Kegelschnitt

Die Kegelschnitte wurden seit Tausenden von Jahren untersucht und bieten eine reichhaltige Quelle interessanter und schöner Ergebnisse in der euklidischen Geometrie .

Definition

Die schwarzen Grenzen der farbigen Bereiche sind Kegelschnitte. Nicht gezeigt ist die andere Hälfte der Hyperbel, die sich auf der nicht gezeigten anderen Hälfte des Doppelkegels befindet.

Ein Kegel ist die Kurve, die als Schnittpunkt einer Ebene , die als Schnittebene bezeichnet wird , mit der Oberfläche eines Doppelkegels (eines Kegels mit zwei Windeln ) erhalten wird. Es wird normalerweise angenommen, dass der Kegel ein rechter Kreiskegel ist, um eine einfache Beschreibung zu ermöglichen, dies ist jedoch nicht erforderlich. Jeder Doppelkegel mit kreisförmigem Querschnitt reicht aus. Ebenen, die durch den Scheitelpunkt des Kegels verlaufen, schneiden den Kegel in einem Punkt, einer Linie oder einem Paar sich schneidender Linien. Diese werden als entartete Kegel bezeichnet, und einige Autoren betrachten sie überhaupt nicht als Kegel. Sofern nicht anders angegeben, bezieht sich "Kegel" in diesem Artikel auf einen nicht entarteten Kegel.

Es gibt drei Arten von Kegeln: Ellipse , Parabel und Hyperbel . Der Kreis ist eine besondere Art von Ellipse, obwohl Apollonius historisch als vierter Typ angesehen wurde. Ellipsen entstehen, wenn der Schnittpunkt von Kegel und Ebene eine geschlossene Kurve ist . Der Kreis wird erhalten, wenn die Schnittebene parallel zur Ebene des Erzeugungskreises des Kegels ist; Für einen rechten Kegel bedeutet dies, dass die Schnittebene senkrecht zur Achse ist. Wenn die Schnittebene parallel zu genau einer Erzeugungslinie des Kegels ist, ist der Kegel unbegrenzt und wird als Parabel bezeichnet . Im übrigen Fall handelt es sich bei der Figur um eine Hyperbel : Die Ebene schneidet beide Hälften des Kegels und erzeugt zwei separate, unbegrenzte Kurven.

Exzentrizität, Fokus und Direktheit

Ellipse ( e = 1/2), Parabel ( e = 1) und Hyperbel ( e = 2) mit festem Fokus F und Directrix ( e = ∞). Der rote Kreis ( e = 0) dient als Referenz, er hat keine Directrix in der Ebene.

Alternativ kann man einen Kegelschnitt nur in Bezug auf die Ebenengeometrie definieren: Es ist der Ort aller Punkte P, deren Abstand zu einem festen Punkt F (als Fokus bezeichnet ) ein konstantes Vielfaches (als Exzentrizität e bezeichnet ) des Abstands von P ist zu einer festen Leitung L ( Directrix genannt ). Für 0 < e <1 erhalten wir eine Ellipse, für e = 1 eine Parabel und für e > 1 eine Hyperbel.

Ein Kreis ist ein Grenzfall und wird nicht durch einen Fokus und eine Gerade in der euklidischen Ebene definiert. Die Exzentrizität eines Kreises wird als Null definiert und sein Fokus ist der Mittelpunkt des Kreises, aber seine Gerade kann nur als Linie im Unendlichen in der Projektionsebene genommen werden. ^[2]

Die Exzentrizität einer Ellipse kann als Maß dafür angesehen werden, wie weit die Ellipse von ihrer Kreisform abweicht. ^{[3] : 844}

Wenn der Winkel zwischen der Oberfläche des Kegels und seiner Achse ist ${\ displaystyle \ beta}$ und der Winkel zwischen der Schnittebene und der Achse ist ${\ displaystyle \ alpha,}$die Exzentrizität ist ^[4] ${\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta}}.}$

Ein Beweis dafür, dass die obigen Kurven, die durch die Fokus-Direktrix-Eigenschaft definiert sind, dieselben sind wie diejenigen, die durch Ebenen erhalten werden, die einen Kegel schneiden, wird durch die Verwendung von Löwenzahnkugeln erleichtert . ^[5]

Kegelparameter

Kegelparameter bei einer Ellipse

Zusätzlich zu der Exzentrizität ( e ), den Brennpunkten und der Geraden sind einem Kegelschnitt verschiedene geometrische Merkmale und Längen zugeordnet.

Die Hauptachse ist die Linie , die die Brennpunkte einer Ellipse oder eine Hyperbel seines Eintritt und sein Mittelpunkt ist die Kurvenmitte . Eine Parabel hat kein Zentrum.

Die lineare Exzentrizität ( c ) ist der Abstand zwischen dem Zentrum und einem Fokus.

Der Latus rectum ist der Akkord parallel zur Directrix und durch einen Fokus; seine halbe Länge ist das Semi-Latus-Rektum ( ℓ ).

Der Fokusparameter ( p ) ist die Entfernung von einem Fokus zur entsprechenden Directrix.

Die Hauptachse ist der Akkord zwischen den beiden Eckpunkten: der längste Akkord einer Ellipse, der kürzeste Akkord zwischen den Zweigen einer Hyperbel. Seine halbe Länge ist die Semi-Major-Achse ( a ). Wenn sich eine Ellipse oder Hyperbel in der Standardposition wie in den folgenden Gleichungen befindet, mit Brennpunkten auf der x- Achse und dem Zentrum im Ursprung, haben die Eckpunkte des Kegels die Koordinaten (- a , 0) und ( a , 0) mit a nicht negativ.

Die Nebenachse ist der kürzeste Durchmesser einer Ellipse, und ihre halbe Länge ist die Halb-Nebenachse ( b ), der gleiche Wert b wie in der folgenden Standardgleichung. Analog dazu nennen wir für eine Hyperbel auch den Parameter b in der Standardgleichung die semi-minor-Achse.

Die folgenden Beziehungen gelten: ^[6]

• ${\ displaystyle \ \ ell = pe}$
• ${\ displaystyle \ c = ae}$
• ${\ displaystyle \ p + c = {\ frac {a} {e}}}$

Für Kegel in Standardposition haben diese Parameter die folgenden Werte ${\ displaystyle a, b> 0}$.

