Komplexe Zahl

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Eine komplexe Zahl kann visuell als ein Zahlenpaar ( a ,  b ) dargestellt werden , das einen Vektor in einem Diagramm bildet, das als Argand-Diagramm bezeichnet wird und die komplexe Ebene darstellt . ist die reale Achse, ist die imaginäre Achse und i ist die " imaginäre Einheit ", die i 2 = -1 erfüllt .

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl , die in der Form ausgedrückt werden können , a + bi , wobei a und b sind reelle Zahlen , und i stellt die „ imaginäre Einheit “, die die Gleichung i 2 = -1 . Da keine reelle Zahl diese Gleichung erfüllt, wird i eine imaginäre Zahl genannt . Für die komplexe Zahl a + bi wird a als Realteil und b als Imaginärteil bezeichnet. Die Menge der komplexen Zahlen wird entweder mit einem der Symbole oder C bezeichnet . Trotz der historischen Nomenklatur "imaginär" werden komplexe Zahlen in den mathematischen Wissenschaften genauso "real" wie die reellen Zahlen angesehen und sind in vielen Aspekten der wissenschaftlichen Beschreibung der natürlichen Welt von grundlegender Bedeutung. [1] [2] [3] [4] [a]

Komplexe Zahlen ermöglichen Lösungen für bestimmte Gleichungen, für die es keine Lösungen in reellen Zahlen gibt. Zum Beispiel die Gleichung

hat keine echte Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann. Komplexe Zahlen bieten jedoch eine Lösung für dieses Problem. Die Idee ist , die reellen Zahlen mit einem unbestimmten i (manchmal als imaginäre Einheit bezeichnet) zu erweitern, um die Beziehung i 2 = −1 zu erfüllen , so dass Lösungen für Gleichungen wie die vorhergehende gefunden werden können. In diesem Fall sind die Lösungen −1 + 3 i und −1 - 3 i , was anhand der Tatsache verifiziert werden kann, dass i 2 = −1 :

Nach dem Grundsatz der Algebra haben alle Polynomgleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten in einer einzelnen Variablen eine Lösung in komplexen Zahlen. Im Gegensatz dazu haben einige Polynomgleichungen mit reellen Koeffizienten keine Lösung in reellen Zahlen. Dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano aus dem 16. Jahrhundert wird die Einführung komplexer Zahlen bei seinen Versuchen zugeschrieben, Lösungen für kubische Gleichungen zu finden . [6]

Formal kann das komplexe Zahlensystem als die algebraische Erweiterung der gewöhnlichen reellen Zahlen um eine imaginäre Zahl i definiert werden . [7] ( §VIII.1 ) Dies bedeutet, dass komplexe Zahlen in der Variablen i als Polynome addiert, subtrahiert und multipliziert werden können , unter der Regel, dass i 2 = −1 ist . Darüber hinaus können komplexe Zahlen auch durch komplexe Zahlen ungleich Null geteilt werden. [3] Insgesamt ist das komplexe Zahlensystem ein Feld .

Geometrisch erweitern komplexe Zahlen das Konzept der eindimensionalen Zahlenlinie auf die zweidimensionale komplexe Ebene, indem sie die horizontale Achse für den Realteil und die vertikale Achse für den Imaginärteil verwenden. Die komplexe Zahl a + bi kann mit dem Punkt ( a ,  b ) in der komplexen Ebene identifiziert werden . Eine komplexe Zahl, deren Realteil Null ist, wird als rein imaginär bezeichnetund die Punkte für diese Zahlen liegen auf der vertikalen Achse der komplexen Ebene. Ebenso kann eine komplexe Zahl, deren Imaginärteil Null ist, als reelle Zahl angesehen werden, deren Punkt auf der horizontalen Achse der komplexen Ebene liegt. Komplexe Zahlen können auch in polarer Form dargestellt werden, wobei jede komplexe Zahl mit ihrem Abstand vom Ursprung (ihrer Größe) und einem bestimmten Winkel, der als Argument der komplexen Zahl bekannt ist, verknüpft wird .

Die geometrische Identifikation der komplexen Zahlen mit der komplexen Ebene, die eine euklidische Ebene (ℝ 2 ) ist , macht ihre Struktur als realer zweidimensionaler Vektorraum deutlich. Real- und Imaginärteile einer komplexen Zahl können als Komponenten eines Vektors in Bezug auf die kanonische Standardbasis genommen werden. Die Addition komplexer Zahlen wird somit sofort als die übliche komponentenweise Addition von Vektoren dargestellt. Die komplexen Zahlen ermöglichen jedoch eine reichhaltigere algebraische Struktur, die zusätzliche Operationen umfasst, die nicht unbedingt in einem Vektorraum verfügbar sind. Beispielsweise ergibt die Multiplikation zweier komplexer Zahlen immer wieder eine komplexe Zahl und sollte nicht mit den üblichen "Produkten" verwechselt werden, an denen Vektoren wie die Skalarmultiplikation , das Skalarprodukt oder andere (sesqui) lineare Formen beteiligt sind , die in vielen Vektorräumen verfügbar sind ;; und das breit genutzte Vektorprodukt existiert nur in einer orientierungsabhängigen Form in drei Dimensionen.

Definition [ bearbeiten ]

Eine Darstellung der komplexen Zahl z = x + iy auf der komplexen Ebene . Der Realteil ist x und sein Imaginärteil ist y .

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form a + bi , wobei a und b sind reelle Zahlen , und i ist eine unbestimmte erfüllt i 2 = -1 . Zum Beispiel ist 2 + 3 i eine komplexe Zahl. [8] [3]

Auf diese Weise wird eine komplexe Zahl als Polynom mit reellen Koeffizienten im einzelnen unbestimmten i definiert , für das die Beziehung i 2 + 1 = 0 auferlegt wird. Basierend auf dieser Definition können komplexe Zahlen addiert und multipliziert werden, wobei die Addition und Multiplikation für Polynome verwendet wird. Die Beziehung i 2 + 1 = 0 induziert die Gleichheiten i 4 k = 1, i 4 k +1 = i , i 4 k + 2 = -1, und i 4 k + 3 = - i ,die für alle ganzen Zahlen k gelten ; diese ermöglichen die Reduktion eines Polynoms, das sich aus der Addition und Multiplikation komplexer Zahlen zu einem linearen Polynom in i ergibt , wiederum in der Form a + bi mit reellen Koeffizienten a, b.

Die reelle Zahl a heißt der Realteil der komplexen Zahl a + bi ; Die reelle Zahl b heißt Imaginärteil . Um zu betonen, enthält der Imaginärteil keinen Faktor i ; das heißt, der Imaginärteil ist b , nicht bi . [9] [10] [3]

Formal werden die komplexen Zahlen als Quotientenring des Polynomrings im unbestimmten i durch das durch das Polynom i 2 + 1 erzeugte Ideal definiert (siehe unten ). [7] ( §VIII.1 )

Notation [ Bearbeiten ]

Eine reelle Zahl a kann als komplexe Zahl a + 0 i angesehen werden , deren Imaginärteil 0 ist. Eine rein imaginäre Zahl bi ist eine komplexe Zahl 0 + bi , deren Realteil Null ist. Wie bei Polynomen ist es üblich, a für a + 0 i und bi für 0 + bi zu schreiben . Wenn der Imaginärteil negativ ist, ist b = - | b | <0 ist es üblich, a - | b | i anstelle von a + (- | b | ) i zu schreiben;; beispielsweise für b = -4 , 3 bis 4 I kann anstelle geschrieben werden 3 + (-4) i .

Da die Multiplikation des unbestimmten i und eines reellen in Polynomen mit reellen Koeffizienten kommutativ ist, kann das Polynom a + bi als a + ib geschrieben werden . Dies ist häufig zweckmäßig für Imaginärteile, die durch Ausdrücke bezeichnet werden, beispielsweise wenn b ein Radikal ist. [11]

Der Realteil einer komplexen Zahl z ist durch bezeichnet Re ( z ) , oder r ( z ) ; der Imaginärteil einer komplexen Zahl z ist durch bezeichnet Im ( z ) , oder i ( z ) . [2] Zum Beispiel

Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit ( Tafel fett ) oder C (aufrecht fett) bezeichnet. [2]

In einigen Disziplinen, insbesondere im Elektromagnetismus und in der Elektrotechnik , wird j anstelle von i verwendet, da i häufig zur Darstellung von elektrischem Strom verwendet wird . [12] In diesen Fällen werden als komplexe Zahlen geschrieben eine + bj oder eine + jb .

Visualisierung [ Bearbeiten ]

Eine komplexe Zahl z als Punkt (rot) und ihr Positionsvektor (blau)

Eine komplexe Zahl z kann somit mit einem geordneten Paar reeller Zahlen identifiziert werden, die wiederum als Koordinaten eines Punktes in einem zweidimensionalen Raum interpretiert werden können. Der unmittelbarste Raum ist die euklidische Ebene mit geeigneten Koordinaten, die dann als komplexe Ebene oder Argand-Diagramm bezeichnet wird , [13] [b] [14], benannt nach Jean-Robert Argand . Ein weiterer prominenter Raum, auf den die Koordinaten projiziert werden können, ist die zweidimensionale Oberfläche einer Kugel, die dann als Riemann-Kugel bezeichnet wird .

