Kombinatorische Spieltheorie

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Mathematiker spielen Konane bei einem Workshop zur kombinatorischen Spieltheorie

Die kombinatorische Spieltheorie ( CGT ) ist ein Zweig der Mathematik und der theoretischen Informatik , der typischerweise sequentielle Spiele mit perfekter Information untersucht . Studie wurde auf zwei Spieler weitgehend beschränkt Spiele , die eine haben Position , in der die Spieler abwechselnd in definierte Wege oder Ändern bewegt einen definierten Gewinn Zustand zu erreichen. CGT hat traditionell keine Glücksspiele oder Spiele untersucht , die unvollständige oder unvollständige Informationen verwenden, und Spiele bevorzugt, die perfekte Informationen bietenin dem der Status des Spiels und die Menge der verfügbaren Züge immer beiden Spielern bekannt ist. [1] Mit fortschreitenden mathematischen Techniken erweitern sich jedoch die Arten von Spielen, die mathematisch analysiert werden können, so dass sich die Grenzen des Feldes ständig ändern. [2] Wissenschaftler definieren im Allgemeinen zu Beginn einer Arbeit, was sie unter einem "Spiel" verstehen, und diese Definitionen variieren häufig, da sie spezifisch für das zu analysierende Spiel sind und nicht den gesamten Umfang des Feldes darstellen sollen.

Kombinatorische Spiele umfassen bekannte Spiele wie Schach , Dame und Go , die als nicht trivial angesehen werden, und Tic-Tac-Toe , das als trivial im Sinne von "leicht zu lösen" angesehen wird. Einige kombinatorische Spiele haben möglicherweise auch einen unbegrenzten Spielbereich, wie z. B. unendliches Schach . In CGT werden die Bewegungen in diesen und anderen Spielen als Spielbaum dargestellt .

Kombinatorische Spiele umfassen auch kombinatorische Ein-Spieler-Rätsel wie Sudoku und Nicht-Spieler-Automaten wie Conways Spiel des Lebens (obwohl in der strengsten Definition für "Spiele" mehr als ein Teilnehmer erforderlich ist, daher die Bezeichnung von "Puzzle" und "Automaten". [3] )

Die Spieltheorie umfasst im Allgemeinen Glücksspiele, Spiele mit unvollkommenem Wissen und Spiele, in denen sich Spieler gleichzeitig bewegen können, und sie repräsentieren in der Regel reale Entscheidungssituationen.

CGT hat einen anderen Schwerpunkt als die "traditionelle" oder "wirtschaftliche" Spieltheorie, die ursprünglich entwickelt wurde, um Spiele mit einfacher kombinatorischer Struktur, aber mit Zufallselementen zu untersuchen (obwohl sie auch sequentielle Züge berücksichtigt, siehe Spiel in umfangreicher Form ). Im Wesentlichen hat CGT neue Methoden zur Analyse von Spielbäumen beigesteuert, beispielsweise unter Verwendung surrealer Zahlen , die eine Unterklasse aller Zwei-Spieler-Spiele mit perfekter Information darstellen. [3] Die von CGT untersuchte Art von Spielen ist auch für künstliche Intelligenz von Interesse , insbesondere für die automatisierte Planung und Planung . In der CGT wurde weniger Wert darauf gelegt, praktische Suchalgorithmen (wie das Alpha-Beta-Bereinigen) zu verfeinernHeuristik in den meisten Lehrbüchern für künstliche Intelligenz enthalten), aber stärkere Betonung deskriptiver theoretischer Ergebnisse (z. B. Messungen der Spielkomplexität oder Beweise für eine optimale Lösungsexistenz ohne Angabe eines Algorithmus, wie z. B. das Argument des Strategie-Diebstahls ).