Kegelschnitt	Gleichung	Exzentrizität ( e )	lineare Exzentrizität ( c )	semi-latus rectum ( ℓ )	Fokusparameter ( p )
Kreis	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle a \,}$	${\ displaystyle \ infty}$
Ellipse	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$
Parabel	${\ displaystyle y ^ {2} = 4ax \,}$	${\ displaystyle 1 \,}$	N / A	${\ displaystyle 2a \,}$	${\ displaystyle 2a \,}$
Hyperbel	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

Standardformulare in kartesischen Koordinaten

Standardformen einer Ellipse

Standardformen einer Parabel

Standardformen einer Hyperbel

Nach der Einführung der kartesischen Koordinaten kann die Eigenschaft focus-directrix verwendet werden, um die Gleichungen zu erzeugen, die von den Punkten des Kegelschnitts erfüllt werden. ^[7] Durch eine Änderung der Koordinaten ( Drehung und Verschiebung der Achsen ) können diese Gleichungen in Standardformen gebracht werden . ^[8] Für Ellipsen und Hyperbeln hat eine Standardform die x- Achse als Hauptachse und den Ursprung (0,0) als Mittelpunkt. Die Eckpunkte sind (± a , 0) und die Brennpunkte (± c , 0) . Definieren Sie b durch die Gleichungen c ² = a ² - b ² für eine Ellipse und c ² = a ² + b ² für eine Hyperbel. Für einen Kreis ist c = 0, also a ² = b ² . Für die Parabel hat die Standardform den Fokus auf die x- Achse am Punkt ( a , 0) und die Gerade die Linie mit der Gleichung x = - a . In der Standardform verläuft die Parabel immer durch den Ursprung.

Für eine rechteckige oder gleichseitige Hyperbel , deren Asymptoten senkrecht sind, gibt es eine alternative Standardform, bei der die Asymptoten die Koordinatenachsen und die Linie x = y die Hauptachse sind. Die Brennpunkte haben dann die Koordinaten ( c , c ) und (- c , - c ) . ^[9]

• Kreis: x ² + y ² = a ²
• Ellipse: x ²/.a ² + y ²/.b ² = 1
• Parabel: y ² = 4 Axt mit a > 0
• Hyperbel: x ²/.a ² - - y ²/.b ² = 1
• Rechteckige Hyperbel: ^[10] xy = c ²/.2

Die ersten vier dieser Formen sind sowohl um die x- Achse als auch um die y- Achse (für den Kreis, die Ellipse und die Hyperbel) oder nur um die x- Achse (für die Parabel) symmetrisch. Die rechteckige Hyperbel ist jedoch stattdessen symmetrisch zu den Linien y = x und y = - x .

Diese Standardformulare können parametrisch geschrieben werden als:

• Kreis : ( a cos θ , a sin θ ) ,
• Ellipse : ( a cos θ , b sin θ ) ,
• Parabel : ( um ² , 2 um ) ,
• Hyperbel : ( a sec θ , b tan θ ) oder (± a cosh u , b sinh u ) ,
• Rechteckige Hyperbel :${\ displaystyle (dt, {\ frac {d} {t}})}$ wo ${\ displaystyle d = {\ frac {c} {\ sqrt {2}}}.}$

Allgemeine kartesische Form

Im kartesischen Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen immer ein Kegelschnitt (obwohl er entartet sein kann ^[11] ), und alle Kegelschnitte entstehen auf diese Weise. Die allgemeinste Gleichung hat die Form ^[12]

${\ displaystyle Axe ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}$

mit allen Koeffizienten reelle Zahlen und A, B, C nicht alle Null.

Matrixnotation

Die obige Gleichung kann in Matrixnotation als ^{[13] geschrieben werden.}

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} D & E \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + F = 0.}$

Die allgemeine Gleichung kann auch wie folgt geschrieben werden

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F. \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 1 \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

Diese Form ist eine Spezialisierung der homogenen Form, die in der allgemeineren Einstellung der projektiven Geometrie verwendet wird (siehe unten ).

Diskriminant

Die durch diese Gleichung beschriebenen Kegelschnitte können hinsichtlich des Wertes klassifiziert werden ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC}$, genannt die Diskriminante der Gleichung. ^[14] Somit ist die Diskriminante - 4Δ wobei Δ die ist Matrixdeterminante ${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right |.}$

Wenn der Kegel nicht entartet ist , dann: ^[15]

• wenn B ² - 4 AC <0 ist , repräsentiert die Gleichung eine Ellipse ;
  • Wenn A = C und B = 0 , stellt die Gleichung einen Kreis dar , der ein Sonderfall einer Ellipse ist.
• wenn B ² - 4 AC = 0 ist , stellt die Gleichung eine Parabel dar ;
• wenn B ² - 4 AC > 0 ist , repräsentiert die Gleichung eine Hyperbel ;
  • Wenn A + C = 0 ist , repräsentiert die Gleichung eine rechteckige Hyperbel .

In der hier verwendeten Notation sind A und B Polynomkoeffizienten, im Gegensatz zu einigen Quellen, die die Semimajor- und Semiminorachse als A und B bezeichnen .

Invarianten

Die Diskriminante B ² - 4 AC des quadratischen Gleichung des Kegelschnitts (oder äquivalent der Determinante AC - B ² /4 der 2 × 2 - Matrix) , und die Menge A + C (die Spur der 2 × 2 - Matrix) sind invariant beliebige Rotationen und Verschiebungen der Koordinatenachsen, ^{[15] [16] [17]} wie die Determinante der obigen 3 × 3-Matrix . ^{[18] : S. 60–62} Der konstante Term F und die Summe D ² + E ² sind nur unter Rotation invariant. ^{[18] : S. 60–62}

Exzentrizität in Bezug auf Koeffizienten

Wenn der Kegelschnitt algebraisch geschrieben ist als

${\ displaystyle Axe ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0, \,}$

Die Exzentrizität kann als Funktion der Koeffizienten der quadratischen Gleichung geschrieben werden. ^[19] Wenn 4 AC = B ^{2 ist, ist} der Kegel eine Parabel und seine Exzentrizität ist gleich 1 (vorausgesetzt, er ist nicht entartet). Andernfalls ist die Exzentrizität unter der Annahme gegeben, dass die Gleichung entweder eine nicht entartete Hyperbel oder eine Ellipse darstellt

${\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}},}$

wobei η = 1 ist, wenn die Determinante der obigen 3 × 3-Matrix negativ ist, und η = –1, wenn diese Determinante positiv ist.

Es kann auch gezeigt werden ^{[18] : p. 89} dass die Exzentrizität eine positive Lösung der Gleichung ist

${\ displaystyle \ Delta e ^ {4} + [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] e ^ {2} - [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] = 0, }}$

wo wieder ${\ displaystyle \ Delta = AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}}.}$ Dies hat genau eine positive Lösung - die Exzentrizität - im Fall einer Parabel oder Ellipse, während es im Fall einer Hyperbel zwei positive Lösungen gibt, von denen eine die Exzentrizität ist.

