lösung für dieses Problem, wenn die Scheibe relativ zu ihrem Radius dünn ist, die Flächen der Scheibe sich frei axial bewegen können und die konstitutiven Beziehungen der Ebenenspannung als gültig angenommen werden können. Wenn die Scheibe im Verhältnis zum Radius dicker wird, bricht die ebene Spannungslösung zusammen. Wenn die Scheibe auf ihren freien Flächen axial festgehalten wird, tritt ein Zustand ebener Dehnung auf. Ist dies jedoch nicht der Fall, kann der Spannungszustand nur unter Berücksichtigung der dreidimensionalen Elastizität bestimmt werden, und für diesen Fall ist keine theoretische Lösung bekannt. Ein Ingenieur könnte daher daran interessiert sein, eine Beziehung zwischen den fünf Variablen herzustellen. Die Dimensionsanalyse für diesen Fall führt zu den folgenden (5 - 3 = 2) nichtdimensionalen Gruppen:

Nachfrage / Kapazität = ρR ² ω ² / S.

Dicke / Radius oder Seitenverhältnis = t / R.

Durch die Verwendung numerischer Experimente, beispielsweise unter Verwendung der Finite-Elemente-Methode , kann die Art der Beziehung zwischen den beiden nichtdimensionalen Gruppen erhalten werden, wie in der Figur gezeigt. Da dieses Problem nur zwei nicht dimensionale Gruppen betrifft, wird das vollständige Bild in einem einzigen Diagramm bereitgestellt und kann als Entwurfs- / Bewertungsdiagramm für rotierende Scheiben verwendet werden ^[22].

Huntleys Erweiterung: gerichtete Dimensionen und Menge der Materie

Huntley ( Huntley 1967 ) hat darauf hingewiesen, dass eine Dimensionsanalyse leistungsfähiger werden kann, indem neue unabhängige Dimensionen in den betrachteten Größen entdeckt werden, wodurch der Rang erhöht wird${\ displaystyle m}$der dimensionalen Matrix. Er führte dazu zwei Ansätze ein:

• Die Größen der Komponenten eines Vektors sind als dimensionsunabhängig anzusehen. Beispielsweise kann L _x anstelle einer undifferenzierten Längenabmessung L die Abmessung in x-Richtung darstellen und so weiter. Diese Anforderung ergibt sich letztendlich aus der Anforderung, dass jede Komponente einer physikalisch bedeutsamen Gleichung (Skalar, Vektor oder Tensor) dimensional konsistent sein muss.
• Die Masse als Maß für die Materiemenge ist als Maß für die Trägheit dimensionsunabhängig von der Masse zu betrachten.

Nehmen wir als Beispiel für die Nützlichkeit des ersten Ansatzes an, wir möchten die Entfernung berechnen, die eine Kanonenkugel zurücklegt, wenn sie mit einer vertikalen Geschwindigkeitskomponente abgefeuert wird${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$ und eine horizontale Geschwindigkeitskomponente ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$vorausgesetzt, es wird auf einer ebenen Fläche abgefeuert. Unter der Annahme, dass keine gerichteten Längen verwendet werden, sind dann die interessierenden Mengen${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$, ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$, beide dimensioniert als LT ⁻¹ , R , die zurückgelegte Strecke mit der Dimension L und g die Abwärtsbeschleunigung der Schwerkraft mit der Dimension LT ⁻² .

Mit diesen vier Größen können wir schließen, dass die Gleichung für den Bereich R geschrieben werden kann:

${\ displaystyle R \ propto V _ {\ text {x}} ^ {a} \, V _ {\ text {y}} ^ {b} \, g ^ {c}. \,}$

Oder dimensional

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} = \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {a + b} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c} \,}$

woraus wir das ableiten können ${\ displaystyle a + b + c = 1}$ und ${\ displaystyle a + b + 2c = 0}$, was einen Exponenten unbestimmt lässt. Dies ist zu erwarten, da wir zwei grundlegende Dimensionen L und T und vier Parameter mit einer Gleichung haben.

Wenn wir jedoch gerichtete Längenmaße verwenden, dann ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$wird dimensioniert als L _x T ⁻¹ ,${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$als L _y T ⁻¹ , R als L _x und g als L _y T ⁻² . Die Dimensionsgleichung wird:

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}} = \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}}} {\ mathsf {T}}} \ rechts) ^ {a} \ links ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {\ mathsf {T}}} \ rechts) ^ {b} \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c}}$

und wir können vollständig als lösen ${\ displaystyle a = 1}$, ${\ displaystyle b = 1}$ und ${\ displaystyle c = -1}$. Die Zunahme der deduktiven Leistung, die durch die Verwendung gerichteter Längenabmessungen erzielt wird, ist offensichtlich.

