Zylinder

Die Definitionen und Ergebnisse in diesem Abschnitt stammen aus dem Text Plane and Solid Geometry von 1913 von George Wentworth und David Eugene Smith ( Wentworth & Smith 1913 ).

Eine zylindrische Fläche ist eine Fläche, die aus allen Punkten auf allen Geraden besteht, die parallel zu einer gegebenen Geraden sind und durch eine feste ebene Kurve in einer nicht parallel zur gegebenen Geraden verlaufenden Ebene verlaufen. Jede Linie in dieser Familie von parallelen Linien wird als Element der zylindrischen Oberfläche bezeichnet. Aus kinematischer Sicht ist eine zylindrische Fläche bei einer gegebenen ebenen Kurve, der Leitlinie genannt , die Fläche, die durch eine Linie, die als Mantellinie bezeichnet wird , nicht in der Ebene der Leitlinie verläuft, sich parallel zu sich selbst bewegt und immer durch die Leitlinie verläuft . Jede bestimmte Position der Erzeugenden ist ein Element der zylindrischen Oberfläche.

Ein rechter und ein schräger Kreiszylinder

Ein Volumenkörper, der von einer Zylinderfläche und zwei parallelen Ebenen begrenzt wird, wird als (Volumen-) Zylinder bezeichnet . Die durch ein Element der Zylinderfläche bestimmten Linienabschnitte zwischen den beiden parallelen Ebenen werden als Element des Zylinders bezeichnet . Alle Elemente eines Zylinders sind gleich lang. Der von der zylindrischen Oberfläche in einer der parallelen Ebenen begrenzte Bereich wird als Basis des Zylinders bezeichnet. Die beiden Basen eines Zylinders sind deckungsgleiche Figuren. Stehen die Elemente des Zylinders senkrecht zu den Ebenen, die die Basen enthalten, ist der Zylinder ein gerader Zylinder , andernfalls wird er als schiefer Zylinder bezeichnet . Sind die Basen Scheiben (Bereiche, deren Rand ein Kreis ist ), wird der Zylinder Kreiszylinder genannt . In einigen elementaren Behandlungen bedeutet ein Zylinder immer einen Kreiszylinder. ^[2]

Die Höhe (oder Höhe) eines Zylinders ist der senkrechte Abstand zwischen seinen Basen.

Der Zylinder , der durch eine sich drehende Liniensegment um eine feste Linie , dass es parallel zu ist ein Rotationszylinder . Ein Rotationszylinder ist ein gerader Kreiszylinder. Die Höhe eines Rotationszylinders ist die Länge des erzeugenden Liniensegments. Die Linie , die das Segment gedreht wird um die genannte Achse des Zylinders , und es geht durch die Zentren der beiden Basen.

Ein gerader Kreiszylinder mit Radius r und Höhe h

Rechte Kreiszylinder

Der bloße Begriff Zylinder bezieht sich oft auf einen massiven Zylinder mit kreisförmigen Enden senkrecht zur Achse, dh einen geraden Kreiszylinder, wie in der Abbildung gezeigt. Die zylindrische Oberfläche ohne die Enden wird als offener Zylinder bezeichnet . Die Formeln für die Oberfläche und das Volumen eines geraden Kreiszylinders sind seit der frühen Antike bekannt.

Ein gerader Kreiszylinder kann auch als gedacht werden Rotationskörper durch Drehen eines Rechtecks um eine seiner Seiten erzeugt. Diese Zylinder werden in einer Integrationstechnik (dem "Scheibenverfahren") verwendet, um Volumen von Rotationsfeststoffen zu erhalten. ^[3]

Zylindrische Abschnitte

Zylindrischer Abschnitt

Ein zylindrischer Schnitt ist der Schnittpunkt einer Zylinderoberfläche mit einer Ebene . Sie sind im Allgemeinen Kurven und sind spezielle Arten von ebenen Schnitten . Der zylindrische Schnitt durch eine Ebene, die zwei Elemente eines Zylinders enthält, ist ein Parallelogramm . ^[4] Ein solcher zylindrischer Abschnitt eines rechten Zylinders ist ein Rechteck . ^[4]

Ein zylindrischer Schnitt, bei dem sich die Schnittebene schneidet und senkrecht zu allen Elementen des Zylinders steht, wird als rechter Schnitt bezeichnet . ^[5] Wenn ein rechter Abschnitt eines Zylinders ein Kreis ist, dann ist der Zylinder ein Kreiszylinder. Allgemeiner gesagt , wenn ein rechter Abschnitt eines Zylinders ein Kegelschnitt (Parabel, Ellipse, Hyperbel) ist, dann wird der Vollzylinder als parabolisch, elliptisch bzw. hyperbolisch bezeichnet.