Ein wichtiger Begriff in CGT ist der des gelösten Spiels . Zum Beispiel wird Tic-Tac-Toe als gelöstes Spiel angesehen, da nachgewiesen werden kann, dass jedes Spiel zu einem Unentschieden führt, wenn beide Spieler optimal spielen. Es ist schwierig, ähnliche Ergebnisse für Spiele mit reichhaltigen kombinatorischen Strukturen abzuleiten. Zum Beispiel, es wurde im Jahr 2007 bekannt gegeben , dass Kontrolleure wurde schwach gelöst -optimale Spiel von beiden Seiten führen auch zu einem Unentschieden, aber dieses Ergebnis war ein computergestützte Beweis . [4] Andere Spiele der realen Welt sind heute meist zu kompliziert, um eine vollständige Analyse zu ermöglichen, obwohl die Theorie in jüngster Zeit einige Erfolge bei der Analyse von Go-Endspielen erzielt hat. Anwenden von CGT auf eine Positionversucht, die optimale Abfolge von Zügen für beide Spieler zu bestimmen, bis das Spiel endet, und auf diese Weise den optimalen Zug in jeder Position zu ermitteln. In der Praxis ist dieser Prozess äußerst schwierig, es sei denn, das Spiel ist sehr einfach.

Es kann hilfreich sein, zwischen kombinatorischen "Mathematikspielen" zu unterscheiden, die vor allem für Mathematiker und Wissenschaftler von Interesse sind, um darüber nachzudenken und sie zu lösen, und kombinatorischen "Spielspielen", die für die allgemeine Bevölkerung als eine Form der Unterhaltung und des Wettbewerbs von Interesse sind. [5] Eine Reihe von Spielen fällt jedoch in beide Kategorien. Nim zum Beispiel ist ein Spielspiel, das maßgeblich zur Gründung von CGT beiträgt, und eines der ersten Computerspiele. [6] Tic-Tac-Toe wird immer noch verwendet, um Informatikstudenten Grundprinzipien des Spiel- KI- Designs beizubringen .

Geschichte [ bearbeiten ]

CGT entstand in Bezug auf die Theorie der unparteiischen Spiele , bei der jedes Spiel, das einem Spieler zur Verfügung steht, auch dem anderen Spieler zur Verfügung stehen muss. Ein solches Spiel ist nim , das vollständig gelöst werden kann. Nim ist ein unparteiisches Spiel für zwei Spieler und unterliegt den normalen Spielbedingungen , was bedeutet, dass ein Spieler, der sich nicht bewegen kann, verliert. In den 1930er Jahren zeigte das Sprague-Grundy-Theorem , dass alle unparteiischen Spiele in nim Haufen gleichwertig sind, was zeigt, dass größere Vereinigungen in Spielen möglich sind, die auf kombinatorischer Ebene betrachtet werden und bei denen detaillierte Strategien wichtig sind, nicht nur Auszahlungen.

In den 1960er Jahren führten Elwyn R. Berlekamp , John H. Conway und Richard K. Guy gemeinsam die Theorie eines Partisanenspiels ein , bei dem die Anforderung, dass ein Spiel, das einem Spieler zur Verfügung steht, beiden zur Verfügung steht, gelockert wird. Ihre Ergebnisse wurden 1982 in ihrem Buch Winning Ways for your Mathematical Plays veröffentlicht. Die erste zu diesem Thema veröffentlichte Arbeit war jedoch Conways 1976 erschienenes Buch über Zahlen und Spiele , auch bekannt als ONAG, in dem das Konzept surrealer Zahlen und die Verallgemeinerung eingeführt wurden Spiele. On Numbers and Games war auch eine Frucht der Zusammenarbeit zwischen Berlekamp, ​​Conway und Guy.

Kombinatorische Spiele werden im Allgemeinen gemäß der Konvention in eine Form gebracht, in der ein Spieler gewinnt, wenn der andere keine Züge mehr hat. Es ist einfach, ein endliches Spiel mit nur zwei möglichen Ergebnissen in ein gleichwertiges umzuwandeln, wenn diese Konvention gilt. Eines der wichtigsten Konzepte in der Theorie der kombinatorischen Spiele ist das der Summe von zwei Spielen. Dies ist ein Spiel, bei dem jeder Spieler zu jedem Zeitpunkt im Spiel entweder das eine oder das andere Spiel spielen kann und ein Spieler gewinnt wenn sein Gegner in keinem Spiel einen Zug hat. Diese Art der Kombination von Spielen führt zu einer reichhaltigen und leistungsfähigen mathematischen Struktur.

Conway erklärte in ONAG, dass die Inspiration für die Theorie der Partisanenspiele auf seiner Beobachtung des Spiels in Go- Endspielen beruhte , die oft in Summen einfacherer Endspiele zerlegt werden können, die in verschiedenen Teilen des Bretts voneinander isoliert sind.