Kartesische komplexe Ebene [ Bearbeiten ]

Die Definition der komplexen Zahlen mit zwei beliebigen reellen Werten legt sofort die Verwendung kartesischer Koordinaten in der komplexen Ebene nahe. Die horizontale ( reale ) Achse wird im Allgemeinen verwendet, um den Realteil mit zunehmenden Werten rechts anzuzeigen, und der Imaginärteil markiert die vertikale ( imaginäre ) Achse mit zunehmenden Werten nach oben.

Eine Diagrammnummer kann entweder als koordinierter Punkt oder als Positionsvektor vom Ursprung bis zu diesem Punkt betrachtet werden. Die Koordinatenwerte einer komplexen Zahl z können daher in ihrer kartesischen , rechteckigen oder algebraischen Form ausgedrückt werden .

Insbesondere nehmen die Additions- und Multiplikationsoperationen einen sehr natürlichen geometrischen Charakter an, wenn komplexe Zahlen als Positionsvektoren betrachtet werden: Addition entspricht der Vektoraddition , während Multiplikation (siehe unten ) der Multiplikation ihrer Größen und der Addition der Winkel entspricht, die sie mit der bilden reale Achse. So gesehen, die Multiplikation einer komplexen Zahl von i entspricht die Position Vektor Drehen gegen den Uhrzeigersinn um eine viertel Umdrehung ( 90 ° ) um die ursprungs eine Tatsache , die sich algebraisch wie folgt ausgedrückt werden kann:

Polare komplexe Ebene [ bearbeiten ]

Argument φ und Modul r lokalisieren einen Punkt in der komplexen Ebene.

Modul und Argument [ Bearbeiten ]

Eine alternative Option für Koordinaten in der komplexen Ebene ist das Polarkoordinatensystem , das den Abstand des Punkts z vom Ursprung ( O ) und den Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Liniensegment Oz im Gegenuhrzeigersinn verwendet. Dies führt zur polaren Form komplexer Zahlen.

Der Absolutwert (oder Modul oder Größe ) einer komplexen Zahl z = x + yi ist [15]

Wenn z eine reelle Zahl ist (dh wenn y = 0 ist ), dann ist r = | x | . Das heißt, der Absolutwert einer reellen Zahl entspricht ihrem Absolutwert als komplexe Zahl.

Nach dem Satz von Pythagoras ist der Absolutwert einer komplexen Zahl der Abstand zum Ursprung des Punktes, der die komplexe Zahl in der komplexen Ebene darstellt .

Das Argument von z (in vielen Anwendungen als "Phase" φ bezeichnet ) [14] ist der Winkel des Radius Oz mit der positiven reellen Achse und wird als arg z geschrieben . Wie beim Modul kann das Argument aus der rechteckigen Form x + yi [16] ermittelt werden, indem die inverse Tangente auf den Quotienten von Imaginär-Real-Teilen angewendet wird . Einen Halbwinkel Identität, ein einzelner Zweig der arctan genügt Durch die Verwendung des Bereichs der zur Deckung arg -function, (- π , π ] und vermeidet eine subtilere Fall-zu-Fall - Analyse

Normalerweise wird, wie oben angegeben, der Hauptwert im Intervall (- π , π ] gewählt. Werte im Bereich [0, 2 π ) werden durch Addition von 2 π erhalten - wenn der Wert negativ ist. Der Wert von φ wird in diesem Artikel im Bogenmaß ausgedrückt . Sie kann um ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von 2 π ansteigen und dennoch den gleichen Winkel ergeben, der von den Strahlen der positiven reellen Achse und vom Ursprung bis z begrenzt wird . Daher wird die arg-Funktion manchmal als mehrwertig angesehen. Der Polarwinkel für die komplexe Zahl 0 ist unbestimmt, aber eine willkürliche Wahl des Polarwinkels 0 ist üblich.

Der Wert von φ entspricht dem Ergebnis von atan2 :

Zusammen ergeben r und φ eine andere Art der Darstellung komplexer Zahlen, die polare Form , da die Kombination von Modul und Argument die Position eines Punktes auf der Ebene vollständig spezifiziert. Das Wiederherstellen der ursprünglichen rechteckigen Koordinaten aus der polaren Form erfolgt durch die Formel, die als trigonometrische Form bezeichnet wird

Mit der Euler-Formel kann dies wie folgt geschrieben werden

Bei Verwendung der cis- Funktion wird dies manchmal mit abgekürzt

In der Winkelschreibweise , die in der Elektronik häufig zur Darstellung eines Zeigers mit der Amplitude r und der Phase φ verwendet wird , wird sie als [17] geschrieben.

Komplexe Graphen [ Bearbeiten ]

Ein Farbraddiagramm des Ausdrucks ( z 2 - 1) ( z - 2 - i ) 2/.z 2 + 2 + 2 i

Bei der Visualisierung komplexer Funktionen sind sowohl eine komplexe Eingabe als auch eine Ausgabe erforderlich. Da jede komplexe Zahl in zwei Dimensionen dargestellt wird, würde die visuelle Darstellung einer komplexen Funktion die Wahrnehmung eines vierdimensionalen Raums erfordern , was nur in Projektionen möglich ist. Aus diesem Grund wurden andere Möglichkeiten zur Visualisierung komplexer Funktionen entwickelt.

Bei der Domänenfärbung werden die Ausgabedimensionen durch Farbe bzw. Helligkeit dargestellt. Jeder Punkt in der komplexen Ebene als Domäne ist verziert , wobei typischerweise die Farbe das Argument der komplexen Zahl und die Helligkeit die Größe darstellt. Dunkle Flecken markieren Module nahe Null, hellere Flecken sind weiter vom Ursprung entfernt, die Abstufung kann diskontinuierlich sein, wird jedoch als monoton angenommen. Die Farben variieren oft in Schritten vonπ/.3für 0 bis 2 π von rot, gelb, grün, cyan, blau bis magenta. Diese Diagramme werden als Farbraddiagramme bezeichnet . Dies bietet eine einfache Möglichkeit, die Funktionen zu visualisieren, ohne Informationen zu verlieren. Das Bild zeigt Nullen für ± 1, (2 + i ) und Pole bei ± −2 −2 i .

Riemann-Oberflächen sind eine weitere Möglichkeit, komplexe Funktionen zu visualisieren. [ weitere Erklärung erforderlich ] Riemann-Oberflächen können als Verformungen der komplexen Ebene betrachtet werden; Während die horizontalen Achsen die realen und imaginären Eingaben darstellen, repräsentiert die einzelne vertikale Achse nur entweder die realen oder die imaginären Ausgaben. Riemann-Oberflächen sind jedoch so aufgebaut, dass eine Drehung um 180 Grad die imaginäre Ausgabe anzeigt und umgekehrt. Im Gegensatz zur Domänenfärbung können Riemann-Oberflächen mehrwertige Funktionen wie z darstellen .

Geschichte [ bearbeiten ]

Die radikale Lösung (ohne trigonometrische Funktionen ) einer allgemeinen kubischen Gleichung enthält die Quadratwurzeln negativer Zahlen, wenn alle drei Wurzeln reelle Zahlen sind. Diese Situation kann nicht durch Faktorisierung korrigiert werden, die durch den rationalen Wurzeltest unterstützt wird, wenn die kubische Gleichung irreduzibel ist (die sogenannter Casus irreducibilis ). Dieses Rätsel veranlasste den italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano , sich um 1545 komplexe Zahlen vorzustellen [18], obwohl sein Verständnis rudimentär war.

Die Arbeit am Problem der allgemeinen Polynome führte schließlich zum Grundsatz der Algebra , der zeigt, dass mit komplexen Zahlen für jede Polynomgleichung vom Grad eins oder höher eine Lösung existiert . Komplexe Zahlen bilden somit ein algebraisch geschlossenes Feld , in dem jede Polynomgleichung eine Wurzel hat .