Zylindrische Abschnitte eines geraden Kreiszylinders

Bei einem geraden Kreiszylinder gibt es mehrere Möglichkeiten, wie Ebenen auf einen Zylinder treffen können. Erstens, Ebenen, die eine Basis in höchstens einem Punkt schneiden. Eine Ebene ist tangential zum Zylinder, wenn sie in einem einzigen Element auf den Zylinder trifft. Die rechten Schnitte sind Kreise und alle anderen Ebenen schneiden die Zylinderfläche in einer Ellipse . ^[6] Wenn eine Ebene eine Grundfläche des Zylinders in genau zwei Punkten schneidet, dann ist das Liniensegment, das diese Punkte verbindet, Teil des zylindrischen Abschnitts. Wenn eine solche Ebene zwei Elemente enthält, hat sie ein Rechteck als zylindrischen Abschnitt, ansonsten sind die Seiten des zylindrischen Abschnitts Teile einer Ellipse. Wenn eine Ebene schließlich mehr als zwei Punkte einer Basis enthält, enthält sie die gesamte Basis und der zylindrische Abschnitt ist ein Kreis.

Bei einem geraden Kreiszylinder mit zylindrischem Querschnitt, der eine Ellipse ist, hängen die Exzentrizität e des zylindrischen Querschnitts und die große Halbachse a des zylindrischen Querschnitts vom Radius des Zylinders r und dem Winkel α zwischen der Sekantenebene . ab und Zylinderachse wie folgt:

${\displaystyle e=\cos\alpha,}$

${\displaystyle a={\frac {r}{\sin\alpha}}.}$

Volumen

Wenn die Grundfläche eines Kreiszylinders einen Radius r hat und der Zylinder die Höhe h hat , dann ist sein Volumen gegeben durch

V = π r ² h .

Diese Formel gilt unabhängig davon, ob der Zylinder ein rechter Zylinder ist oder nicht. ^[7]

Diese Formel kann nach dem Cavalieri-Prinzip aufgestellt werden .

Ein massiver elliptischer Zylinder mit den Halbachsen a und b für die Grundellipse und Höhe h

Allgemeiner ausgedrückt ist das Volumen eines Zylinders nach dem gleichen Prinzip das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe. Zum Beispiel hat ein elliptischer Zylinder mit einer Basis mit großer Halbachse a , kleiner Halbachse b und Höhe h ein Volumen V = Ah , wobei A die Fläche der Basisellipse (= π ab ) ist. Dieses Ergebnis für rechtselliptische Zylinder kann auch durch Integration erhalten werden, wobei die Zylinderachse als positive x -Achse genommen wird und A ( x ) = A die Fläche jedes elliptischen Querschnitts ist, also:

${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx= \pi abh.}$

Mit Zylinderkoordinaten kann das Volumen eines geraden Kreiszylinders durch Integration über . berechnet werden

${\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi}\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz }$

${\displaystyle =\pi\,r^{2}\,h.}$

Oberfläche

Mit dem Radius r und der Höhe (Höhe) h besteht die Oberfläche eines geraden Kreiszylinders, der so ausgerichtet ist, dass seine Achse vertikal ist, aus drei Teilen:

• die Fläche der oberen Basis: π r ²
• die Fläche der unteren Basis: π r ²
• Seitenfläche: 2π rh

Die Fläche der oberen und unteren Basen die gleiche ist , und die genannte Grundfläche , B . Die Fläche der Seite ist bekannt als die Seitenfläche , L .

Ein offener Zylinder enthält weder obere noch untere Elemente und hat daher eine Fläche (seitliche Fläche)

L = 2πr .

Die Oberfläche des massiven rechten Kreiszylinders setzt sich aus der Summe aller drei Komponenten zusammen: oben, unten und seitlich. Seine Oberfläche beträgt daher

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r ² = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,

wobei d = 2 r der Durchmesser der kreisförmigen Ober- oder Unterseite ist.

Für ein gegebenes Volumen hat der rechte Kreiszylinder mit der kleinsten Oberfläche h = 2 r . Bei gegebener Oberfläche hat der rechte Kreiszylinder mit dem größten Volumen äquivalent h = 2 r , d. h. der Zylinder passt genau in einen Würfel der Seitenlänge = Höhe ( = Durchmesser des Grundkreises). ^[8]

Die Seitenfläche L eines Kreiszylinders, der kein gerader Zylinder sein muss, ist allgemeiner gegeben durch:

L = e × p ,

wobei e die Länge eines Elements und p der Umfang eines rechten Abschnitts des Zylinders ist. ^[9] Dies ergibt die vorherige Formel für die Seitenfläche, wenn der Zylinder ein rechter Kreiszylinder ist.