Beispiele [ Bearbeiten ]

Der Einführungstext Winning Ways führte eine große Anzahl von Spielen ein, aber die folgenden wurden als motivierende Beispiele für die Einführungstheorie verwendet:

  • Blau-Rot- Hackenbush - Auf der endlichen Ebene ermöglicht dieses kombinierte Partisanenspiel die Konstruktion von Spielen, deren Werte dyadische rationale Zahlen sind . Auf der unendlichen Ebene können alle realen Werte sowie viele unendliche Werte konstruiert werden, die in die Klasse der surrealen Zahlen fallen .
  • Blau-Rot-Grün-Hackenbush - Ermöglicht zusätzliche Spielwerte, die keine Zahlen im herkömmlichen Sinne sind, z. B. Stern .
  • Kröten und Frösche - Ermöglicht verschiedene Spielwerte. Im Gegensatz zu den meisten anderen Spielen kann eine Position leicht durch eine kurze Zeichenfolge dargestellt werden.
  • Domineering - Verschiedene interessante Spiele, wie z. B. heiße Spiele , erscheinen als Positionen im Domineering, da manchmal ein Anreiz besteht, sich zu bewegen, und manchmal nicht. Dies ermöglicht die Diskussion der Temperatur eines Spiels .
  • Nim - Ein unparteiisches Spiel . Dies ermöglicht die Konstruktion der Nimber . (Es kann auch als nur grüner Sonderfall von Blau-Rot-Grün-Hackenbush angesehen werden.)

Das klassische Spiel Go hatte Einfluss auf die frühe kombinatorische Spieltheorie, und Berlekamp und Wolfe entwickelten anschließend eine Endspiel- und Temperaturtheorie dafür (siehe Referenzen). Damit waren sie in der Lage, plausible Go-Endspielpositionen zu konstruieren, von denen aus sie erfahrenen Go-Spielern eine Auswahl an Seiten geben und sie dann so oder so besiegen konnten.

Ein weiteres Spiel, das im Kontext der kombinatorischen Spieltheorie untersucht wurde, ist Schach . 1953 schrieb Alan Turing über das Spiel: "Wenn man mit Hilfe von mathematischen Symbolen, falls erforderlich, auf Englisch ganz eindeutig erklären kann, wie eine Berechnung durchzuführen ist, ist es immer möglich, jeden digitalen Computer so zu programmieren, dass er diese Berechnung durchführt." vorausgesetzt, die Speicherkapazität ist ausreichend. " [7] In einer Arbeit von 1950 schätzte Claude Shannon die Untergrenze der Spielbaumkomplexität des Schachs auf 10 120 , und heute wird dies als Shannon-Zahl bezeichnet . [8]Schach bleibt ungelöst, obwohl umfangreiche Studien, einschließlich Arbeiten unter Verwendung von Supercomputern, Schach-Endspiel- Tabellen erstellt haben , die das Ergebnis eines perfekten Spiels für alle Endspiele mit sieben oder weniger Figuren zeigen. Unendliches Schach hat eine noch größere kombinatorische Komplexität als Schach (es sei denn, es werden nur begrenzte Endspiele oder zusammengesetzte Positionen mit einer kleinen Anzahl von Figuren untersucht).

Übersicht [ Bearbeiten ]

Ein Spiel ist im einfachsten Sinne eine Liste möglicher "Züge", die zwei Spieler, links und rechts genannt , ausführen können. Die Spielposition, die sich aus einer Bewegung ergibt, kann als ein anderes Spiel betrachtet werden. Diese Idee, Spiele im Hinblick auf ihre möglichen Bewegungen zu anderen Spielen zu betrachten, führt zu einer rekursiven mathematischen Definition von Spielen, die in der kombinatorischen Spieltheorie Standard ist. In dieser Definition hat jedes Spiel die Notation {L | R} . L ist die Menge der Spielpositionen, zu denen sich der linke Spieler bewegen kann, und R ist die Menge der Spielpositionen, zu denen sich der rechte Spieler bewegen kann; Jede Position in L und R wird als Spiel mit derselben Notation definiert.