In seinem zweiten Ansatz ist Huntley der Ansicht, dass es manchmal nützlich ist (z. B. in der Strömungsmechanik und Thermodynamik), zwischen Masse als Maß für die Trägheit (Trägheitsmasse) und Masse als Maß für die Menge der Materie zu unterscheiden. Die Menge der Materie wird von Huntley als eine Menge (a) definiert, die proportional zur Trägheitsmasse ist, aber (b) keine Trägheitseigenschaften impliziert. Der Definition werden keine weiteren Einschränkungen hinzugefügt.

Betrachten Sie zum Beispiel die Ableitung des Poiseuille-Gesetzes . Wir möchten die Geschwindigkeit des Massenstroms einer viskosen Flüssigkeit durch ein kreisförmiges Rohr ermitteln. Ohne zwischen Trägheit und wesentlicher Masse zu unterscheiden, können wir als relevante Variablen wählen

• ${\ displaystyle {\ dot {m}}}$der Massendurchsatz mit der Abmessung MT ⁻¹
• ${\ displaystyle p _ {\ text {x}}}$der Druckgradient entlang des Rohres mit der Abmessung ML ⁻² T ⁻²
• ρ die Dichte mit der Dimension ML ⁻³
• η die dynamische Fluidviskosität mit der Abmessung ML ⁻¹ T ⁻¹
• r der Radius des Rohres mit der Abmessung L.

Es gibt drei grundlegende Variablen, so dass die obigen fünf Gleichungen zwei dimensionslose Variablen ergeben, die wir annehmen können ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ dot {m}} / \ eta r}$ und ${\ displaystyle \ pi _ {2} = p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5} / {\ dot {m}} ^ {2}}$ und wir können die Dimensionsgleichung als ausdrücken

${\ displaystyle C = \ pi _ {1} \ pi _ {2} ^ {a} = \ left ({\ frac {\ dot {m}} {\ eta r}} \ right) \ left ({\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5}} {{\ dot {m}} ^ {2}}} \ right) ^ {a}}$

wobei C und a unbestimmte Konstanten sind. Wenn wir zwischen Trägheitsmasse und Dimension unterscheiden${\ displaystyle M _ {\ text {i}}}$ und Menge der Materie mit Dimension ${\ displaystyle M _ {\ text {m}}}$Dann verwenden der Massendurchsatz und die Dichte die Materiemenge als Massenparameter, während der Druckgradient und der Viskositätskoeffizient die Trägheitsmasse verwenden. Wir haben jetzt vier grundlegende Parameter und eine dimensionslose Konstante, damit die Dimensionsgleichung geschrieben werden kann:

${\ displaystyle C = {\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {4}} {\ eta {\ dot {m}}}}$

wobei jetzt nur C eine unbestimmte Konstante ist (als gleich befunden${\ displaystyle \ pi / 8}$durch Methoden außerhalb der Dimensionsanalyse). Diese Gleichung kann für den Massendurchsatz gelöst werden, um das Poiseuille-Gesetz zu erhalten .

Huntleys Anerkennung der Menge der Materie als unabhängige Quantitätsdimension ist offensichtlich erfolgreich in den Problemen, in denen sie anwendbar ist, aber seine Definition der Menge der Materie ist interpretationsfähig, da sie über die beiden Anforderungen (a) und (b) hinaus keine Spezifität aufweist dafür postuliert. Für eine gegebene Substanz, die SI - Dimension Menge der Substanz , mit der Einheit Mol , nicht erfüllen Huntley zwei Anforderungen als Maß für die Menge der Materie und könnte als eine Materiemenge in jedem Problem der Dimensionsanalyse verwendet werden , wo Huntley Konzept anwendbar ist.

Huntleys Konzept der gerichteten Längenabmessungen weist jedoch einige schwerwiegende Einschränkungen auf:

• Es geht nicht gut mit Vektorgleichungen um, an denen das Kreuzprodukt beteiligt ist .
• Die Verwendung von Winkeln als physikalische Variablen wird auch nicht gut gehandhabt.