Umwandlung in kanonische Form

Im Falle einer Ellipse oder Hyperbel ist die Gleichung

${\ displaystyle Axe ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 \,}$

kann in transformierten Variablen in kanonische Form konvertiert werden ${\ displaystyle x ', y'}$als ^[20]

${\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2})}} + {\ frac {y' ^ {2}} {-S / (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} ^ {2})}} = 1,}$

oder gleichwertig

${\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} \ Delta)}} + {\ frac {y' ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {2} \ Delta)}} = 1,}$

wo ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ und ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$sind die Eigenwerte der Matrix${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right)}$ - das heißt, die Lösungen der Gleichung

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} - (A + C) \ lambda + (AC- (B / 2) ^ {2}) = 0}$

- und ${\ displaystyle S}$ist die Determinante der obigen 3 × 3-Matrix und${\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$ist wieder die Determinante der 2 × 2-Matrix. Bei einer Ellipse sind die Quadrate der beiden Halbachsen durch die Nenner in kanonischer Form gegeben.

Polar Koordinaten

Entwicklung des Kegelschnitts mit zunehmender Exzentrizität e

In Polarkoordinaten wird durch die Gleichung ein Kegelschnitt mit einem Fokus am Ursprung und gegebenenfalls einem anderen mit einem negativen Wert (für eine Ellipse) oder einem positiven Wert (für eine Hyperbel) auf der x- Achse angegeben

${\ displaystyle r = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}},}$

Dabei ist e die Exzentrizität und l das Semi-Latus-Rektum.

Wie oben ist der Graph für e = 0 ein Kreis, für 0 < e <1 ist der Graph eine Ellipse, für e = 1 eine Parabel und für e > 1 eine Hyperbel.

Die polare Form der Gleichung eines Kegels wird häufig in der Dynamik verwendet ; Zum Beispiel das Bestimmen der Umlaufbahnen von Objekten, die sich um die Sonne drehen. ^[21]

Eigenschaften

So wie zwei (unterschiedliche) Punkte eine Linie bestimmen, bestimmen fünf Punkte einen Kegel . Wenn fünf Punkte in der Ebene in allgemeiner linearer Position , dh keine drei kollinearen , vorliegen , verläuft formal ein eindeutiger Kegel durch sie, der nicht entartet ist. Dies gilt sowohl für die euklidische Ebene als auch für ihre Ausdehnung, die reale projektive Ebene. Bei fünf Punkten verläuft zwar ein Kegel durch sie hindurch, aber wenn drei der Punkte kollinear sind, ist der Kegel entartet (reduzierbar, weil er eine Linie enthält) und möglicherweise nicht eindeutig. siehe weitere Diskussion .

Vier Punkte in der Ebene in allgemeiner linearer Position bestimmen einen eindeutigen Kegel, der durch die ersten drei Punkte verläuft und dessen Mittelpunkt der vierte Punkt ist. Die Kenntnis des Zentrums entspricht also der Kenntnis von zwei Punkten auf dem Kegel zur Bestimmung der Kurve. ^[22]

Darüber hinaus wird ein Kegel durch eine beliebige Kombination von k Punkten in der allgemeinen Position, durch die er verläuft, und 5 - k Linien, die ihn tangieren, für 0 ≤ k ≤ 5 bestimmt. ^[23]

Jeder Punkt in der Ebene liegt entweder auf Null, einer oder zwei Tangentenlinien eines Kegels. Ein Punkt auf nur einer Tangentenlinie befindet sich auf dem Kegel. Ein Punkt auf keiner Tangentenlinie wird als innerer Punkt (oder innerer Punkt ) des Kegels bezeichnet, während ein Punkt auf zwei Tangentenlinien ein äußerer Punkt (oder äußerer Punkt ) ist.

Alle konischen Abschnitte haben eine Reflexionseigenschaft , die wie folgt angegeben werden kann: Alle Spiegel in Form eines nicht entarteten konischen Abschnitts reflektieren Licht, das von einem Fokus auf den anderen Fokus zu oder von diesem weg kommt. Bei der Parabel muss der zweite Fokus als unendlich weit entfernt betrachtet werden, damit die Lichtstrahlen, die zum zweiten Fokus gehen oder von diesem kommen, parallel sind. ^{[24] [25]}

Pascals Theorem betrifft die Kollinearität von drei Punkten, die aus einer Menge von sechs Punkten auf einem nicht entarteten Kegel konstruiert werden. Der Satz gilt auch für entartete Kegel, die aus zwei Linien bestehen, aber in diesem Fall ist er als Pappus-Satz bekannt .

Nicht entartete Kegelschnitte sind immer " glatt ". Dies ist wichtig für viele Anwendungen, wie z. B. die Aerodynamik, bei denen eine glatte Oberfläche erforderlich ist, um eine laminare Strömung sicherzustellen und Turbulenzen zu verhindern .

Menaechmus und frühe Werke

Es wird angenommen, dass die erste Definition eines Kegelschnitts von Menaechmus (gestorben 320 v. Chr.) Als Teil seiner Lösung des Delian-Problems ( Duplizieren des Würfels ) gegeben wurde. ^{[26] [27]} Seine Arbeit überlebte nicht, nicht einmal die Namen, die er für diese Kurven verwendete, und ist nur durch sekundäre Berichte bekannt. ^[28] Die damals verwendete Definition unterscheidet sich von der heute gebräuchlichen. Kegel wurden konstruiert, indem ein rechtwinkliges Dreieck um eines seiner Beine gedreht wurde, so dass die Hypotenuse die Oberfläche des Kegels erzeugt (eine solche Linie wird als Generatrix bezeichnet ). Drei Arten von Zapfen wurden durch ihre Scheitelwinkel bestimmt (gemessen durch den doppelten Winkel, den die Hypotenuse und das im rechten Dreieck gedrehte Bein bilden). Der Kegelschnitt wurde dann bestimmt, indem einer dieser Kegel mit einer Ebene geschnitten wurde, die senkrecht zu einer Generatrix gezeichnet war. Die Art des Kegels wird durch die Art des Kegels bestimmt, dh durch den Winkel, der am Scheitelpunkt des Kegels gebildet wird: Wenn der Winkel spitz ist, ist der Kegel eine Ellipse; Wenn der Winkel stimmt, ist der Kegel eine Parabel. und wenn der Winkel stumpf ist, ist der Kegel eine Hyperbel (aber nur ein Zweig der Kurve). ^[29]

Euklid (fl. 300 v. Chr.) Soll vier Bücher über Kegel geschrieben haben, aber auch diese gingen verloren. ^{[30] Es} ist bekannt, dass Archimedes (gestorben um 212 v. Chr.) Kegel studiert hat, nachdem er den Bereich bestimmt hat, der durch eine Parabel und einen Akkord in Quadratur der Parabel begrenzt ist . Sein Hauptinteresse galt der Messung von Flächen und Volumen von Figuren im Zusammenhang mit Kegeln. Ein Teil dieser Arbeit ist in seinem Buch über die Festkörper der Revolution von Kegeln, Über Konoide und Sphäroide erhalten . ^[31]

Apollonius von Perga

Diagramm aus Apollonius ' Conics in arabischer Übersetzung aus dem 9. Jahrhundert