Verwendung Domineering als Beispiel beschriftet jeder der sechzehn Felder der vier-mal-vier Platte durch A1 für den oberen äußersten linken Platz, C2 für das dritte Feld von links in der zweiten Reihe von oben, und so weiter. Wir verwenden zB (D3, D4), um für die Spielposition zu stehen, in der ein vertikaler Domino in der unteren rechten Ecke platziert wurde. Dann kann die Ausgangsposition in kombinatorischer spieltheoretischer Notation als beschrieben werden

Im Standard-Cross-Cram-Spiel wechseln sich die Spieler ab, aber diese Abwechslung wird implizit durch die Definitionen der kombinatorischen Spieltheorie behandelt, anstatt innerhalb der Spielzustände codiert zu werden.

Das obige Spiel beschreibt ein Szenario, in dem für jeden Spieler nur noch ein Zug übrig ist. Wenn einer dieser Spieler diesen Zug macht, gewinnt dieser Spieler. (Ein irrelevantes offenes Quadrat bei C3 wurde im Diagramm weggelassen.) Das {|} in der Zugliste jedes Spielers (entsprechend dem einzelnen übrig gebliebenen Quadrat nach dem Zug) wird als Nullspiel bezeichnet und kann tatsächlich mit 0 abgekürzt werden Kein Spiel, keiner der Spieler hat gültige Züge. Somit verliert der Spieler, der an der Reihe ist, wenn das Nullspiel beginnt, automatisch.

Die Art des Spiels im obigen Diagramm hat ebenfalls einen einfachen Namen. es wird das Sternenspiel genannt , das auch abgekürzt werden kann ∗. Im Sternenspiel führt der einzig gültige Zug zum Nullspiel, was bedeutet, dass jeder, der während des Sternenspiels an der Reihe ist, automatisch gewinnt.

Eine zusätzliche Art von Spiel, die in Domineering nicht zu finden ist, ist ein Loop- Spiel, bei dem ein gültiger Zug von links oder rechts ein Spiel ist, das dann zum ersten Spiel zurückführen kann. Dame wird zum Beispiel schleifenförmig, wenn eines der Teile befördert wird, da es dann endlos zwischen zwei oder mehr Quadraten wechseln kann. Ein Spiel, das solche Züge nicht besitzt, heißt Loopfree .

Spielabkürzungen [ Bearbeiten ]

Zahlen [ bearbeiten ]

Zahlen geben die Anzahl der freien Züge oder den Zugvorteil eines bestimmten Spielers an. Konventionell stellen positive Zahlen einen Vorteil für Links dar, während negative Zahlen einen Vorteil für Rechts darstellen. Sie werden rekursiv definiert, wobei 0 der Basisfall ist.

0 = {|}
1 = {0 |}, 2 = {1 |}, 3 = {2 |}
−1 = {| 0}, −2 = {| −1}, −3 = {| −2}

Das Nullspiel ist ein Verlust für den ersten Spieler.

Die Summe der Zahlenspiele verhält sich wie die ganzen Zahlen, zum Beispiel 3 + −2 = 1.

Stern [ Bearbeiten ]

Stern , geschrieben als ∗ oder {0 | 0}, ist ein Gewinn für den ersten Spieler, da jeder Spieler (wenn er sich als erster im Spiel bewegt) zu einem Nullspiel wechseln muss und daher gewinnt.

∗ + ∗ = 0, da der erste Spieler eine Kopie von ∗ in eine 0 verwandeln muss und der andere Spieler dann auch die andere Kopie von ∗ in eine 0 verwandeln muss; Zu diesem Zeitpunkt würde der erste Spieler verlieren, da 0 + 0 keine Züge zulässt.

Das Spiel ∗ ist weder positiv noch negativ; es und alle anderen Spiele , in denen die ersten Spieler gewinnt (unabhängig davon , welche Seite der Spieler eingeschaltet ist) sollen sein fuzzy mit oder mit verwirrt 0; symbolisch schreiben wir ∗ || 0.

Nach oben [ Bearbeiten ]

Up , geschrieben als ↑, ist eine Position in der kombinatorischen Spieltheorie. [9] In Standardnotation ist ↑ = {0 | ∗}.

- ↑ = ↓ ( unten )

Up ist streng positiv (↑> 0), aber infinitesimal . Up ist in Winning Ways für Ihre mathematischen Spiele definiert .

Nach unten [ bearbeiten ]

Down , geschrieben als ↓, ist eine Position in der kombinatorischen Spieltheorie. [9] In Standardnotation ist ↓ = {∗ | 0}.

- ↓ = ↑ ( auf )

Down ist streng negativ (↓ <0), aber infinitesimal . Down ist in Winning Ways für Ihre mathematischen Spiele definiert .