Es ist auch oft ziemlich schwierig, die Symbole L, L _x , L _y , L _z den physikalischen Variablen zuzuweisen, die an dem interessierenden Problem beteiligt sind. Er beruft sich auf eine Prozedur, die die "Symmetrie" des physikalischen Problems beinhaltet. Dies ist oft sehr schwer zuverlässig anzuwenden: Es ist unklar, in welchen Teilen des Problems der Begriff "Symmetrie" verwendet wird. Ist es die Symmetrie des physischen Körpers, auf die Kräfte einwirken, oder auf die Punkte, Linien oder Bereiche, an denen Kräfte ausgeübt werden? Was ist, wenn mehr als ein Körper an unterschiedlichen Symmetrien beteiligt ist?

Betrachten Sie die kugelförmige Blase, die an einem zylindrischen Rohr befestigt ist, wo die Luftströmungsrate als Funktion der Druckdifferenz in den beiden Teilen gewünscht wird. Was sind die erweiterten Huntley-Abmessungen der Viskosität der Luft, die in den verbundenen Teilen enthalten ist? Was sind die erweiterten Abmessungen des Drucks der beiden Teile? Sind sie gleich oder verschieden? Diese Schwierigkeiten sind für die begrenzte Anwendung der gerichteten Längenmaße von Huntley auf reale Probleme verantwortlich.

Sianos Erweiterung: Orientierungsanalyse

Winkel werden üblicherweise als dimensionslose Größen betrachtet. Betrachten Sie als Beispiel noch einmal das Projektilproblem, bei dem eine Punktmasse vom Ursprung ( x , y ) = (0, 0) mit einer Geschwindigkeit v und einem Winkel θ über der x- Achse mit der entlang gerichteten Schwerkraft abgefeuert wird die negative y- Achse. Es ist erwünscht, den Bereich R zu finden , an welchem ​​Punkt die Masse zur x- Achse zurückkehrt. Die konventionelle Analyse liefert die dimensionslose Variable π = R g / v ² , bietet jedoch keinen Einblick in die Beziehung zwischen R und θ .

Siano ( 1985-I , 1985-II ) hat vorgeschlagen, die gerichteten Dimensionen von Huntley durch die Verwendung von Orientierungssymbolen 1 _x  1 _y  1 _z zur Bezeichnung von Vektorrichtungen und eines orientierungslosen Symbols 1 ₀ zu ersetzen . Somit wird Huntleys L _x zu L1 _x, wobei L die Abmessung der Länge und 1 _x die Ausrichtung angibt. Siano zeigt weiter, dass die Orientierungssymbole eine eigene Algebra haben. Zusammen mit der Anforderung, dass 1 _i ⁻¹ = 1 _{i ist} , ergibt sich die folgende Multiplikationstabelle für die Orientierungssymbole:

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | cccc} & \ mathbf {1_ {0}} & \ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {y}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {z}}} \\\ hline \ mathbf {1_ {0}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z }} \\\ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} \\\ mathbf {1_ {\ text {y}}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} \\\ mathbf {1 _ {\ text {z}}} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} \ end {array}}}$

Beachten Sie, dass die Orientierungssymbole eine Gruppe bilden (die Klein-Vier-Gruppe oder " Vier-Gruppe "). In diesem System haben Skalare unabhängig von der "Symmetrie des Problems" immer die gleiche Ausrichtung wie das Identitätselement. Physikalische Größen, die Vektoren sind, haben die erwartete Orientierung: Eine Kraft oder eine Geschwindigkeit in z-Richtung hat die Orientierung von 1 _z . Betrachten Sie für Winkel einen Winkel θ , der in der z-Ebene liegt. Bilden Sie ein rechtwinkliges Dreieck in der z-Ebene, wobei θ einer der spitzen Winkel ist. Die Seite des rechtwinkligen Dreiecks neben dem Winkel hat dann eine Ausrichtung 1 _x und die gegenüberliegende Seite hat eine Ausrichtung 1 _y . Da (unter Verwendung von ~ zur Angabe der Orientierungsäquivalenz) tan ( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y / 1 _{x ist} , schließen wir, dass ein Winkel in der xy-Ebene eine Orientierung von 1 _y / 1 _x = 1 _{z haben} muss nicht unvernünftig. Analoges Denken erzwingt die Schlussfolgerung, dass sin ( θ ) die Orientierung 1 _{z hat,} während cos ( θ ) die Orientierung 1 _{0 hat} . Diese sind unterschiedlich, so dass man (richtig) zum Beispiel schlussfolgert, dass es keine Lösungen physikalischer Gleichungen gibt, die die Form a cos ( θ ) + b sin ( θ ) haben , wobei a und b echte Skalare sind. Beachten Sie, dass ein Ausdruck wie${\ displaystyle \ sin (\ theta + \ pi / 2) = \ cos (\ theta)}$ ist nicht dimensional inkonsistent, da es sich um einen Sonderfall der Formel für die Summe der Winkel handelt und ordnungsgemäß geschrieben werden sollte:

${\ displaystyle \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z}} + b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) = \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z}) }) \ cos (b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) + \ sin \ left (b \, 1 _ {\ text {z}}) \ cos (a \, 1 _ {\ text {z} }\Recht),}$

welche für ${\ displaystyle a = \ theta}$ und ${\ displaystyle b = \ pi / 2}$ ergibt ${\ displaystyle \ sin (\ theta \, 1 _ {\ text {z}} + [\ pi / 2] \, 1 _ {\ text {z}}) = 1 _ {\ text {z}} \ cos (\ theta \, 1 _ {\ text {z}})}$. Siano unterscheidet zwischen geometrischen Winkeln, die eine Orientierung im dreidimensionalen Raum haben, und Phasenwinkeln, die mit zeitbasierten Schwingungen verbunden sind, die keine räumliche Orientierung haben, dh die Orientierung eines Phasenwinkels ist${\ displaystyle 1_ {0}}$.

Die Zuordnung von Orientierungssymbolen zu physikalischen Größen und die Anforderung, dass physikalische Gleichungen orientierungshomogen sind, können tatsächlich ähnlich wie bei der Dimensionsanalyse verwendet werden, um ein wenig mehr Informationen über akzeptable Lösungen physikalischer Probleme abzuleiten. Bei diesem Ansatz stellt man die Dimensionsgleichung auf und löst sie so weit wie möglich. Wenn die niedrigste Potenz einer physikalischen Variablen gebrochen ist, werden beide Seiten der Lösung auf eine Potenz angehoben, so dass alle Potenzen ganzzahlig sind. Dies bringt es in "normale Form". Die Orientierungsgleichung wird dann gelöst, um eine restriktivere Bedingung für die unbekannten Potenzen der Orientierungssymbole zu geben und zu einer Lösung zu gelangen, die vollständiger ist als die, die die Dimensionsanalyse allein ergibt. Oft ist die hinzugefügte Information, dass eine der Potenzen einer bestimmten Variablen gerade oder ungerade ist.

Als Beispiel für das Projektilproblem hat die Verwendung von Orientierungssymbolen & thgr ; in der xy-Ebene somit die Dimension 1 _z und der Bereich des Projektils R hat die Form:

${\ displaystyle R = g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c} {\ text {was bedeutet}} {\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ mathrm {x}} \ sim \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ text {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \, 1 _ {\ mathsf {z}} ^ {c}. \,}$

Die Dimensionshomogenität ergibt nun korrekt a = −1 und b = 2 , und die Orientierungshomogenität erfordert dies${\ displaystyle 1_ {x} / (1_ {y} ^ {a} 1_ {z} ^ {c}) = 1_ {z} ^ {c + 1} = 1}$. Mit anderen Worten, dass c eine ungerade ganze Zahl sein muss. Tatsächlich ist die erforderliche Funktion von Theta sin ( & thgr;) cos ( & thgr; ), was eine Reihe ist, die aus ungeraden Potenzen von & thgr; besteht .

Es ist ersichtlich , dass die Taylor - Reihe von sin ( θ ) und cos ( θ ) ist orientierungs homogen die obige Multiplikationstabelle verwenden, während Ausdrücke wie cos ( θ ) + sin ( θ ) und exp ( θ ) ist nicht, und ist (richtig ) als unphysisch erachtet.

Die Orientierungsanalyse von Siano ist mit der herkömmlichen Vorstellung von Winkelgrößen als dimensionslos vereinbar, und innerhalb der Orientierungsanalyse kann der Bogenmaß immer noch als dimensionslose Einheit betrachtet werden. Die Orientierungsanalyse einer Mengengleichung wird getrennt von der gewöhnlichen Dimensionsanalyse durchgeführt, wobei Informationen erhalten werden, die die Dimensionsanalyse ergänzen.

Konstanten

Die dimensionslosen Konstanten, die in den erhaltenen Ergebnissen auftreten, wie das C im Poiseuille-Gesetz-Problem und das ${\ displaystyle \ kappa}$In den oben diskutierten Federproblemen ergeben sich aus einer detaillierteren Analyse der zugrunde liegenden Physik und ergeben sich häufig aus der Integration einer Differentialgleichung. Die Dimensionsanalyse selbst hat wenig zu diesen Konstanten zu sagen, aber es ist nützlich zu wissen, dass sie sehr oft eine Größenordnung der Ordnungseinheit haben. Diese Beobachtung kann es einem ermöglichen, manchmal " Back of the Envelope " -Berechnungen über das interessierende Phänomen durchzuführen und daher Experimente effizienter zu entwerfen, um es zu messen, oder zu beurteilen, ob es wichtig ist usw.