Viele Mathematiker haben zur Entwicklung komplexer Zahlen beigetragen. Die Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Wurzelextraktion komplexer Zahlen wurden vom italienischen Mathematiker Rafael Bombelli entwickelt . [19] Ein abstrakterer Formalismus für die komplexen Zahlen wurde vom irischen Mathematiker William Rowan Hamilton weiterentwickelt , der diese Abstraktion auf die Theorie der Quaternionen ausweitete . [20]

Die früheste flüchtig Bezug auf Quadratwurzeln der negativen Zahlen kann vielleicht sagen, in der Arbeit des auftreten griechischen Mathematiker Heron von Alexandria im 1. Jahrhundert AD , wo in seiner Stereometrica hält er offenbar irrtümlich, das Volumen eines unmöglichen Stumpfes von eine Pyramide , um zu dem Begriff in seinen Berechnungen zu gelangen , obwohl negative Größen in der hellenistischen Mathematik nicht gedacht wurden und Hero sie lediglich durch ihre positiven ( ) ersetzte . [21]

Der Anstoß, komplexe Zahlen als Thema an sich zu untersuchen, entstand erstmals im 16. Jahrhundert, als italienische Mathematiker algebraische Lösungen für die Wurzeln kubischer und quartischer Polynome entdeckten (siehe Niccolò Fontana Tartaglia , Gerolamo Cardano ). Es wurde bald erkannt (aber viel später bewiesen) [22], dass diese Formeln, selbst wenn man nur an realen Lösungen interessiert war, manchmal die Manipulation von Quadratwurzeln negativer Zahlen erforderten. Als Beispiel liefert die Tartaglia-Formel für eine kubische Gleichung der Form x 3 = px + q [c] die Lösung der Gleichungx 3 = x as

Auf den ersten Blick sieht das nach Unsinn aus. Formale Berechnungen mit komplexen Zahlen zeigen jedoch, dass die Gleichung z 3 = i Lösungen hat - i ,3 + i/.2 und - 3 + i/.2. Wenn man diese wiederum in Tartaglias kubischer Formel ersetzt und vereinfacht, erhält man 0, 1 und -1 als die Lösungen von x 3 - x = 0 . Natürlich kann diese besondere Gleichung auf Sicht gelöst werden , aber es ist deutlich , dass , wenn allgemeine Formeln verwendet werden , mit echten Wurzeln kubische Gleichungen zu lösen dann, wie später Mathematiker rigoros zeigte, [d] die Verwendung von komplexen Zahlen unvermeidbar ist . Rafael Bombelli war der erste, der sich explizit mit diesen scheinbar paradoxen Lösungen kubischer Gleichungen befasste, und entwickelte die Regeln für komplexe Arithmetik, um diese Probleme zu lösen.

Der Begriff "imaginär" für diese Größen wurde 1637 von René Descartes geprägt , obwohl er sich bemühte, ihre imaginäre Natur zu betonen [23].

... manchmal nur imaginär, das heißt, man kann sich so viele vorstellen, wie ich in jeder Gleichung gesagt habe, aber manchmal gibt es keine Menge, die der entspricht, die wir uns vorstellen.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation vorstellen. ]]

Eine weitere Quelle der Verwirrung war, dass die Gleichung launisch mit der algebraischen Identität unvereinbar zu sein schien , die für nicht negative reelle Zahlen a und b gilt und die auch in komplexen Zahlenberechnungen mit einer von a , b positiv und der verwendet wurde andere negative. Die falsche Verwendung dieser Identität (und der damit verbundenen Identität ) in dem Fall, dass sowohl a als auch b negativ sind, hat sogar Euler belästigt. Diese Schwierigkeit führte schließlich zu der Konvention, das spezielle Symbol i anstelle von −1 zu verwenden, um diesen Fehler zu vermeiden. [ Zitat benötigt] Trotzdem hielt es Euler für selbstverständlich, die Schüler viel früher als heute mit komplexen Zahlen vertraut zu machen. In seinem Lehrbuch zur Elementaralgebra, Elemente der Algebra , führt er diese Zahlen fast sofort ein und verwendet sie dann auf natürliche Weise.

Im 18. Jahrhundert wurden komplexe Zahlen immer häufiger verwendet, da festgestellt wurde, dass die formale Manipulation komplexer Ausdrücke verwendet werden kann, um Berechnungen mit trigonometrischen Funktionen zu vereinfachen. Zum Beispiel bemerkte Abraham de Moivre 1730 , dass die komplizierten Identitäten, die trigonometrische Funktionen eines ganzzahligen Vielfachen eines Winkels mit Potenzen trigonometrischer Funktionen dieses Winkels in Beziehung setzen, einfach durch die folgende bekannte Formel, die seinen Namen trägt, de ausgedrückt werden könnten Moivres Formel :

1748 ging Leonhard Euler weiter und erhielt Eulers Formel der komplexen Analyse : [24]

durch formale Manipulation komplexer Potenzreihen und Beobachtung, dass diese Formel verwendet werden könnte, um jede trigonometrische Identität auf viel einfachere exponentielle Identitäten zu reduzieren.

Die Idee einer komplexen Zahl als Punkt in der komplexen Ebene ( oben ) wurde erstmals 1799 von Caspar Wessel beschrieben [25], obwohl sie bereits 1685 in Wallis ' A Treatise of Algebra erwartet worden war . [26]

Wessels Memoiren erschienen in den Proceedings der Copenhagen Academy , blieben aber weitgehend unbemerkt. Im Jahr 1806 gab Jean-Robert Argand unabhängig eine Broschüre über komplexe Zahlen heraus und lieferte einen strengen Beweis für den Grundsatz der Algebra . [27] Carl Friedrich Gauss hatte bereits 1797 einen im Wesentlichen topologischen Beweis des Theorems veröffentlicht, äußerte jedoch zu dieser Zeit seine Zweifel an der "wahren Metaphysik der Quadratwurzel von -1". [28] Erst 1831 überwand er diese Zweifel und veröffentlichte seine Abhandlung über komplexe Zahlen als Punkte in der Ebene. [29] [30] ( S. 638 ) weitgehend etabliert moderne Notation und Terminologie.

Wenn man dieses Thema früher unter einem falschen Gesichtspunkt betrachtete und daher eine mysteriöse Dunkelheit fand, ist dies größtenteils auf eine ungeschickte Terminologie zurückzuführen. Hätte man nicht +1, −1, −1 positive, negative oder imaginäre (oder sogar unmögliche) Einheiten genannt, sondern beispielsweise direkte, inverse oder laterale Einheiten, so hätte kaum von einer solchen Dunkelheit die Rede sein können. - Gauss (1831) [30] ( S. 638 ) [29]

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts entdeckten andere Mathematiker unabhängig voneinander die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen: Buée, [31] [32] Mourey , [33] Warren , [34] Français und sein Bruder Bellavitis . [35] [36]

Der englische Mathematiker GH Hardy bemerkte, dass Gauß der erste Mathematiker war, der komplexe Zahlen auf "wirklich sichere und wissenschaftliche Weise" verwendete, obwohl Mathematiker wie Niels Henrik Abel und Carl Gustav Jacob Jacobi sie notwendigerweise routinemäßig verwendeten, bevor Gauß seine Abhandlung von 1831 veröffentlichte. [37]

Augustin Louis Cauchy und Bernhard Riemann brachten die Grundgedanken der komplexen Analyse auf einen hohen Stand, der um 1825 in Cauchys Fall begann.

Die in der Theorie gebräuchlichen Begriffe sind hauptsächlich den Gründern zu verdanken. Argand nennt cos φ + i sin φ den Richtungsfaktor und den Modul ; [e] [39] Cauchy (1821) nannte cos φ + i sin φ die reduzierte Form (l'expression réduite) [40] und führte anscheinend den Begriff Argument ein ; Gauß verwendete i für , [f] führte den Begriff komplexe Zahl für a + bi ein ,[g] und nannte a 2 + b 2 die Norm . [h] Der Ausdruck Richtungskoeffizient , häufig verwendet für cos φ + i sin φ , ist darauf zurückzuführenHankel (1867) [41] und absoluter Wert, für Modul, ist auf Weierstraß.

Spätere klassische Schriftsteller der allgemeinen Theorie sind Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass und viele andere.

Beziehungen und Operationen [ Bearbeiten ]

Gleichheit [ bearbeiten ]

Komplexe Zahlen haben eine ähnliche Definition der Gleichheit wie reelle Zahlen. zwei komplexe Zahlen a 1 + b 1 i und a 2 + b 2 i sind genau dann gleich, wenn sowohl ihr Real- als auch ihr Imaginärteil gleich sind, dh wenn a 1 = a 2 und b 1 = b 2 . Komplexe Zahlen ungleich Null, die in polarer Form geschrieben sind, sind genau dann gleich, wenn sie dieselbe Größe haben und sich ihre Argumente um ein ganzzahliges Vielfaches von 2 π unterscheiden .

Bestellung [ Bearbeiten ]

Im Gegensatz zu den reellen Zahlen gibt es keine natürliche Reihenfolge der komplexen Zahlen. Insbesondere gibt es keine lineare Reihenfolge für die komplexen Zahlen, die mit Addition und Multiplikation kompatibel ist - die komplexen Zahlen können nicht die Struktur eines geordneten Feldes haben. Dies ist beispielsweise , weil jede nicht triviale Summe von Quadraten in einem geordneten Feld ist ≠ 0 und i 2 + 1 2 = 0 ist , eine nicht-triviale Summe der Quadrate. Komplexe Zahlen werden daher natürlich als auf einer zweidimensionalen Ebene existierend angesehen.

Konjugieren [ bearbeiten ]

Geometrische Darstellung von z und seinem Konjugat z in der komplexen Ebene

Das komplexe Konjugat der komplexen Zahl z = x + yi ist gegeben durch x - yi . Es wird entweder mit z oder z * bezeichnet . [42] Diese unäre Operation für komplexe Zahlen kann nicht ausgedrückt werden, indem nur ihre Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division angewendet werden.

Geometrisch ist z die "Reflexion" von z um die reale Achse. Zweimal konjugieren ergibt die ursprüngliche komplexe Zahl

was diese Operation zu einer Involution macht . Die Reflexion lässt sowohl den Realteil als auch die Größe von z unverändert

und

Der Imaginärteil und das Argument einer komplexen Zahl z ändern unter Konjugation ihr Vorzeichen

Einzelheiten zu Argument und Größe finden Sie im Abschnitt zur Polarform .