Der größte Fortschritt bei der Erforschung von Kegeln durch die alten Griechen ist Apollonius von Perga (gestorben um 190 v. Chr.) Zu verdanken , dessen achtbändige Kegelschnitte oder Kegel das vorhandene Wissen zusammenfassten und stark erweiterten. ^[32] Apollonius 'Untersuchung der Eigenschaften dieser Kurven ermöglichte es zu zeigen, dass jede Ebene, die einen festen Doppelkegel (zwei Noppen) schneidet, unabhängig von ihrem Winkel einen Kegel gemäß der früheren Definition erzeugt, was zu der üblicherweise verwendeten Definition führt heute. Auf diese Weise sind auch Kreise erhältlich, die mit dem früheren Verfahren nicht konstruierbar sind. Dies mag erklären, warum Apollonius Kreise als eine vierte Art von Kegelschnitt betrachtete, eine Unterscheidung, die nicht mehr getroffen wird. Apollonius verwendete für diese Kurven die Namen Ellipse , Parabel und Hyperbel und übernahm dabei die Terminologie früherer pythagoreischer Arbeiten an Gebieten. ^[33]

Pappus von Alexandria (gestorben um 350 n. Chr.) Wird die Bedeutung des Konzepts des Fokus eines Kegels dargelegt und das verwandte Konzept einer Directrix , einschließlich des Falles der Parabel (die in Apollonius 'bekannten Werken fehlt) , detailliert beschrieben . ^[34]

Al-Kuhi

Ein Instrument zum Zeichnen von Kegelschnitten wurde erstmals 1000 n. Chr. Vom islamischen Mathematiker Al-Kuhi beschrieben . ^{[35] : 30 [36]}

Omar Khayyám

Apollonius 'Werk wurde ins Arabische übersetzt, und ein Großteil seiner Arbeit ist nur durch die arabische Version erhalten. Perser fanden Anwendungen der Theorie, insbesondere der persische ^[37] Mathematiker und Dichter Omar Khayyám , der eine geometrische Methode zur Lösung kubischer Gleichungen unter Verwendung von Kegelschnitten fand. ^{[38] [39]}

Europa

Johannes Kepler erweiterte die Theorie der Kegel durch das " Prinzip der Kontinuität ", einen Vorläufer des Begriffs der Grenzen. Kepler verwendete den Begriff Foci erstmals 1604. ^[40]

Girard Desargues und Blaise Pascal entwickelten eine Kegeltheorie unter Verwendung einer frühen Form der projektiven Geometrie , die Impulse für die Erforschung dieses neuen Feldes gab. Insbesondere entdeckte Pascal einen Satz, der als Hexagrammum mysticum bekannt ist und aus dem viele andere Eigenschaften von Kegeln abgeleitet werden können.

René Descartes und Pierre Fermat wandten beide ihre neu entdeckte analytische Geometrie auf das Studium von Kegeln an. Dies hatte zur Folge, dass die geometrischen Probleme von Kegeln auf Probleme in der Algebra reduziert wurden. Es war jedoch John Wallis in seiner Abhandlung Tractatus de sectionibus conicis von 1655, der die Kegelschnitte zuerst als Beispiele für Gleichungen zweiten Grades definierte. ^[41] Die schriftlichen früher, aber später veröffentlichte Jan de Witt ‚s Elementa Curvarum linearum beginnt mit Keplers kinematischen Aufbau der conics und entwickelt dann die algebraischen Gleichungen. Diese Arbeit, die Fermats Methodik und Descartes 'Notation verwendet, wurde als erstes Lehrbuch zu diesem Thema beschrieben. ^[42] De Witt erfand den Begriff Directrix . ^[42]

Die Paraboloidform von Archäozyathiden erzeugt konische Abschnitte auf Felswänden

Kegelschnitte sind in der Astronomie wichtig : Die Umlaufbahnen zweier massiver Objekte, die nach dem Newtonschen Gesetz der universellen Gravitation interagieren, sind Kegelschnitte, wenn ihr gemeinsamer Massenschwerpunkt als ruhend angesehen wird. Wenn sie miteinander verbunden sind, werden beide Ellipsen aufspüren. Wenn sie sich auseinander bewegen, folgen sie beide Parabeln oder Hyperbeln. Siehe Zwei-Körper-Problem .

Die Reflexionseigenschaften der Kegelschnitte werden bei der Konstruktion von Suchscheinwerfern, Radioteleskopen und einigen optischen Teleskopen verwendet. ^[43] Ein Suchscheinwerfer verwendet einen Parabolspiegel als Reflektor, wobei eine Glühbirne im Fokus steht. und eine ähnliche Konstruktion wird für ein Parabolmikrofon verwendet . Das optische 4,2-Meter- Herschel-Teleskop auf La Palma auf den Kanarischen Inseln reflektiert mithilfe eines primären Parabolspiegels das Licht in Richtung eines sekundären hyperbolischen Spiegels, der es erneut zu einem Fokus hinter dem ersten Spiegel reflektiert.

Die Kegelschnitte haben in der euklidischen Ebene einige sehr ähnliche Eigenschaften, und die Gründe dafür werden klarer, wenn die Kegel aus der Perspektive einer größeren Geometrie betrachtet werden. Die euklidische Ebene kann in die reale Projektionsebene eingebettet sein, und die Kegel können als Objekte in dieser Projektionsgeometrie betrachtet werden. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, homogene Koordinaten einzuführen und einen Kegel als die Menge von Punkten zu definieren, deren Koordinaten eine irreduzible quadratische Gleichung in drei Variablen (oder äquivalent die Nullen einer irreduziblen quadratischen Form ) erfüllen . Technisch gesehen wird die Menge von Punkten, die Nullen einer quadratischen Form sind (in einer beliebigen Anzahl von Variablen), als Quadrik bezeichnet , und die irreduziblen Quadriken in einem zweidimensionalen projektiven Raum (dh mit drei Variablen) werden traditionell als Kegel bezeichnet.

Die euklidische Ebene R ² wird in die reale Projektionsebene eingebettet, indem sie an eine Linie im Unendlichen (und ihre entsprechenden Punkte im Unendlichen ) angrenzt, so dass sich alle Linien einer parallelen Klasse auf dieser Linie treffen. Andererseits wird ausgehend von der realen Projektionsebene eine euklidische Ebene erhalten, indem eine Linie als die Linie im Unendlichen unterschieden und sie und alle ihre Punkte entfernt werden.