Formalismen

Paradoxerweise kann die Dimensionsanalyse ein nützliches Werkzeug sein, selbst wenn alle Parameter in der zugrunde liegenden Theorie dimensionslos sind, z. B. können Gittermodelle wie das Ising-Modell verwendet werden, um Phasenübergänge und kritische Phänomene zu untersuchen. Solche Modelle können rein dimensionslos formuliert werden. Wenn wir uns dem kritischen Punkt näher und näher nähern, wird die Entfernung, über die die Variablen im Gittermodell korreliert sind (die sogenannte Korrelationslänge,${\ displaystyle \ xi}$) wird immer größer. Die Korrelationslänge ist nun die relevante Längenskala, die sich auf kritische Phänomene bezieht, so dass man beispielsweise aus "dimensionalen Gründen" vermuten kann, dass der nichtanalytische Teil der freien Energie pro Gitterstelle sein sollte${\ displaystyle \ sim 1 / \ xi ^ {d}}$ wo ${\ displaystyle d}$ ist die Dimension des Gitters.

Einige Physiker, z. B. MJ Duff , ^{[20] [23] haben} argumentiert, dass die Gesetze der Physik von Natur aus dimensionslos sind. Die Tatsache, dass wir Länge, Zeit und Masse inkompatible Dimensionen zugewiesen haben, ist nach diesem Gesichtspunkt nur eine Frage der Konvention, die sich aus der Tatsache ergibt, dass es vor dem Aufkommen der modernen Physik keine Möglichkeit gab, Masse in Beziehung zu setzen. Länge und Zeit miteinander. Die drei unabhängigen dimensionalen Konstanten c , ħ und G in den Grundgleichungen der Physik müssen dann als bloße Umrechnungsfaktoren angesehen werden, um Masse, Zeit und Länge ineinander umzuwandeln.

Genau wie bei den kritischen Eigenschaften von Gittermodellen kann man die Ergebnisse der Dimensionsanalyse in der geeigneten Skalierungsgrenze wiederherstellen. Beispielsweise kann die Dimensionsanalyse in der Mechanik abgeleitet werden, indem die Konstanten ħ , c und G erneut eingefügt werden (aber wir können sie jetzt als dimensionslos betrachten) und verlangt wird, dass eine nicht singuläre Beziehung zwischen Größen in der Grenze besteht${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$, ${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$ und ${\ displaystyle G \ rightarrow 0}$. Bei Problemen mit einem Gravitationsfeld sollte die letztere Grenze so gewählt werden, dass das Feld endlich bleibt.

Es folgen Tabellen mit häufig vorkommenden Ausdrücken in der Physik, die sich auf die Dimensionen Energie, Impuls und Kraft beziehen. ^{[24] [25] [26]}

SI-Einheiten

Energie, E. ML 2 T −2	Ausdruck	Nomenklatur
Mechanisch	${\ displaystyle Fd}$	F = Kraft , d = Abstand
	${\ displaystyle S / t \ ​​equiv Pt}$	S = Aktion , t = Zeit, P = Leistung
	${\ displaystyle mv ^ {2} \ equiv pv \ equiv p ^ {2} / m}$	m = Masse , v = Geschwindigkeit , p = Impuls
	${\ displaystyle I \ omega ^ {2} \ equiv L \ omega \ equiv L ^ {2} / I}$	L = Drehimpuls , I = Trägheitsmoment , ω = Winkelgeschwindigkeit
Ideale Gase	${\ displaystyle pV \ equiv NT}$	p = Druck, Volumen , T = Temperatur N = Substanzmenge
Wellen	${\ displaystyle IAt \ equiv SAt}$	I = Wellenintensität , S = Poyntingvektors
Elektromagnetisch	${\ displaystyle q \ phi}$	q = elektrische Ladung , ϕ = elektrisches Potential (bei Änderungen ist dies Spannung )
	${\ displaystyle \ varepsilon E ^ {2} V \ equiv B ^ {2} V / \ mu}$	E = elektrisches Feld , B = magnetisches Feld , ε = Permittivität , μ = Permeabilität , V = 3d Volumen
	${\ displaystyle pE \ equiv mB \ equiv IAB}$	p = elektrisches Dipolmoment , m = magnetisches Moment, A = Fläche (begrenzt durch eine Stromschleife), I = elektrischer Strom in der Schleife