"Heiße" Spiele [ Bearbeiten ]

Betrachten Sie das Spiel {1 | −1}. Beide Züge in diesem Spiel sind ein Vorteil für den Spieler, der sie macht; so soll das Spiel "heiß" sein; Es ist größer als eine Zahl kleiner als -1, kleiner als eine Zahl größer als 1 und unscharf mit einer beliebigen Zahl dazwischen. Es wird als ± 1 geschrieben. Es kann wie erwartet zu Zahlen addiert oder mit positiven multipliziert werden. Zum Beispiel 4 ± 1 = {5 | 3}.

Nimbers [ bearbeiten ]

Ein unparteiisches Spiel ist ein Spiel, bei dem an jeder Position des Spiels beiden Spielern die gleichen Züge zur Verfügung stehen. Zum Beispiel ist Nim unparteiisch, da jeder Satz von Objekten, die von einem Spieler entfernt werden können, vom anderen entfernt werden kann. Allerdings dominierend ist nicht unparteiisch, weil ein Spieler horizontal Domino und die anderen Orte vertikale diejenigen platziert. Ebenso ist Checkers nicht unparteiisch, da die Spieler verschiedenfarbige Figuren besitzen. Für jede Ordnungszahl kann ein unparteiisches Spiel definiert werden, das Nim verallgemeinert, bei dem jeder Spieler bei jedem Zug die Zahl durch eine kleinere Ordnungszahl ersetzen kann. Die auf diese Weise definierten Spiele werden als Nimbers bezeichnet . Der Sprague-Grundy-Satz gibt an, dass jedes unparteiische Spiel einem Nimber entspricht.

Die "kleinsten" Zahlen - die einfachsten und am wenigsten unter der üblichen Reihenfolge der Ordnungszahlen - sind 0 und ∗.

Siehe auch [ Bearbeiten ]

  • Alpha-Beta-Bereinigung , ein optimierter Algorithmus zum Durchsuchen des Spielbaums
  • Rückwärtsinduktion , Rückwärtsdenken aus einer endgültigen Situation
  • Kühlen und Heizen (kombinatorische Spieltheorie) , verschiedene Transformationen von Spielen, die sie für die Theorie zugänglicher machen
  • Verbindungsspiel , eine Art Spiel, bei dem Spieler versuchen, Verbindungen herzustellen
  • Endgame tablebase , eine Datenbank, in der erklärt wird, wie Endspiele gespielt werden
  • Expectiminimax-Baum , eine Anpassung eines Minimax-Spielbaums an Spiele mit einem Zufallselement
  • Extensive-Form-Spiel , ein Spielbaum, der mit Auszahlungen und Informationen angereichert ist, die den Spielern zur Verfügung stehen
  • Spiel Klassifizierung , ein Artikel Weg der Klassierungsspiele diskutieren
  • Spielkomplexität , ein Artikel, der Möglichkeiten zur Messung der Komplexität von Spielen beschreibt
  • Grundys Spiel , ein mathematisches Spiel, in dem viele Objekte aufgeteilt werden
  • Multi-Agent-System , eine Art Computersystem zur Lösung komplexer Probleme
  • Positionsspiel , eine Art Spiel, bei dem Spieler zuvor nicht beanspruchte Positionen beanspruchen
  • Schach lösen
  • Sylver-Münzprägung , ein mathematisches Spiel zur Auswahl positiver Ganzzahlen, die nicht die Summe nicht negativer Vielfacher zuvor gewählter Ganzzahlen sind
  • Wythoffs Spiel , ein mathematisches Spiel, bei dem Objekte von einem oder zwei Stapeln genommen werden
  • Topologisches Spiel , eine Art mathematisches Spiel, das in einem topologischen Raum gespielt wird
  • Zugzwang , verpflichtet zu spielen, wenn dies nachteilig ist

Notizen [ Bearbeiten ]