Schnittpunkt im Unendlichen

In einem projektiven Raum über einen beliebigen Teilungsring, insbesondere aber über die reellen oder komplexen Zahlen, sind alle nicht entarteten Kegel äquivalent, und daher spricht man in der projektiven Geometrie einfach von "einem Kegel", ohne einen Typ anzugeben. Das heißt, es gibt eine projektive Transformation, die jeden nicht entarteten Kegel einem anderen nicht entarteten Kegel zuordnet. ^[44]

Die drei Arten von Kegelschnitten erscheinen wieder in der affinen Ebene, die durch Auswahl einer Linie des Projektionsraums als Linie im Unendlichen erhalten wird. Die drei Typen werden dann dadurch bestimmt, wie diese Linie im Unendlichen den Kegel im projektiven Raum schneidet. Im entsprechenden affinen Raum erhält man eine Ellipse, wenn der Kegel die Linie im Unendlichen nicht schneidet, eine Parabel, wenn der Kegel die Linie im Unendlichen in einem der Achse entsprechenden Doppelpunkt schneidet, und eine Hyperbel, wenn der Kegel die Linie im Unendlichen schneidet unendlich in zwei Punkten entsprechend den Asymptoten. ^[45]

Homogene Koordinaten

In homogenen Koordinaten kann ein Kegelschnitt dargestellt werden als:

${\ displaystyle Axe ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.}$

Oder in Matrix - Notation

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F. \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

Die obige 3 × 3-Matrix wird als Matrix des Kegelschnitts bezeichnet .

Einige Autoren ziehen es vor, die allgemeine homogene Gleichung als zu schreiben

${\ displaystyle Axe ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + 2Dxz + 2Eyz + Fz ^ {2} = 0,}$

(oder eine Variation davon), so dass die Matrix des Kegelschnitts die einfachere Form hat,

${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {matrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \ end {matrix}} \ right),}$

Diese Notation wird in diesem Artikel jedoch nicht verwendet. ^[46]

Wenn die Determinante der Matrix des Kegelschnitts Null ist, ist der Kegelschnitt entartet .

Da das Multiplizieren aller sechs Koeffizienten mit demselben Skalar ungleich Null eine Gleichung mit demselben Satz von Nullen ergibt, kann man Kegel, dargestellt durch ( A , B , C , D , E , F ), als Punkte im fünfdimensionalen Projektiv betrachten Platz ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}$

Projektive Definition eines Kreises

Metrische Konzepte der euklidischen Geometrie (Konzepte zur Messung von Längen und Winkeln) können nicht sofort auf die reale Projektionsebene erweitert werden. ^[47] Sie müssen in dieser neuen Geometrie neu definiert (und verallgemeinert) werden. Dies kann für beliebige projektive Ebenen durchgeführt werden. Um jedoch die reale projektive Ebene als erweiterte euklidische Ebene zu erhalten, müssen einige spezifische Entscheidungen getroffen werden. ^[48]

Fixieren Sie eine beliebige Linie in einer Projektionsebene, die als absolute Linie bezeichnet werden soll . Wählen Sie zwei unterschiedliche Punkte auf der absoluten Linie aus und bezeichnen Sie sie als absolute Punkte . In Bezug auf diese Auswahlmöglichkeiten können mehrere metrische Konzepte definiert werden. Beispielsweise ist bei einer Linie, die die Punkte A und B enthält , der Mittelpunkt des Liniensegments AB als der Punkt C definiert, der das projektive harmonische Konjugat des Schnittpunkts von AB und der absoluten Linie in Bezug auf A und B ist .

Ein Kegel in einer projektiven Ebene, der die beiden absoluten Punkte enthält, wird als Kreis bezeichnet . Da fünf Punkte einen Kegel bestimmen, wird ein Kreis (der entartet sein kann) durch drei Punkte bestimmt. Um die erweiterte euklidische Ebene zu erhalten, wird die absolute Linie als Linie im Unendlichen der euklidischen Ebene gewählt, und die absoluten Punkte sind zwei spezielle Punkte auf dieser Linie, die als Kreispunkte im Unendlichen bezeichnet werden . Linien, die zwei Punkte mit reellen Koordinaten enthalten, verlaufen nicht durch die kreisförmigen Punkte im Unendlichen. In der euklidischen Ebene wird ein Kreis unter dieser Definition durch drei Punkte bestimmt, die nicht kollinear sind . ^{[49] : 72}

Es wurde erwähnt, dass Kreise in der euklidischen Ebene nicht durch die Eigenschaft focus-directrix definiert werden können. Wenn man jedoch die Linie im Unendlichen als Directrix betrachtet, hat ein Kreis , wenn man die Exzentrizität als e = 0 annimmt, die Eigenschaft focus-directrix, die jedoch immer noch nicht durch diese Eigenschaft definiert ist. ^[50] In dieser Situation muss man vorsichtig sein, um die Definition der Exzentrizität als Verhältnis der Entfernung eines Punktes auf dem Kreis zum Fokus (Länge eines Radius) zur Entfernung dieses Punktes zur Geraden (dieser Entfernung) korrekt zu verwenden ist unendlich), was den Grenzwert Null ergibt.

Steiners projektive konische Definition

Definition der Steiner-Generation eines Kegelschnitts

Ein synthetischer (koordinatenfreier) Ansatz zur Definition der Kegelschnitte in einer Projektionsebene wurde 1867 von Jakob Steiner gegeben .

• Gegeben zwei Stifte ${\ Anzeigestil B (U), B (V)}$ von Linien an zwei Punkten ${\ displaystyle U, V}$ (alle Zeilen enthalten ${\ displaystyle U}$ und ${\ displaystyle V}$resp.) und eine projektive, aber keine perspektivische Abbildung${\ displaystyle \ pi}$ von ${\ displaystyle B (U)}$ auf zu ${\ displaystyle B (V)}$. Dann bilden die Schnittpunkte der entsprechenden Linien einen nicht entarteten projektiven Kegelschnitt. ^{[51] [52] [53] [54]}

Eine perspektivische Abbildung${\ displaystyle \ pi}$ eines Bleistifts ${\ displaystyle B (U)}$ auf einen Bleistift ${\ displaystyle B (V)}$ist eine Bijektion (1-1 Korrespondenz), so dass sich entsprechende Linien auf einer festen Linie schneiden${\ displaystyle a}$, die als Achse der Perspektive bezeichnet wird${\ displaystyle \ pi}$.

Ein projektives Mapping ist eine endliche Folge von perspektivischen Mappings.

Da eine projektive Abbildung in einer projektiven Ebene über einem Feld ( Pappian-Ebene ) eindeutig bestimmt wird, indem die Bilder von drei Linien ^[55] für die Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts neben zwei Punkten vorgeschrieben werden${\ displaystyle U, V}$Es müssen nur die Bilder von 3 Zeilen angegeben werden. Diese 5 Elemente (2 Punkte, 3 Linien) bestimmen eindeutig den Kegelschnitt.

Linienkegel

Nach dem Prinzip der Dualität in einer projektiven Ebene ist das Dual jedes Punktes eine Linie, und das Dual eines Punktorts (eine Menge von Punkten, die eine bestimmte Bedingung erfüllen) wird als Linienhüllkurve bezeichnet. Verwendung Steiner Definition eines Kegels (dieser Ort von Punkten wird nun als A bezeichnet wird Punkt konischer ) als Treffen von Strahlen aus zwei verwandten Bleistifte entsprechen, ist es einfach , den entsprechenden Umschlag dualisieren und zu erhalten, der aus dem schließt sich an entsprechenden Punkten zwei verwandte Bereiche (Punkte auf einer Linie) auf verschiedenen Basen (die Linien, auf denen sich die Punkte befinden). Eine solche Hüllkurve wird als Linienkegel (oder Doppelkegel ) bezeichnet.