Das Produkt einer komplexen Zahl z = x + yi und ihres Konjugats ist als absolutes Quadrat bekannt . Es ist immer eine positive reelle Zahl und entspricht dem Quadrat der Größe eines jeden:

Diese Eigenschaft kann verwendet werden, um einen Bruch mit einem komplexen Nenner in einen äquivalenten Bruch mit einem reellen Nenner umzuwandeln, indem sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchs um das Konjugat des gegebenen Nenners erweitert werden. Dieser Prozess wird manchmal als " Rationalisierung " des Nenners bezeichnet (obwohl der Nenner im endgültigen Ausdruck eine irrationale reelle Zahl sein kann), da er der Methode zum Entfernen von Wurzeln aus einfachen Ausdrücken in einem Nenner ähnelt.

Der Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z kann mit folgender Konjugation extrahiert werden:

Darüber hinaus ist eine komplexe Zahl genau dann real, wenn sie ihrem eigenen Konjugat entspricht.

Die Konjugation verteilt sich auf die grundlegenden komplexen arithmetischen Operationen:

Konjugation wird auch in der inversiven Geometrie verwendet , einem Zweig der Geometrie, der Reflexionen untersucht, die allgemeiner sind als solche über eine Linie. Bei der Netzwerkanalyse elektrischer Schaltkreise wird das komplexe Konjugat verwendet, um die äquivalente Impedanz zu ermitteln, wenn nach dem Satz der maximalen Leistungsübertragung gesucht wird.

Addition und Subtraktion [ Bearbeiten ]

Das Hinzufügen von zwei komplexen Zahlen kann geometrisch erfolgen, indem ein Parallelogramm erstellt wird.

Zwei komplexe Zahlen a und b lassen sich am einfachsten addieren , indem ihre Real- und Imaginärteile der Summanden getrennt addiert werden. Das heißt:

In ähnlicher Weise kann die Subtraktion als durchgeführt werden

Unter Verwendung der Visualisierung komplexer Zahlen in der komplexen Ebene hat die Addition die folgende geometrische Interpretation: Die Summe zweier komplexer Zahlen a und b , interpretiert als Punkte in der komplexen Ebene, ist der Punkt, der durch Erstellen eines Parallelogramms aus den drei Eckpunkten O erhalten wird und die Punkte der mit a und b bezeichneten Pfeile (vorausgesetzt, sie befinden sich nicht auf einer Linie). Entsprechend sind die Dreiecke OAB und XBA kongruent , wenn diese Punkte A , B bzw. der vierte Punkt des Parallelogramms X genannt werden . Eine Visualisierung der Subtraktion kann erreicht werden, indem die Addition des negativen Subtrahends berücksichtigt wird .

Multiplikation [ Bearbeiten ]

Da der Realteil, der Imaginärteil und das unbestimmte i in einer komplexen Zahl alle als Zahlen an sich betrachtet werden, werden zwei komplexe Zahlen, gegeben als z = x + yi und w = u + vi, nach den Regeln der Verteilung multipliziert Eigenschaft , die kommutativen Eigenschaften und die definierende Eigenschaft i 2 = −1 auf folgende Weise

Gegenseitig und Teilung [ Bearbeiten ]

Mit der Konjugation kann der Kehrwert einer komplexen Zahl ungleich Null z = x + yi immer aufgeschlüsselt werden

da ungleich Null impliziert, dass x 2 + y 2 größer als Null ist.

Dies kann verwendet werden, um eine Division einer beliebigen komplexen Zahl w = u + vi durch eine komplexe Zahl ungleich Null z as auszudrücken

Multiplikation und Division in polarer Form [ Bearbeiten ]

Multiplikation von 2 + i (blaues Dreieck) und 3 + i (rotes Dreieck). Das rote Dreieck wird gedreht, um mit dem Scheitelpunkt des blauen Dreiecks übereinzustimmen, und um √ 5 , die Länge der Hypotenuse des blauen Dreiecks, gestreckt .

Formeln für Multiplikation, Division und Exponentiation sind in polarer Form einfacher als die entsprechenden Formeln in kartesischen Koordinaten. Bei zwei komplexen Zahlen ist z 1 = r 1 (cos  φ 1 + i  sin  φ 1 ) und z 2 = r 2 (cos  φ 2 + i  sin  φ 2 ) aufgrund der trigonometrischen Identitäten

wir können ableiten

Mit anderen Worten werden die absoluten Werte multipliziert und die Argumente addiert, um die polare Form des Produkts zu erhalten. Zum Beispiel durch Multiplikation i entspricht einen Viertel- Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn, die zurück gibt i 2 = -1 . Das Bild rechts zeigt die Multiplikation von

Da der Real- und Imaginärteil von 5 + 5 i gleich sind, beträgt das Argument dieser Zahl 45 Grad oder π / 4 (im Bogenmaß ). Andererseits ist es auch die Summe der Winkel am Ursprung des roten und blauen Dreiecks Arctan (1/3) bzw. Arctan (1/2). Also die Formel

hält. Da die Arctanfunktion sehr effizient approximiert werden kann, werden solche Formeln - sogenannte Machin-ähnliche Formeln - für hochpräzise Approximationen von π verwendet .

Ebenso ist die Teilung gegeben durch

Quadratwurzel [ bearbeiten ]

Die Quadratwurzeln von a + bi (mit b ≠ 0 ) sind , wo

und

Dabei ist sgn die Signumfunktion . Dies kann durch Quadrieren gesehen werden , um ein + bi zu erhalten . [43] [44] Hier wird der Modul von a + bi genannt , und das Quadratwurzelzeichen gibt die Quadratwurzel mit nicht negativem Realteil an, die als Hauptquadratwurzel bezeichnet wird . auch wo z = a + bi . [45]

Exponentialfunktion [ Bearbeiten ]

Die Exponentialfunktion kann für jede komplexe Zahl z durch die Potenzreihe definiert werden

das hat einen unendlichen Konvergenzradius .

Der Wert bei 1 der Exponentialfunktion ist die Euler-Zahl

Wenn z real ist, hat man eine analytische Fortsetzung, die es ermöglicht, diese Gleichheit für jeden komplexen Wert von z zu erweitern und somit die komplexe Potenzierung mit der Basis e als zu definieren

Funktionsgleichung [ bearbeiten ]

Die Exponentialfunktion erfüllt die Funktionsgleichung. Dies kann entweder durch Vergleichen der Potenzreihenerweiterung beider Elemente oder durch Anwenden einer analytischen Fortsetzung von der Beschränkung der Gleichung auf reale Argumente bewiesen werden .

Eulers Formel [ Bearbeiten ]

Eulers Formel besagt, dass für jede reelle Zahl y ,

Die Funktionsgleichung impliziert also, dass man hat, wenn x und y real sind

Das ist die Zerlegung der Exponentialfunktion in ihre Real- und Imaginärteile.

Komplexer Logarithmus [ Bearbeiten ]

Im realen Fall kann der natürliche Logarithmus als Umkehrung der Exponentialfunktion definiert werden. Um dies auf die komplexe Domäne auszudehnen, kann man von Eulers Formel ausgehen. Dies impliziert, dass eine komplexe Zahl in polarer Form geschrieben wird

mit dann mit

als komplexer Logarithmus hat man eine richtige Umkehrung:

Da jedoch Cosinus und Sinus periodische Funktionen sind, ändert die Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2 π zu φ z nicht . Zum Beispiel ist e = e 3 = -1 , so dass sowohl als auch 3 mögliche Werte für den natürlichen Logarithmus von -1 sind .

Daher, wenn der komplexe Logarithmus nicht als mehrwertige Funktion definiert werden soll

man muss einen Astschnitt verwenden und die Codomäne einschränken , was zur bijektiven Funktion führt

Wenn es sich nicht um eine nicht positive reelle Zahl handelt (eine positive oder eine nicht reelle Zahl), wird der resultierende Hauptwert des komplexen Logarithmus mit - π < φ < π erhalten . Es ist eine analytische Funktion außerhalb der negativen reellen Zahlen, kann jedoch nicht auf eine Funktion verlängert werden, die bei jeder negativen reellen Zahl stetig ist , wobei der Hauptwert ln z = ln (- z ) + iπ ist . [ich]

Potenzierung [ Bearbeiten ]

Wenn x > 0 reell und z komplex ist, ist die Potenzierung definiert als

wobei ln den natürlichen Logarithmus bezeichnet.

Es erscheint natürlich, diese Formel auf komplexe Werte von x zu erweitern , aber es gibt einige Schwierigkeiten, die sich aus der Tatsache ergeben, dass der komplexe Logarithmus nicht wirklich eine Funktion, sondern eine mehrwertige Funktion ist .

Daraus folgt, dass wenn z wie oben ist und t eine andere komplexe Zahl ist, die Exponentiation die mehrwertige Funktion ist

Ganzzahlige und gebrochene Exponenten [ Bearbeiten ]

Geometrische Darstellung der 2. bis 6. Wurzel einer komplexen Zahl z in polarer Form re mit r = | z  | und φ = arg z . Wenn z reell ist, ist φ = 0 oder π . Hauptwurzeln sind schwarz dargestellt.