Hohlzylinder

Rechter kreisförmiger Hohlzylinder (zylindrischer Mantel)

Ein gerader kreisförmiger Hohlzylinder (oder zylindrische Schale ) ist ein dreidimensionaler Bereich, der von zwei geraden kreisförmigen Zylindern mit derselben Achse und zwei parallelen ringförmigen Basen senkrecht zur gemeinsamen Achse der Zylinder begrenzt wird, wie in der Abbildung.

Lassen Sie die Höhe sein , h , Innenradius r und Außenradius R . Das Volumen ist gegeben durch

${\displaystyle V=\pi(R^{2}-r^{2})h=2\pi\left({\frac{R+r}{2}}\right)h(Rr).}$.

Somit entspricht das Volumen einer zylindrischen Schale 2 π (durchschnittlicher Radius) (Höhe) (Dicke). ^[10]

Die Oberfläche, einschließlich der Ober- und Unterseite, ist gegeben durch

${\displaystyle A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).}$.

Zylindrische Schalen werden in einer üblichen Integrationstechnik zum Auffinden von Volumen von Rotationskörpern verwendet. ^[11]

Auf der Kugel und dem Zylinder

Eine Kugel hat 2/3 des Volumens und der Oberfläche ihres umschreibenden Zylinders einschließlich seiner Basen

In der Abhandlung mit diesem Namen geschrieben c. 225 v. Chr. erhielt Archimedes das Ergebnis, auf das er am stolzesten war, nämlich die Formeln für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel zu erhalten, indem er die Beziehung zwischen einer Kugel und ihrem umschriebenen geraden Kreiszylinder gleicher Höhe und Durchmesser ausnutzte . Die Kugel hat ein Volumen von zwei Dritteln des umschriebenen Zylinders und eine Oberfläche von zwei Dritteln des Zylinders (einschließlich der Basen). Da die Werte für den Zylinder bereits bekannt waren, erhielt er erstmals die entsprechenden Werte für die Kugel. Das Volumen einer Kugel vom Radius r ist4/3π r ³ = 2/3(2 π r ³ ) . Die Oberfläche dieser Kugel beträgt 4 π r ² = 2/3(6 π r ² ) . Auf seinen Wunsch hin wurden eine gemeißelte Kugel und ein Zylinder auf das Grab des Archimedes gelegt.

In einigen Bereichen der Geometrie und Topologie bezieht sich der Begriff Zylinder auf eine sogenannte zylindrische Oberfläche . Ein Zylinder ist definiert als eine Fläche, die aus allen Punkten auf allen Geraden besteht, die parallel zu einer gegebenen Geraden sind und die durch eine feste ebene Kurve in einer nicht parallel zur gegebenen Geraden verlaufenden Ebene verlaufen. ^[12] Solche Zylinder wurden manchmal als verallgemeinerte Zylinder bezeichnet . Durch jeden Punkt eines verallgemeinerten Zylinders geht eine eindeutige Linie, die im Zylinder enthalten ist. ^[13] Diese Definition kann also so umformuliert werden, dass ein Zylinder jede Regelfläche ist , die von einer einparametrigen Familie paralleler Linien aufgespannt wird.

Ein Zylinder mit einem rechten Abschnitt, der eine Ellipse , Parabel oder Hyperbel ist, wird als elliptischer Zylinder , parabolischer Zylinder bzw. hyperbolischer Zylinder bezeichnet. Dies sind entartete quadratische Flächen . ^[14]

Parabolischer Zylinder

Wenn die Hauptachsen einer Quadrik mit dem Bezugssystem ausgerichtet sind (bei einer Quadrik immer möglich), ist eine allgemeine Gleichung der Quadrik in drei Dimensionen gegeben durch

${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$

wobei die Koeffizienten reelle Zahlen sind und nicht alle von A , B und C 0 sind. Wenn mindestens eine Variable nicht in der Gleichung auftaucht, dann ist die Quadrik entartet. Fehlt eine Variable, können wir durch entsprechende Drehung der Achsen annehmen, dass die Variable z nicht auftritt und die allgemeine Gleichung dieser Art von entarteten Quadriken kann geschrieben werden als ^[15]

${\displaystyle A\left(x+{\frac{D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac{E}{2B}}\right)^{2}=\ rho ,}$

wo

${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$

Elliptischer Zylinder

Wenn AB > 0 ist dies die Gleichung eines elliptischen Zylinders . ^{[15] Eine} weitere Vereinfachung kann durch Achsenverschiebung und Skalarmultiplikation erreicht werden. Wenn${\displaystyle \rho}$das gleiche Vorzeichen wie die Koeffizienten A und B hat , dann kann die Gleichung eines elliptischen Zylinders in kartesische Koordinaten umgeschrieben werden als:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$

Diese Gleichung eines elliptischen Zylinders ist eine Verallgemeinerung der Gleichung des gewöhnlichen Kreiszylinders ( a = b ). Elliptische Zylinder werden auch als Zylindroide bezeichnet , aber dieser Name ist mehrdeutig, da er sich auch auf das Plücker-Konoid beziehen kann .