In der realen Projektionsebene hat ein Punktkegel die Eigenschaft, dass jede Linie auf zwei Punkte trifft (die zusammenfallen oder komplex sein können), und jede Menge von Punkten mit dieser Eigenschaft ist ein Punktkegel. Es folgt zweifach, dass ein Linienkegel zwei seiner Linien durch jeden Punkt hat und jede Linienhüllkurve mit dieser Eigenschaft ein Linienkegel ist. An jedem Punkt eines Punktkegels gibt es eine eindeutige Tangentenlinie, und auf jeder Linie eines Linienkegels gibt es einen eindeutigen Punkt, der als Kontaktpunkt bezeichnet wird . Ein wichtiger Satz besagt, dass die Tangentenlinien eines Punktkegels einen Linienkegel bilden und die Kontaktpunkte eines Linienkegels zweifach einen Punktkegel bilden. ^{[56] : 48–49}

Von Staudts Definition

Karl Georg Christian von Staudt definierte einen Kegel als den Punkt, der durch alle absoluten Punkte einer Polarität gegeben ist , die absolute Punkte hat. Von Staudt führte diese Definition in Geometrie der Lage (1847) ein, um alle metrischen Konzepte aus der projektiven Geometrie zu entfernen.

Eine Polarität , π , einer projektiven Ebene P ist ein involutorischen (dh der Ordnung zwei) Bijektion zwischen den Punkten und den Linien P , dass bewahrt die Inzidenz Beziehung . Somit bezieht eine Polarität einen Punkt Q mit einer Linie q und nach Gergonne wird q als Polar von Q und Q als Pol von q bezeichnet . ^[57] Ein absoluter Punkt ( Linie ) einer Polarität ist einer, der mit seiner Polarität (Pol) einfällt. ^[58]

Ein von Staudt-Kegel in der realen Projektionsebene entspricht einem Steiner-Kegel . ^[59]

Konstruktionen

Mit Lineal und Kompass kann kein durchgehender Kegelbogen konstruiert werden. Es gibt jedoch mehrere Lineal- und Kompasskonstruktionen für eine beliebige Anzahl einzelner Punkte auf einem Bogen.

Eine davon basiert auf der Umkehrung des Satzes von Pascal: Wenn die Schnittpunkte der gegenüberliegenden Seiten eines Sechsecks kollinear sind, liegen die sechs Eckpunkte auf einem Kegel. Insbesondere kann bei fünf Punkten A , B , C , D , E und einer durch E verlaufenden Linie , beispielsweise EG , ein Punkt F konstruiert werden, der auf dieser Linie liegt und auf dem durch die fünf Punkte bestimmten Kegel liegt. Lassen AB treffen DE in L , BC treffen EG in M und lassen Sie CD treffen LM bei N . Dann AN trifft EG an der gewünschten Stelle F . ^{[60] : 52–53} Durch Variation der Linie durch E können beliebig viele zusätzliche Punkte auf dem Kegel konstruiert werden.

Parallelogrammmethode zum Erstellen einer Ellipse

Eine andere Methode, die auf Steiners Konstruktion basiert und in technischen Anwendungen nützlich ist, ist die Parallelogrammmethode , bei der ein Kegel Punkt für Punkt konstruiert wird, indem bestimmte Punkte mit gleichem Abstand auf einer horizontalen Linie und einer vertikalen Linie verbunden werden. ^[61] Insbesondere, um die Ellipse mit Gleichung zu konstruierenx ²/.a ² + y ²/.b ²= 1 , konstruiere zuerst das Rechteck ABCD mit den Eckpunkten A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (- a , 2 b ) und D (- a , 0) . Teilen Sie die Seite BC in n gleiche Segmente und verwenden Sie eine parallele Projektion in Bezug auf die Diagonale AC , um gleiche Segmente auf der Seite AB zu bilden (die Längen dieser Segmente sindb/.einmal die Länge der Segmente auf BC ). Auf der Seite BC - Label auf den linken Endpunkte der Segmente mit A ₁ bis A _n an Ausgang B und gehen in Richtung C . Auf der Seite AB kennzeichnen die oberen Endpunkte D ₁ bis D _n beginnend bei A und geht in Richtung B . Die Schnittpunkte AA _i ∩ DD _i für 1 ≤ i ≤ n sind Punkte der Ellipse zwischen A und P (0, b ) . Die Beschriftung ordnet die Linien des Bleistifts durch A projektiv, aber nicht perspektivisch den Linien des Bleistifts durch D zu . Der gesuchte Kegel wird durch diese Konstruktion erhalten, da drei Punkte A , D und P und zwei Tangenten (die vertikalen Linien bei A und D ) den Kegel eindeutig bestimmen. Wenn anstelle der Haupt- und Nebenachse der Ellipse ein anderer Durchmesser (und sein konjugierter Durchmesser) verwendet wird, wird in der Konstruktion ein Parallelogramm verwendet, das kein Rechteck ist und den Namen der Methode angibt. Die Zuordnung der Linien der Stifte kann erweitert werden, um andere Punkte auf der Ellipse zu erhalten. Die Konstruktionen für Hyperbeln ^[62] und Parabeln ^[63] sind ähnlich.

Eine weitere allgemeine Methode verwendet die Polaritätseigenschaft, um die Tangentenhüllkurve eines Kegels (eines Linienkegels) zu konstruieren. ^[64]

In der komplexen Ebene C ² unterscheiden sich Ellipsen und Hyperbeln nicht: Man kann eine Hyperbel als Ellipse mit einer imaginären Achsenlänge betrachten. Zum Beispiel die Ellipse${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ wird eine Hyperbel unter der Substitution ${\ displaystyle y = iw,}$ geometrisch eine komplexe Rotation, die nachgibt ${\ displaystyle x ^ {2} -w ^ {2} = 1}$. Somit gibt es eine 2-Wege-Klassifizierung: Ellipse / Hyperbel und Parabel. Wenn man die Kurven auf die komplexe Projektionsebene ausdehnt, entspricht dies dem Schneiden der Linie im Unendlichen in entweder 2 verschiedenen Punkten (entsprechend zwei Asymptoten) oder in 1 Doppelpunkt (entsprechend der Achse einer Parabel); Somit ist die reale Hyperbel ein suggestiveres reales Bild für die komplexe Ellipse / Hyperbel, da sie auch 2 (reale) Schnittpunkte mit der Linie im Unendlichen aufweist.

Eine weitere Vereinheitlichung findet in der komplexen Projektionsebene CP ^{2 statt} : Die nicht entarteten Kegel können nicht voneinander unterschieden werden, da sie durch eine projektive lineare Transformation zueinander gebracht werden können .