Wenn in der vorhergehenden Formel t eine ganze Zahl ist, sind der Sinus und der Cosinus unabhängig von k . Wenn also der Exponent n eine ganze Zahl ist, ist z n gut definiert, und die Exponentiationsformel vereinfacht sich zu de Moivres Formel :

Die n n - te Wurzel einer komplexen Zahl z gegeben sind durch

für 0 ≤ kn - 1 . (Hier ist die übliche (positive) n- te Wurzel der positiven reellen Zahl r .) Da Sinus und Cosinus periodisch sind, ergeben andere ganzzahlige Werte von k keine anderen Werte.

Während die n- te Wurzel einer positiven reellen Zahl r als die positive reelle Zahl c gewählt wird, die c n = r erfüllt , gibt es keinen natürlichen Weg, eine bestimmte komplexe n- te Wurzel einer komplexen Zahl zu unterscheiden. Daher ist die n- te Wurzel eine n- bewertete Funktion von z . Dies impliziert, dass man im Gegensatz zu positiven reellen Zahlen hat

da die linke Seite aus n Werten besteht und die rechte Seite ein einzelner Wert ist.

Eigenschaften [ Bearbeiten ]

Feldstruktur [ Bearbeiten ]

Die Menge komplexer Zahlen ist ein Feld . [46] Kurz gesagt bedeutet dies, dass die folgenden Fakten zutreffen: Erstens können zwei beliebige komplexe Zahlen addiert und multipliziert werden, um eine weitere komplexe Zahl zu erhalten. Zweitens ist für jede komplexe Zahl z auch ihre additive Inverse - z eine komplexe Zahl; und drittens hat jede komplexe Zahl ungleich Null eine wechselseitige komplexe Zahl. Darüber hinaus erfüllen diese Operationen eine Reihe von Gesetzen, beispielsweise das Gesetz der Kommutativität der Addition und Multiplikation für zwei beliebige komplexe Zahlen z 1 und z 2 :

Diese beiden Gesetze und die anderen Anforderungen an ein Feld können durch die oben angegebenen Formeln unter Verwendung der Tatsache bewiesen werden, dass die reellen Zahlen selbst ein Feld bilden.

Im Gegensatz zu den Realzahlen ist kein geordnetes Feld , dh es ist nicht möglich, eine Beziehung z 1 < z 2 zu definieren , die mit der Addition und Multiplikation kompatibel ist. Tatsächlich ist in jedem geordneten Feld das Quadrat eines Elements notwendigerweise positiv, so dass i 2 = −1 die Existenz einer Ordnung auf ℂ ausschließt . [47]

Wenn das zugrunde liegende Feld für ein mathematisches Thema oder Konstrukt das Feld komplexer Zahlen ist, wird der Name des Themas normalerweise geändert, um diese Tatsache widerzuspiegeln. Zum Beispiel: komplexe Analyse , komplexe Matrix , komplexes Polynom und komplexe Lie-Algebra .

Lösungen von Polynomgleichungen [ edit ]

Bei komplexen Zahlen ( Koeffizienten genannt ) a 0 , ...,  a n , die Gleichung

hat mindestens eine komplexe Lösung z , vorausgesetzt, dass mindestens einer der höheren Koeffizienten a 1 , ...,  a n ungleich Null ist. [7] ( VIII.1 ) Dies ist die Aussage des Grundsatzes der Algebra von Carl Friedrich Gauss und Jean le Rond d'Alembert . Aufgrund dieser Tatsache wird als algebraisch geschlossenes Feld bezeichnet . Diese Eigenschaft gilt nicht für das Feld der rationalen Zahlen (das Polynom x 2 - 2 hat keine rationale Wurzel, da √ 2ist weder eine rationale Zahl) noch die reellen Zahlen (das Polynom x 2 + a hat keine reelle Wurzel für a > 0 , da das Quadrat von x für jede reelle Zahl x positiv ist ).

Es gibt verschiedene Beweise für diesen Satz, entweder durch analytische Methoden wie den Satz von Liouville oder durch topologische Methoden wie die Wicklungszahl oder einen Beweis, der die Galois-Theorie und die Tatsache kombiniert , dass jedes echte Polynom ungeraden Grades mindestens eine echte Wurzel hat.

Aufgrund dieser Tatsache gelten Theoreme, die für jedes algebraisch geschlossene Feld gelten, für . Beispielsweise hat jede nicht leere komplexe quadratische Matrix mindestens einen (komplexen) Eigenwert .

Algebraische Charakterisierung [ Bearbeiten ]

Das Feld hat die folgenden drei Eigenschaften:

  • Erstens hat es die Eigenschaft 0. Dies bedeutet, dass 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 für eine beliebige Anzahl von Summanden (die alle gleich eins sind).
  • Zweitens ist sein Transzendenzgrad über , dem Hauptfeld von , die Kardinalität des Kontinuums .
  • Drittens ist es algebraisch geschlossen (siehe oben).

Es kann gezeigt werden, dass jedes Feld mit diesen Eigenschaften isomorph (als Feld) zu ℂ ist . Zum Beispiel erfüllt der algebraische Abschluss von ℚ p auch diese drei Eigenschaften, sodass diese beiden Felder isomorph sind (als Felder, aber nicht als topologische Felder). [48] Außerdem ist isomorph zum Feld komplexer Puiseux-Reihen . Die Angabe eines Isomorphismus erfordert jedoch das Axiom der Wahl . Eine weitere Konsequenz dieser algebraischen Charakterisierung ist, dass viele geeignete Unterfelder enthält, die zu isomorph sind .

Charakterisierung als topologisches Feld [ Bearbeiten ]

Die vorstehende Charakterisierung von beschreibt nur die algebraischen Aspekte von . Das heißt, die Eigenschaften von Nähe und Kontinuität , die in Bereichen wie Analyse und Topologie von Bedeutung sind , werden nicht behandelt. Die folgende Beschreibung von als topologisches Feld ( dh ein Feld, das mit einer Topologie ausgestattet ist , die den Begriff der Konvergenz zulässt) berücksichtigt die topologischen Eigenschaften. enthält eine Teilmenge P (nämlich die Menge positiver reeller Zahlen) von Elementen ungleich Null, die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

  • P wird unter Addition, Multiplikation und Inversen geschlossen.
  • Wenn x und y sind verschiedene Elemente von P , dann ist entweder x - y oder y - x ist in P .
  • Wenn S eine nicht leere Teilmenge von P ist , dann ist S + P = x + P für einige x in .

Außerdem c hat eine nicht - triviale involutive automorphism xx * (nämlich die komplexe Konjugation), so dass x x * ist in P für jeden Nicht - Null - x in c .

Jedes Feld F mit diesen Eigenschaften kann mit einer Topologie versehen werden, indem die Mengen B ( x ,  p ) = {  y | genommen werden p - ( y - x ) ( y - x ) * ∈ P  }  als Basis , wobei x über dem Feld und p über P liegt . Mit dieser Topologie ist F als topologisches Feld zu isomorph .

Die einzigen lokal verbundenen kompakten topologischen Felder sind und . Dies ergibt eine weitere Charakterisierung von als topologisches Feld, da von unterschieden werden kann, weil die komplexen Zahlen ungleich Null verbunden sind , während die reellen Zahlen ungleich Null nicht verbunden sind. [7] ( §VIII.4 )

Formale Konstruktion [ Bearbeiten ]

Konstruktion als geordnete Paare [ bearbeiten ]

William Rowan Hamilton eingeführt , um den Ansatz , um das Set zu definieren c komplexer Zahlen [49] als die Menge r 2 von geordneten Paaren ( a ,  b ) der reellen Zahlen, in denen die folgenden Regeln für die Addition und Multiplikation auferlegt werden : [46]

Es ist dann nur eine Frage der Notation auszudrücken ( a ,  b ) als eine + bi .

Konstruktion als Quotientenfeld [ Bearbeiten ]

Obwohl diese Konstruktion auf niedriger Ebene die Struktur der komplexen Zahlen genau beschreibt, zeigt die folgende äquivalente Definition die algebraische Natur von sofort. Diese Charakterisierung beruht auf dem Begriff der Felder und Polynome. Ein Feld ist eine Menge, die mit Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsoperationen ausgestattet ist, die sich so verhalten, wie es beispielsweise aus rationalen Zahlen bekannt ist. Zum Beispiel das Verteilungsgesetz

muss für drei beliebige Elemente x , y und z eines Feldes gelten. Die Menge reeller Zahlen bildet ein Feld. Ein Polynom p ( X ) mit reellen Koeffizienten ist Ausdruck der Form

wobei die a 0 , ...,  a n reelle Zahlen sind. Die übliche Addition und Multiplikation von Polynomen verleiht der Menge ℝ [ X ] aller dieser Polynome eine Ringstruktur . Dieser Ring wird als Polynomring über den reellen Zahlen bezeichnet.

Die Menge der komplexen Zahlen ist definiert als der Quotientenring ℝ [ X ] / ( X 2 + 1) . [7] ( §VIII.1 ) Das Erweiterungsfeld enthält zwei Quadratwurzeln -1 , nämlich (die Nebenklassen von) X und - X , respectively. (Die Nebenmengen von) 1 und X bilden eine Basis von ℝ [ X ] / ( X 2 + 1) als realem Vektorraum , was bedeutet, dass jedes Element des Erweiterungsfeldes eindeutig als lineare Kombination geschrieben werden kannin diesen beiden Elementen. Entsprechend können Elemente des Erweiterungsfeldes als geordnete Paare ( a ,  b ) reeller Zahlen geschrieben werden. Der Quotient Ring ist ein Feld, da X 2 + 1 ist irreduziblen über r , so dass die ideale erzeugt sie ist maximal .