Wenn ${\displaystyle \rho}$ein anderes Vorzeichen als die Koeffizienten hat, erhalten wir die imaginären elliptischen Zylinder :

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$

die keine wirklichen Punkte haben. (${\displaystyle \rho =0}$ gibt einen einzigen echten Punkt.)

Hyperbolischer Zylinder

Wenn A und B unterschiedliche Vorzeichen haben und${\displaystyle \rho \neq 0}$, erhalten wir die hyperbolischen Zylinder , deren Gleichungen umgeschrieben werden können als:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$

Parabolischer Zylinder

Wenn AB = 0 schließlich angenommen wird , ohne Beschränkung der Allgemeinheit , dass B = 0 und A = 1 sind , um die parabolischen Zylinder mit Gleichungen zu erhalten, die geschrieben werden können als: ^[16]

${\displaystyle {x}^{2}+2a{y}=0.}$

In der projektiven Geometrie ist ein Zylinder einfach ein Kegel, dessen Spitze im Unendlichen liegt, was visuell einem Zylinder in der Perspektive entspricht, der wie ein Kegel zum Himmel erscheint.

In der projektiven Geometrie ist ein Zylinder einfach ein Kegel, dessen Spitze (Scheitel) auf der Ebene im Unendlichen liegt . Wenn der Kegel ein quadratischer Kegel ist, kann die Ebene im Unendlichen (die durch den Scheitelpunkt geht) den Kegel an zwei reellen Geraden, einer einzelnen reellen Geraden (eigentlich einem zusammenfallenden Linienpaar) oder nur am Scheitelpunkt schneiden. In diesen Fällen entstehen die hyperbolischen, parabolischen bzw. elliptischen Zylinder. ^[17]

Dieses Konzept ist nützlich, wenn man entartete Kegelschnitte betrachtet , zu denen die zylindrischen Kegelschnitte gehören können.

Das Tycho Brahe Planetarium Gebäude, Kopenhagen, ist ein Beispiel für einen abgestumpften Zylinder

Ein fester kreisförmiger Zylinder kann als Grenzfall eines ersichtlich n -gonal Prisma , wo n nähert Unendlich . Die Verbindung ist sehr stark und viele ältere Texte behandeln gleichzeitig Prismen und Zylinder. Formeln für Oberfläche und Volumen werden aus den entsprechenden Formeln für Prismen abgeleitet, indem man einbeschriebene und umschriebene Prismen verwendet und dann die Seitenzahl des Prismas unbegrenzt zunehmen lässt. ^[18] Ein Grund für die frühe Betonung (und manchmal ausschließliche Behandlung) von Kreiszylindern ist, dass eine kreisförmige Grundfläche der einzige geometrische Figurentyp ist, für den diese Technik nur mit elementaren Überlegungen funktioniert (kein Appell an Infinitesimalrechnung oder fortgeschrittenere Mathematik). Die Terminologie über Prismen und Zylinder ist identisch. Da beispielsweise ein abgestumpftes Prisma ein Prisma ist, dessen Grundflächen nicht in parallelen Ebenen liegen, würde ein massiver Zylinder, dessen Grundflächen nicht in parallelen Ebenen liegen, als abgestumpfter Zylinder bezeichnet .

Aus polyederischer Sicht kann ein Zylinder auch als Dual eines Doppelkegels als unendlich-seitige Bipyramide angesehen werden .

Familie gleichförmiger n -gonaler Prismen

• v
• t
• e

Prismaname	Diagonalprisma	(Trigonal) Dreiecksprisma	(Tetragonales) Quadratisches Prisma	Fünfeckiges Prisma	Sechseckiges Prisma	Siebeneckiges Prisma	Achteckiges Prisma	Enneagonales Prisma	Zehneckiges Prisma	Hendekagonales Prisma	Zwölfeckiges Prisma	...	Apeirogonales Prisma
Polyeder-Bild												...
Kugelförmiges Kachelbild												Kachelbild der Ebene
Vertex-Konfiguration.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	.4.4
Coxeter-Diagramm												...

• Liste der Formen
• Steinmetz-Körper , der Schnittpunkt von zwei oder drei senkrechten Zylindern

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Festkörperanalytische Geometrie , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Plane and Solid Geometry , Ginn und Co.

• Weisstein, Eric W. "Zylinder" . MathWorld .
• Oberfläche eines Zylinders bei MATHguide
• Volumen eines Zylinders bei MATHguide