Es kann nachgewiesen werden, dass in CP ² zwei Kegelschnitte vier Punkte gemeinsam haben (wenn einer die Multiplizität berücksichtigt ), sodass zwischen 1 und 4 Schnittpunkte liegen . Die Schnittmöglichkeiten sind: vier verschiedene Punkte, zwei Singularpunkte und ein Doppelpunkt, zwei Doppelpunkte, ein Singularpunkt und einer mit Multiplizität 3, ein Punkt mit Multiplizität 4. Wenn ein Schnittpunkt eine Multiplizität> 1 hat, werden die beiden Kurven gesagt sein Tangens . Wenn es einen Schnittpunkt mit einer Multiplizität von mindestens 3 gibt, werden die beiden Kurven als oszillierend bezeichnet . Wenn es nur einen Schnittpunkt gibt, der die Multiplizität 4 hat, werden die beiden Kurven als Superoskulation bezeichnet . ^[65]

Darüber hinaus schneidet jede gerade Linie jeden Kegelabschnitt zweimal. Wenn der Schnittpunkt doppelt ist, ist die Linie eine Tangentenlinie . Jeder Kegelabschnitt schneidet sich mit der Linie im Unendlichen und hat zwei Punkte im Unendlichen. Wenn diese Punkte real sind, ist die Kurve eine Hyperbel ; Wenn es sich um imaginäre Konjugate handelt, handelt es sich um eine Ellipse . Wenn es nur einen Doppelpunkt gibt, handelt es sich um eine Parabel . Wenn die Punkte im Unendlichen die zyklischen Punkte (1, i , 0) und (1, - i , 0) sind , ist der Kegelschnitt ein Kreis . Wenn die Koeffizienten eines Kegelschnitts reell sind, sind die Punkte im Unendlichen entweder reell oder komplex konjugiert .

Was als entarteter Fall eines Kegels betrachtet werden sollte, hängt von der verwendeten Definition und der geometrischen Einstellung für den Kegelschnitt ab. Es gibt einige Autoren, die einen Kegel als zweidimensionales nicht entartetes Quadrat definieren. Mit dieser Terminologie gibt es keine entarteten Kegel (nur entartete Quadriken), aber wir werden die traditionellere Terminologie verwenden und diese Definition vermeiden.

In der euklidischen Ebene tritt unter Verwendung der geometrischen Definition ein entarteter Fall auf, wenn die Schnittebene durch die Spitze des Kegels verläuft. Der entartete Kegel ist entweder: ein Punkt , an dem die Ebene den Kegel nur an der Spitze schneidet; eine gerade Linie , wenn die Ebene den Kegel tangiert (sie enthält genau einen Generator des Kegels); oder ein Paar sich schneidender Linien (zwei Generatoren des Kegels). ^[66] Diese entsprechen jeweils den Grenzformen einer Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Wenn ein Kegel in der euklidischen Ebene durch die Nullen einer quadratischen Gleichung (dh als Quadrizität) definiert wird, sind die entarteten Kegel: Die leere Menge , ein Punkt oder ein Paar von Linien, die parallel sein können, schneiden sich an einem Punkt oder zusammenfallen. Der leere Fall kann entweder einem Paar komplexer konjugierter paralleler Linien entsprechen, wie beispielsweise mit der Gleichung${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0,}$oder zu einer imaginären Ellipse , wie mit der Gleichung${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 1 = 0.}$Eine imaginäre Ellipse erfüllt nicht die allgemeine Definition einer Entartung und wird daher normalerweise nicht als entartet angesehen. ^[67] Der Fall zweier Linien tritt auf, wenn der quadratische Ausdruck in zwei lineare Faktoren zerlegt wird, wobei die Nullen jeweils eine Linie ergeben. In dem Fall, dass die Faktoren gleich sind, fallen die entsprechenden Linien zusammen und wir bezeichnen die Linie als Doppellinie (eine Linie mit der Multiplizität 2). Dies ist der vorherige Fall einer tangentialen Schnittebene.

In der realen Projektionsebene kann der Fall der parallelen Linie der euklidischen Ebene als Schnittlinie angesehen werden, da sich parallele Linien an einem Punkt auf der Linie im Unendlichen treffen. Da der Schnittpunkt jedoch die Spitze des Kegels ist, degeneriert der Kegel selbst zu einem Zylinder , dh mit der Spitze im Unendlichen. Andere Abschnitte werden in diesem Fall als zylindrische Abschnitte bezeichnet . ^[68] Die nicht entarteten zylindrischen Abschnitte sind Ellipsen (oder Kreise).

Aus der Perspektive der komplexen Projektionsebene betrachtet, können die entarteten Fälle einer reellen Quadrik (dh die quadratische Gleichung hat reelle Koeffizienten) alle als ein Linienpaar betrachtet werden, das möglicherweise zusammenfällt. Die leere Menge kann die Linie im Unendlichen sein, die als Doppellinie betrachtet wird. Ein (realer) Punkt ist der Schnittpunkt zweier komplexer konjugierter Linien und der anderen Fälle, wie zuvor erwähnt.

Um die entarteten Fälle von den nicht entarteten Fällen (einschließlich der leeren Menge mit letzterer) unter Verwendung der Matrixnotation zu unterscheiden, sei β die Determinante der 3 × 3-Matrix des Kegelschnitts, dh β = ( AC - B ²/.4) F + BETT - CD ² - AE ²/.4;; und sei α = B ² - 4 AC die Diskriminante. Dann ist der Kegelschnitt genau dann nicht entartet, wenn β ≠ 0 ist . Wenn β = 0 ist , haben wir einen Punkt, wenn α <0 ist , zwei parallele Linien (möglicherweise zusammenfallend), wenn α = 0 ist , oder zwei Schnittlinien, wenn α > 0 ist . ^[69]

Ein (nicht entarteter) Kegel wird vollständig durch fünf Punkte in der allgemeinen Position (keine drei kollinearen ) in einer Ebene bestimmt, und das System von Kegeln, die durch einen festen Satz von vier Punkten (wiederum in einer Ebene und keine drei kollinear) verlaufen, wird aufgerufen ein Bleistift aus Kegeln . ^{[70] : 64} Die vier gemeinsamen Punkte werden als Basispunkte des Bleistifts bezeichnet. Durch einen anderen Punkt als einen Basispunkt verläuft ein einzelner Kegel des Bleistifts. Dieses Konzept verallgemeinert einen Kreis von Kreisen . ^{[71] : 127}

Die Lösungen für ein System von zwei Gleichungen zweiten Grades in zwei Variablen können als Koordinaten der Schnittpunkte zweier generischer Kegelschnitte angesehen werden. Insbesondere können zwei Kegel keine, zwei oder vier möglicherweise zusammenfallende Schnittpunkte besitzen. Ein effizientes Verfahren zum Lokalisieren dieser Lösungen nutzt die homogene Matrixdarstellung von Kegelschnitten , dh eine symmetrische 3 × 3- Matrix, die von sechs Parametern abhängt.