Die Formeln für Addition und Multiplikation im Ring ℝ [ X ] , Modulo der Beziehung X 2 = −1 , entsprechen den Formeln für Addition und Multiplikation komplexer Zahlen, die als geordnete Paare definiert sind. Die beiden Definitionen des Feldes sind also isomorph (als Felder).

Wenn man akzeptiert, dass algebraisch geschlossen ist, da es sich bei diesem Ansatz um eine algebraische Erweiterung von handelt, ist daher der algebraische Abschluss von .

Matrixdarstellung komplexer Zahlen [ Bearbeiten ]

Komplexe Zahlen a + bi können auch durch 2 × 2- Matrizen dargestellt werden , die die folgende Form haben:

Hier sind die Einträge a und b reelle Zahlen. Die Summe und das Produkt zweier solcher Matrizen hat wieder diese Form, und die Summe und das Produkt komplexer Zahlen entsprechen der Summe und dem Produkt solcher Matrizen, wobei das Produkt ist:

Die geometrische Beschreibung der Multiplikation komplexer Zahlen kann auch in Form von Rotationsmatrizen ausgedrückt werden, indem diese Entsprechung zwischen komplexen Zahlen und solchen Matrizen verwendet wird. Darüber hinaus ist das Quadrat des Absolutwerts einer komplexen Zahl, ausgedrückt als Matrix, gleich der Determinante dieser Matrix:

Das Konjugat z entspricht der Transponierung der Matrix.

Obwohl diese Darstellung komplexer Zahlen mit Matrizen am häufigsten vorkommt, ergeben sich viele andere Darstellungen aus anderen Matrizen als dem Quadrat zum Negativ der Identitätsmatrix . Weitere Darstellungen komplexer Zahlen finden Sie im Artikel über 2 × 2 reelle Matrizen .

Komplexe Analyse [ Bearbeiten ]

Farbraddiagramm der Sünde (1 / z ) . Schwarze Teile im Inneren beziehen sich auf Zahlen mit großen absoluten Werten.

Das Studium der Funktionen einer komplexen Variablen ist als komplexe Analyse bekannt und hat einen enormen praktischen Nutzen in der angewandten Mathematik sowie in anderen Bereichen der Mathematik. Häufig verwenden die natürlichsten Beweise für Aussagen in der realen Analyse oder sogar in der Zahlentheorie Techniken aus der komplexen Analyse (siehe Primzahlsatz für ein Beispiel). Im Gegensatz zu realen Funktionen, die üblicherweise als zweidimensionale Graphen dargestellt werden, weisen komplexe Funktionen vierdimensionale Graphen auf und können sinnvollerweise durch Farbcodierung eines dreidimensionalen Graphen zur Andeutung von vier Dimensionen oder durch Animieren der dynamischen Transformation der komplexen Funktion von dargestellt werden komplexe Ebene.

Komplexe Exponential- und verwandte Funktionen [ Bearbeiten ]

Die Begriffe konvergente Reihen und kontinuierliche Funktionen in der (realen) Analyse haben natürliche Analoga in der komplexen Analyse. Eine Folge komplexer Zahlen soll genau dann konvergieren, wenn ihre Real- und Imaginärteile dies tun. Dies entspricht der (ε, δ) -Definition von Grenzen , bei der der Absolutwert reeller Zahlen durch den Wert komplexer Zahlen ersetzt wird. Aus einer abstrakteren Sicht ist mit der Metrik ausgestattet

ist ein vollständiger metrischer Raum , der insbesondere die Dreiecksungleichung enthält

für zwei beliebige komplexe Zahlen z 1 und z 2 .

Wie in der realen Analyse wird dieser Begriff der Konvergenz verwendet, um eine Reihe von Elementarfunktionen zu konstruieren : Die Exponentialfunktion exp z , auch e z geschrieben , wird als unendliche Reihe definiert

Die Reihe, die die realen trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus sowie die hyperbolischen Funktionen Sinh und Cosh definiert, überträgt sich ebenfalls unverändert auf komplexe Argumente. Bei den anderen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen wie der Tangente sind die Dinge etwas komplizierter, da die definierenden Reihen nicht für alle komplexen Werte konvergieren. Daher muss man sie entweder als Sinus, Cosinus und Exponential oder äquivalent unter Verwendung der Methode der analytischen Fortsetzung definieren .

Eulers Formel besagt:

für jede reelle Zahl φ , insbesondere

Anders als in der Situation reeller Zahlen gibt es unendlich viele komplexe Lösungen z der Gleichung

für jede komplexe Zahl w ≠ 0 . Man erkennt , dass eine solche Lösung gezeigt werden , z genannt - komplexen Logarithmus des w genügt -

Dabei ist arg das oben definierte Argument und der (reale) natürliche Logarithmus . Da arg eine mehrwertige Funktion ist , die nur bis zu einem Vielfachen von 2 π eindeutig ist , ist log auch mehrwertig. Der Hauptwert von log wird oft genommen, indem der Imaginärteil auf das Intervall (- π , π ] beschränkt wird .

Die komplexe Exponentiation z & ohgr; ist definiert als

und ist mehrwertig, außer wenn ω eine ganze Zahl ist. Für ω = 1 / n stellt dies für eine natürliche Zahl n die Nicht-Eindeutigkeit der oben erwähnten n- ten Wurzeln wieder her.

Komplexe Zahlen erfüllen im Gegensatz zu reellen Zahlen im Allgemeinen nicht die unveränderten Potenz- und Logarithmusidentitäten, insbesondere wenn sie naiv als einwertige Funktionen behandelt werden. Siehe Stromausfall und Logarithmusidentitäten . Zum Beispiel erfüllen sie nicht

Beide Seiten der Gleichung sind durch die hier gegebene Definition der komplexen Potenzierung mehrwertig, und die Werte auf der linken Seite sind eine Teilmenge der Werte auf der rechten Seite.

Holomorphe Funktionen [ Bearbeiten ]

Eine Funktion f  : heißt holomorph, wenn sie die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt . Zum Beispiel kann jede ℝ-lineare Karte in das Formular geschrieben werden

mit komplexen Koeffizienten a und b . Diese Karte ist genau dann holomorph, wenn b = 0 ist . Der zweite Summand ist real differenzierbar, erfüllt jedoch nicht die Cauchy-Riemann-Gleichungen .

Die komplexe Analyse zeigt einige Merkmale, die in der realen Analyse nicht erkennbar sind. Zum Beispiel stimmen zwei beliebige holomorphe Funktionen f und g , die sich auf eine beliebig kleine offene Teilmenge von einigen, notwendigerweise überall überein. Meromorphe Funktionen , Funktionen, die lokal als f ( z ) / ( z - z 0 ) n mit einer holomorphen Funktion f geschrieben werden können , haben noch einige Merkmale holomorpher Funktionen gemeinsam. Andere Funktionen haben wesentliche Singularitäten wie sin (1 / z ) bei z = 0.

Anwendungen [ bearbeiten ]

Komplexe Zahlen finden Anwendung in vielen wissenschaftlichen Bereichen, einschließlich Signalverarbeitung , Steuerungstheorie , Elektromagnetismus , Fluiddynamik , Quantenmechanik , Kartographie und Schwingungsanalyse . Einige dieser Anwendungen werden nachfolgend beschrieben.

Geometrie [ Bearbeiten ]

Formen [ bearbeiten ]

Drei nicht kollineare Punkte in der Ebene bestimmen die Form des Dreiecks . Wenn Sie die Punkte in der komplexen Ebene lokalisieren, kann diese Form eines Dreiecks durch komplexe Arithmetik ausgedrückt werden als

Die Form eines Dreiecks bleibt gleich, wenn die komplexe Ebene durch Translation oder Dilatation (durch affine Transformation ) transformiert wird , die dem intuitiven Begriff der Form entspricht und Ähnlichkeit beschreibt . Somit gehört jedes Dreieck zu einer Ähnlichkeitsklasse von Dreiecken mit derselben Form. [50]

Fraktale Geometrie [ Bearbeiten ]

Das Mandelbrot-Set mit den beschrifteten realen und imaginären Achsen.

Das Mandelbrot-Set ist ein beliebtes Beispiel für ein Fraktal, das auf der komplexen Ebene gebildet wird. Es wird definiert, indem jeder Ort aufgetragen wird, an dem die Iteration der Sequenz nicht divergiert, wenn sie unendlich iteriert wird . Ebenso haben Julia-Sets die gleichen Regeln, außer wo sie konstant bleiben.