  1. ^ Lektionen im Spiel, p. 3
  2. ^ Thomas S. Fergussons Analyse des Pokers ist ein Beispiel für die Ausweitung von CGT auf Spiele, die Elemente des Zufalls enthalten. Die Erforschung von Drei-Spieler-NIM ist ein Beispiel für eine Studie, die über Zwei-Spieler-Spiele hinausgeht. Die Analyse von Partisanenspielen durch Conway, Guy und Berlekamp ist vielleicht die berühmteste Erweiterung des Anwendungsbereichs von CGT und geht über das Studium unparteiischer Spiele hinaus.
  3. ^ a b http://erikdemaine.org/papers/AlgGameTheory_GONC3/paper.pdf
  4. ^ Schaeffer, J.; Burch, N.; Björnsson, Y.; Kishimoto, A.; Müller, M.; Lake, R.; Lu, P.; Sutphen, S. (2007). "Checkers ist gelöst". Wissenschaft . 317 (5844): 1518–1522. Bibcode : 2007Sci ... 317.1518S . CiteSeerX  10.1.1.95.5393 . doi : 10.1126 / science.1144079 . PMID  17641166 .
  5. ^ Fraenkel, Aviezri (2009). "Kombinatorische Spiele: Ausgewählte Bibliographie mit einer prägnanten Gourmet-Einführung". Spiele ohne Chance 3 . 56 : 492.
  6. ^ Grant, Eugene F.; Lardner, Rex (2. August 1952). "Das Gespräch der Stadt - Es" . Der New Yorker .
  7. ^ Alan Turing. "Digitale Computer für Spiele" . Universität von Southampton und King's College Cambridge. p. 2.
  8. ^ Claude Shannon (1950). "Programmieren eines Computers zum Schachspielen" (PDF) . Philosophisches Magazin . 41 (314): 4. Archiviert vom Original (PDF) am 06.07.2010. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  9. ^ a b E. Berlekamp; JH Conway; R. Guy (1982). Gewinnmöglichkeiten für Ihre mathematischen Spiele . Ich . Akademische Presse. ISBN 0-12-091101-9.
    E. Berlekamp; JH Conway; R. Guy (1982). Gewinnmöglichkeiten für Ihre mathematischen Spiele . II . Akademische Presse. ISBN 0-12-091102-7.

Referenzen [ bearbeiten ]

  • Albert, Michael H . ; Nowakowski, Richard J.; Wolfe, David (2007). Lektionen im Spiel: Eine Einführung in die kombinatorische Spieltheorie . AK Peters Ltd. ISBN 978-1-56881-277-9.
  • Beck, József (2008). Kombinatorische Spiele: Tic-Tac-Toe-Theorie . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46100-9.
  • Berlekamp, ​​E . ; Conway, JH ; Guy, R. (1982). Gewinnmöglichkeiten für Ihre mathematischen Spiele : Spiele im Allgemeinen . Akademische Presse. ISBN 0-12-091101-9.2. Auflage, AK Peters Ltd (2001–2004), ISBN 1-56881-130-6 , ISBN 1-56881-142-X  
  • Berlekamp, ​​E.; Conway, JH; Guy, R. (1982). Gewinnmöglichkeiten für Ihre mathematischen Spiele: Insbesondere Spiele . Akademische Presse. ISBN 0-12-091102-7.2. Auflage, AK Peters Ltd (2001–2004), ISBN 1-56881-143-8 , ISBN 1-56881-144-6 .  
  • Berlekamp, ​​Elwyn ; Wolfe, David (1997). Mathematical Go: Chillen bringt den letzten Punkt . AK Peters Ltd. ISBN 1-56881-032-6.
  • Bewersdorff, Jörg (2004). Glück, Logik und weiße Lügen: Die Mathematik der Spiele . AK Peters Ltd. ISBN 1-56881-210-8. Siehe insbesondere die Abschnitte 21–26.
  • Conway, John Horton (1976). Über Zahlen und Spiele . Akademische Presse. ISBN 0-12-186350-6.2. Auflage, AK Peters Ltd (2001), ISBN 1-56881-127-6 . 
  • Robert A. Hearn; Erik D. Demaine (2009). Spiele, Rätsel und Berechnungen . AK Peters, Ltd. ISBN 978-1-56881-322-6.

Externe Links [ Bearbeiten ]

  • Liste der kombinatorischen Links zur Spieltheorie auf der Homepage von David Eppstein
  • Eine Einführung in Conways Spiele und Zahlen von Dierk Schleicher und Michael Stoll
  • Zusammenfassung der Begriffe der kombinatorischen Spieltheorie von Bill Spight
  • Workshop zur kombinatorischen Spieltheorie, Banff International Research Station, Juni 2005