Das Verfahren zum Lokalisieren der Schnittpunkte folgt diesen Schritten, wobei die Kegel durch Matrizen dargestellt werden: ^[72]

• angesichts der beiden Kegel ${\ displaystyle C_ {1}}$ und ${\ displaystyle C_ {2}}$Betrachten Sie den Kegelstift, der durch ihre lineare Kombination gegeben ist ${\ displaystyle \ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}.}$
• Identifizieren Sie die homogenen Parameter ${\ displaystyle (\ lambda, \ mu)}$die dem entarteten Kegel des Bleistifts entsprechen. Dies kann erreicht werden, indem die Bedingung auferlegt wird, dass${\ displaystyle \ det (\ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}) = 0}$ und lösen für ${\ displaystyle \ lambda}$ und ${\ displaystyle \ mu}$. Dies sind die Lösungen einer Gleichung dritten Grades.
• angesichts des entarteten Kegels ${\ displaystyle C_ {0}}$, identifizieren Sie die zwei, möglicherweise zusammenfallenden Linien, aus denen es besteht.
• schneide jede identifizierte Linie mit einem der beiden ursprünglichen Kegel; Dieser Schritt kann effizient unter Verwendung der dualen konischen Darstellung von durchgeführt werden${\ displaystyle C_ {0}}$
• Die Schnittpunkte repräsentieren die Lösungen für das anfängliche Gleichungssystem.

Kegel können über anderen Feldern definiert werden ( dh in anderen pappianischen Geometrien ). Es ist jedoch Vorsicht geboten, wenn das Feld die Eigenschaft 2 aufweist, da einige Formeln nicht verwendet werden können. Beispielsweise erfordern die oben verwendeten Matrixdarstellungen eine Division durch 2.

Eine Verallgemeinerung eines nicht entarteten Kegels in einer projektiven Ebene ist ein Oval . Ein Oval ist eine Punktmenge mit den folgenden Eigenschaften, die von Kegeln gehalten werden: 1) Jede Linie schneidet ein Oval in keinem, einem oder zwei Punkten. 2) An jedem Punkt des Ovals existiert eine eindeutige Tangentenlinie.

Die Verallgemeinerung der Fokuseigenschaften von Kegeln auf den Fall, dass mehr als zwei Brennpunkte vorhanden sind, erzeugt Mengen, die als verallgemeinerte Kegel bezeichnet werden .

Die Einteilung in elliptische, parabolische und hyperbolische ist in der Mathematik weit verbreitet und unterteilt ein Feld häufig in scharf unterschiedliche Unterfelder. Die Klassifizierung ergibt sich hauptsächlich aus dem Vorhandensein einer quadratischen Form (in zwei Variablen entspricht dies der zugehörigen Diskriminante ), kann aber auch der Exzentrizität entsprechen.

Quadratische Formklassifikationen:

Quadratische Formen

Quadratische Formen über den Realzahlen werden nach dem Sylvester-Trägheitsgesetz klassifiziert , nämlich nach ihrem positiven Index, Nullindex und negativen Index: Eine quadratische Form in n Variablen kann in eine diagonale Form umgewandelt werden , z ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} -x_ {k + 1} ^ {2} - \ cdots -x_ {k + \ ell} ^ {2},}$wobei die Anzahl von +1 Koeffizienten k der positive Index ist, die Anzahl von -1 Koeffizienten ℓ der negative Index ist und die verbleibenden Variablen der Nullindex m sind, also ${\ displaystyle k + \ ell + m = n.}$ In zwei Variablen werden die quadratischen Formen ungleich Null wie folgt klassifiziert:

• ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ - positiv-definitiv (das Negativ ist ebenfalls enthalten), entsprechend Ellipsen,
• ${\ displaystyle x ^ {2}}$ - entartet, entsprechend Parabeln, und
• ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$ - unbestimmt, entsprechend Hyperbeln.

In zwei Variablen werden quadratische Formen analog zu Kegeln nach Diskriminanten klassifiziert, in höheren Dimensionen ist die nützlichere Klassifizierung jedoch eindeutig (alle positiv oder alle negativ), entartet (einige Nullen) oder unbestimmt (Mischung aus positiv und negativ, aber) keine Nullen). Diese Klassifizierung liegt vielen nach, die folgen.

Krümmung

Die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche beschreibt die infinitesimale Geometrie und kann an jedem Punkt entweder positiv - elliptische Geometrie , null - euklidische Geometrie (flach, Parabel) oder negativ - hyperbolische Geometrie sein ; infinitesimal sieht die Oberfläche in zweiter Ordnung wie der Graph von aus ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$${\ displaystyle x ^ {2}}$ (oder 0) oder ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$. In der Tat kann durch den Vereinheitlichungssatz angenommen werden, dass jede Oberfläche global (an jedem Punkt) positiv gekrümmt, flach oder negativ gekrümmt ist. In höheren Dimensionen ist der Riemannsche Krümmungstensor ein komplizierteres Objekt, aber Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkrümmung sind interessante Untersuchungsobjekte und haben auffallend unterschiedliche Eigenschaften, wie unter Schnittkrümmung diskutiert .

PDEs zweiter Ordnung

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) zweiter Ordnung werden an jedem Punkt als elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch klassifiziert, da ihre Terme zweiter Ordnung einer elliptischen, parabolischen oder hyperbolischen quadratischen Form entsprechen. Das Verhalten und die Theorie dieser verschiedenen Arten von PDEs sind auffallend unterschiedlich - repräsentative Beispiele sind, dass die Poisson-Gleichung elliptisch, die Wärmegleichung parabolisch und die Wellengleichung hyperbolisch ist.

Exzentrizitätsklassifikationen umfassen:

Möbius-Transformationen

Echte Möbius-Transformationen (Elemente von PSL 2 ( R ) oder seiner zweifachen Abdeckung, SL 2 ( R ) ) werden entsprechend ihrer Halbspur als elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch klassifiziert${\ displaystyle 0 \ leq | \ operatorname {tr} | / 2 <1,}$${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2 = 1,}$ oder ${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2> 1,}$ Spiegelung der Klassifizierung nach Exzentrizität.

Varianz-zu-Mittelwert-Verhältnis

Das Verhältnis von Varianz zu Mittelwert klassifiziert mehrere wichtige Familien diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen : die konstante Verteilung als zirkulär (Exzentrizität 0), die Binomialverteilungen als elliptisch, die Poisson-Verteilungen als parabolisch und die negativen Binomialverteilungen als hyperbolisch. Dies wird an Kumulanten einiger diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausgearbeitet .

• Zirkumkonisch und inkonisch
• Conic Sections Rebellion , Proteste von Studenten der Yale University
• Regiekreis
• Elliptisches Koordinatensystem
• Äquidistanter Satz
• Neun-Punkt-Kegel
• Parabolische Koordinaten
• Quadratische Funktion