Dreiecke [ bearbeiten ]

Jedes Dreieck hat eine einzigartige Steiner-Inellipse - eine Ellipse innerhalb des Dreiecks, die die Mittelpunkte der drei Seiten des Dreiecks tangiert. Die Brennpunkte der Steiner-Inellipse eines Dreiecks können gemäß Mardens Theorem wie folgt gefunden werden : [51] [52] Bezeichnen Sie die Eckpunkte des Dreiecks in der komplexen Ebene als a = x A + y A i , b = x B + y B i und c = x C + y C i. Schreiben Sie die kubische Gleichung , nehmen Sie ihre Ableitung und setzen Sie die (quadratische) Ableitung mit Null gleich. Mardens Theorem besagt, dass die Lösungen dieser Gleichung die komplexen Zahlen sind, die die Positionen der beiden Brennpunkte der Steiner-Inellipse bezeichnen.

Algebraische Zahlentheorie [ Bearbeiten ]

Bau eines regulären Fünfecks mit Lineal und Kompass .

Wie oben erwähnt, hat jede nichtkonstante Polynomgleichung (in komplexen Koeffizienten) eine Lösung in . A fortiori gilt das Gleiche, wenn die Gleichung rationale Koeffizienten hat. Die Wurzeln solcher Gleichungen heißen algebraische Zahlen - sie sind ein Hauptgegenstand der algebraischen Zahlentheorie . Im Vergleich zu , die algebraischen Schließung q , das auch alle algebraischen Zahlen enthält, hat den Vorteil , in geometrisch leicht verständlich sein. Auf diese Weise können algebraische Methoden verwendet werden, um geometrische Fragen zu untersuchen und umgekehrt. Mit algebraischen Methoden, insbesondere Anwendung der Maschinerie der Feldtheorie auf das ZahlenfeldMit Wurzeln der Einheit kann gezeigt werden, dass es nicht möglich ist, ein reguläres Nonagon nur mit Kompass und Lineal zu konstruieren - ein rein geometrisches Problem.

Ein weiteres Beispiel sind Gaußsche Ganzzahlen , dh Zahlen der Form x + iy , wobei x und y Ganzzahlen sind, mit denen Quadratsummen klassifiziert werden können .

Analytische Zahlentheorie [ Bearbeiten ]

Die analytische Zahlentheorie untersucht Zahlen, oft ganze Zahlen oder Rationalen, indem sie die Tatsache ausnutzt, dass sie als komplexe Zahlen betrachtet werden können, in denen analytische Methoden verwendet werden können. Dies erfolgt durch Codierung zahlentheoretischer Informationen in komplexwertigen Funktionen. Zum Beispiel hängt die Riemannsche Zeta-Funktion ζ ( s ) mit der Verteilung von Primzahlen zusammen .

Unsachgemäße Integrale [ Bearbeiten ]

In angewandten Feldern werden häufig komplexe Zahlen verwendet, um bestimmte reelle unpassende Integrale mit komplexwertigen Funktionen zu berechnen . Es gibt verschiedene Methoden, um dies zu tun; Siehe Methoden zur Konturintegration .

Dynamische Gleichungen [ Bearbeiten ]

In Differentialgleichungen ist es üblich, zuerst alle komplexen Wurzeln r der charakteristischen Gleichung einer linearen Differentialgleichung oder eines Gleichungssystems zu finden und dann zu versuchen, das System in Form von Basisfunktionen der Form f ( t ) = e rt zu lösen . Ebenso werden in Differenzgleichungen die komplexen Wurzeln r der charakteristischen Gleichung des Differenzgleichungssystems verwendet, um zu versuchen, das System hinsichtlich Basisfunktionen der Form f ( t ) = r t zu lösen .

In der angewandten Mathematik [ bearbeiten ]

Kontrolltheorie [ Bearbeiten ]

In der Steuerungstheorie werden Systeme häufig mithilfe der Laplace-Transformation vom Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert . Die Nullen und Pole des Systems werden dann in der komplexen Ebene analysiert . Der Root-Locus , der Nyquist-Plot und die Nichols-Plot- Techniken verwenden alle die komplexe Ebene.

Bei der Root-Locus-Methode ist es wichtig, ob sich Nullen und Pole in der linken oder rechten Halbebene befinden, dh einen Realteil größer oder kleiner als Null haben. Wenn ein lineares, zeitinvariantes (LTI) System Pole hat, die sind

  • in der rechten Halbebene wird es instabil sein ,
  • alles in der linken halben Ebene wird es stabil sein ,
  • auf der imaginären Achse wird es eine marginale Stabilität haben .

Wenn ein System Nullen in der rechten Halbebene hat, ist es ein nicht minimales Phasensystem .

Signalanalyse [ Bearbeiten ]

Komplexe Zahlen werden in der Signalanalyse und anderen Feldern für eine bequeme Beschreibung für periodisch variierende Signale verwendet. Für gegebene reelle Funktionen, die tatsächliche physikalische Größen darstellen, oft in Form von Sinus und Cosinus, werden entsprechende komplexe Funktionen betrachtet, von denen die Realteile die ursprünglichen Größen sind. Für eine Sinuswelle einer bestimmten Frequenz ist der Absolutwert | z | des entsprechenden z ist die Amplitude und das Argument arg z ist die Phase .

Wenn eine Fourier-Analyse verwendet wird, um ein gegebenes reellwertiges Signal als Summe periodischer Funktionen zu schreiben, werden diese periodischen Funktionen häufig als komplexwertige Funktionen der Form geschrieben

und

wobei ω die Winkelfrequenz darstellt und die komplexe Zahl A die Phase und Amplitude wie oben erläutert codiert.

Diese Verwendung wird auch in der erweiterten digitale Signalverarbeitung und die digitale Bildverarbeitung , die digitalen Versionen der Fourier - Analyse verwenden (und Wavelet - Analyse) zu übertragen, Kompresse , Wiederherstellen und anderweitig zu verarbeiten digitale Audiosignale, Standbilder und Videosignale.

Ein weiteres Beispiel, das für die beiden Seitenbänder der Amplitudenmodulation von AM-Radio relevant ist, ist:

In der Physik [ bearbeiten ]

Elektromagnetismus und Elektrotechnik [ Bearbeiten ]

In der Elektrotechnik werden mit der Fourier-Transformation unterschiedliche Spannungen und Ströme analysiert . Die Behandlung von Widerständen , Kondensatoren und Induktivitäten kann dann vereinheitlicht werden, indem imaginäre, frequenzabhängige Widerstände für die beiden letzteren eingeführt und alle drei in einer einzigen komplexen Zahl kombiniert werden, die als Impedanz bezeichnet wird . Dieser Ansatz wird als Zeigerrechnung bezeichnet .

In der Elektrotechnik wird die imaginäre Einheit mit j bezeichnet , um Verwechslungen mit I zu vermeiden , das im Allgemeinen zur Bezeichnung von elektrischem Strom verwendet wird , oder insbesondere i , das im Allgemeinen zur Bezeichnung von momentanem elektrischem Strom verwendet wird.

Da die Spannung in einem Wechselstromkreis schwingt, kann es wie folgt dargestellt werden

Um die messbare Größe zu erhalten, wird der Realteil genommen:

Das komplexwertige Signal V ( t ) wird als analytische Darstellung des realwertigen messbaren Signals v ( t ) bezeichnet .[53]

Fluiddynamik [ Bearbeiten ]

In der Fluiddynamik werden komplexe Funktionen verwendet, um den potenziellen Fluss in zwei Dimensionen zu beschreiben .

Quantenmechanik [ Bearbeiten ]

Das komplexe Zahlenfeld ist den mathematischen Formulierungen der Quantenmechanik eigen , in denen komplexe Hilbert-Räume den Kontext für eine solche Formulierung bilden, die bequem und vielleicht am Standard ist. Die ursprünglichen Grundformeln der Quantenmechanik - die Schrödinger-Gleichung und die Heisenbergsche Matrixmechanik - verwenden komplexe Zahlen.

Relativitätstheorie [ Bearbeiten ]

In der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie werden einige Formeln für die Metrik zur Raumzeit einfacher, wenn man die Zeitkomponente des Raumzeitkontinuums als imaginär ansieht. (Dieser Ansatz ist in der klassischen Relativitätstheorie nicht mehr Standard, wird jedoch in der Quantenfeldtheorie auf wesentliche Weise verwendet .) Komplexe Zahlen sind für Spinoren wesentlich , die eine Verallgemeinerung der in der Relativitätstheorie verwendeten Tensoren darstellen .

Verallgemeinerungen und verwandte Begriffe [ Bearbeiten ]

Cayley Q8-Quaternionsdiagramm, das Multiplikationszyklen mit i , j und k zeigt

Der Prozess der Erweiterung des Feldes real von Real auf ist als Cayley-Dickson-Konstruktion bekannt . Es kann weiter in höhere Dimensionen getragen werden, wobei die Quaternionen und Oktonionen erhalten werden, die (als realer Vektorraum) die Dimension 4 bzw. 8 haben. In diesem Zusammenhang wurden die komplexen Zahlen als Binarionen bezeichnet . [54]

So wie durch Anwenden der Konstruktion auf Real die Eigenschaft der Bestellung verloren geht, verschwinden Eigenschaften, die aus reellen und komplexen Zahlen bekannt sind, mit jeder Erweiterung. Die Quaternionen verlieren die Kommutativität, dh x · yy · x für einige Quaternionen x ,  y , und die Multiplikation von Oktonionen ist nicht assoziativ, sondern nicht assoziativ: ( x · y ) · zx · ( y · z ) für einige Oktonionen x ,  y,  Z .

Real, komplexe Zahlen, Quaternionen und Oktonionen sind normierte Divisionsalgebren über . Nach dem Satz von Hurwitz sind sie die einzigen; Die Sedenionen , der nächste Schritt in der Cayley-Dickson-Konstruktion, haben diese Struktur nicht.

Die Verdopplungsverfahren sind eng mit der im Zusammenhang regulären Darstellung von c , gedacht als - Algebra (einem r -Vektorraum mit einer Multiplikation), in Bezug auf die Basis (1,  i ) . Dies bedeutet Folgendes: die ℝ-lineare Karte

für einige feste komplexe Zahlen kann w durch eine 2 × 2- Matrix dargestellt werden (sobald eine Basis ausgewählt wurde). In Bezug auf die Basis (1,  i ) ist diese Matrix

das heißt, die im Abschnitt über die Matrixdarstellung komplexer Zahlen oben erwähnte. Während dies eine lineare Darstellung von in den 2 × 2 reellen Matrizen ist , ist es nicht die einzige. Beliebige Matrix

das Negativ der Identitätsmatrix hat die Eigenschaft , dass sein Platz ist: J 2 = - I . Dann

ist auch isomorph zum Feld und ergibt eine alternative komplexe Struktur auf 2 . Dies wird durch den Begriff einer linearen komplexen Struktur verallgemeinert .

Hyperkomplexe Zahlen verallgemeinern auch , , und . Zum Beispiel enthält dieser Begriff die Split-Komplex-Zahlen , die Elemente des Rings ℝ [ x ] / ( x 2 - 1) sind (im Gegensatz zu ℝ [ x ] / ( x 2 + 1) ). In diesem Ring hat die Gleichung a 2 = 1 vier Lösungen.

Das Feld r ist die Fertigstellung der q , das Feld der rationalen Zahlen , in Bezug auf den üblichen Absolutwert Metrik . Andere Auswahlmöglichkeiten von Metriken auf führen zu den Feldern p von p -adischen Zahlen (für jede Primzahl p ), die dadurch analog zu ℝ sind . Es gibt keine andere nicht - trivialen Formen des Abschlusses q als r und q p , von Ostrowski-Theorem . Die algebraischen Verschlüsse von ptragen immer noch eine Norm, sind aber (im Gegensatz zu ) in Bezug darauf nicht vollständig. Die Fertigstellung von stellt sich als algebraisch abgeschlossen heraus. In Analogie heißt das Feld p- adische komplexe Zahlen.

Die Felder und p und ihre endlichen Felderweiterungen, einschließlich , sind lokale Felder .

Siehe auch [ Bearbeiten ]

  • Algebraische Oberfläche
  • Kreisbewegung mit komplexen Zahlen
  • Komplexes Basissystem
  • Komplexe Geometrie
  • Dual-komplexe Zahl
  • Eisenstein ganze Zahl
  • Eulers Identität
  • Geometrische Algebra (die die komplexe Ebene als zweidimensionalen Spinor- Unterraum enthält )
  • Wurzel der Einheit
  • Komplexe Einheitennummer

Notizen [ Bearbeiten ]

  1. ^ "Komplexe Zahlen finden ebenso wie reelle und vielleicht sogar noch mehr eine Einheit mit der Natur, die wirklich bemerkenswert ist. Es ist, als ob die Natur selbst vom Umfang und der Konsistenz des komplexen Zahlensystems genauso beeindruckt ist wie wir selbst. und hat diesen Zahlen die genauen Operationen ihrer Welt auf kleinstem Raum anvertraut. " - R. Penrose (2016, S. 73) [5]
  2. ^ "Die Ebene,deren Punkte mit den Elementen von identifiziert werden,heißt komplexe Ebene" ... "Die vollständige geometrische Interpretation komplexer Zahlen und Operationen auf ihnen erschien zuerst in der Arbeit von C. Wessel (1799). Die geometrische Darstellung von Komplexe Zahlen, manchmal auch als "Argand-Diagramm" bezeichnet, wurden nach der Veröffentlichung von Arbeiten von JR Argand in den Jahren 1806 und 1814 verwendet, der die Ergebnisse von Wessel weitgehend unabhängig wiederentdeckte. - ( Solomentsev 2001 )
  3. ^ In modernen Notation wird Tartaglia-Lösung aufAusbau der dritten Potenz der Summe von zwei Kubikwurzeln zugrunde:Mit,,, u und v können in Bezugdie ausgedrückt werden p und q wieundjeweils. Daher. Wennnegativ (casus irreducibilis) ist, sollte die zweite Kubikwurzel als das komplexe Konjugat der ersten angesehen werden.
  4. ^ Es wurde bewiesen, dass imaginäre Zahlen notwendigerweise in der kubischen Formel erscheinen müssen, wenn die Gleichung drei reale, unterschiedliche Wurzeln hat von Pierre Laurent Wantzel im Jahr 1843, Vincenzo Mollame im Jahr 1890, Otto Hölder im Jahr 1891 und Adolf Kneser im Jahr 1892. Paolo Ruffini auch lieferte 1799 einen unvollständigen Beweis. - S. Confalonieri (2015) [22]
  5. ^ Argand (1814) [38] ( S. 204 ) definiert den Modul einer komplexen Zahl, nennt ihn aber nicht:
    " ils affektiv; ainsi, si , et étant réels, auf devra entender que ou . "
    [Im Folgenden werden Akzentzeichen, wo immer sie platziert sind, verwendet, um die absolute Größe der Mengen anzugeben, denen sie zugeordnet sind. Wenn also,undechte ist, sollte man verstehendassoder.]Argand [38] ( S. 208 ) definiert und die Namen
    Modul und die Richtungsfaktor einer komplexen Zahl: "... pourrait être appelé le Modul de et représenterait la Pracht absolue de la ligne , tandis que l'autre Facteur bande le Modul est l'unité, en représenterait la Richtung. ""
    [... könnte als Modul von bezeichnet werden und würde die absolute Größe der Linie darstellen (Beachten Sie, dass Argand komplexe Zahlen als Vektoren darstellt.), während der andere Faktor [nämlich ], dessen Modul Einheit [1] ist, dessen darstellen würde Richtung.] [38]
  6. ^ Gauss (1831) [30] ( S. 96 ) schreibt
    „Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter Soli numeros integros Reales versatur, ita theoremata circa Residuen biquadratica tunc tantum in summa Simplicitate ac genuina venustate glänzend, quando Campus arithmeticae ad quantitativ bestimmt imaginarias verlängern, ita ut absque beschränkung ipsius obiectum Bestandteil numeri formae a + bi , denotantibus i , pro quantitativem imaginariam -1 , atque a, b unbestimmte omnes numeros reales integros inter - et + . "
    [So wie die höhere Arithmetik bisher nur bei reellen ganzen Zahlen in Problemen untersucht wurde, so leuchten Theoreme über biquadratische Reste in größter Einfachheit und echter Schönheit, wenn das Gebiet der Arithmetik auf imaginäre Größen ausgedehnt wird, so dass ohne Einschränkungen, Zahlen der Form a + bi - i, die durch Konvention die imaginäre Größe -1 bezeichnen , und die Variablen a, b [bezeichnen] alle reellen Ganzzahlen zwischen und - bilden ein Objekt.] [30]
  7. ^ Gauss (1831) [30] ( S. 96 )
    "Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, es ist quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub seiner kontinentalen Zensur."
    [Wir werden solche Zahlen [nämlich Zahlen der Form a + bi ] "komplexe ganzzahlige Zahlen" nennen, so dass reelle [Zahlen] nicht als das Gegenteil von komplexen [Zahlen] angesehen werden, sondern [als] Typ [von Zahlen, die ] ist sozusagen in ihnen enthalten.] [30]
  8. ^ Gauss (1831) [30] ( S. 98 )
    "Productum numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est."
    [Wir nennen eine "Norm" das Produkt einer komplexen Zahl [z. a + ib ] mit seinem Konjugat [ a - ib ]. Daher sollte das Quadrat einer reellen Zahl als ihre Norm angesehen werden.] [30]
  9. ^ Für eine andere Umkehrfunktion der komplexen Exponentialfunktion (und nicht den oben definierten Hauptwert) könnte der Verzweigungsschnitt jedoch bei jedem anderen Strahl durch den Ursprung genommen werden.

Referenzen [ bearbeiten ]

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Zitierte Werke [ Bearbeiten ]

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Weiterführende Literatur [ Bearbeiten ]

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Mathematisch [ bearbeiten ]

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  • Drücken Sie, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Abschnitt 5.5 Komplexe Arithmetik" . Numerische Rezepte: Die Kunst des wissenschaftlichen Rechnens (3. Aufl.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Complex Number" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Historisch [ Bearbeiten ]

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  • Katz, Victor J. (2004). Eine Geschichte der Mathematik, Kurzfassung . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  • Nahin, Paul J. (1998). Eine imaginäre Geschichte: Die Geschichte von . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. - Eine sanfte Einführung in die Geschichte komplexer Zahlen und die Anfänge komplexer Analysen.
  • Ebbinghaus, HD; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Zahlen (Hardcover ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. - Eine fortgeschrittene Perspektive auf die historische Entwicklung des Zahlenbegriffs.