Kurve

In der Mathematik ist eine Kurve ( in älteren Texten auch als gekrümmte Linie bezeichnet) ein Objekt ähnlich einer Linie , das jedoch nicht gerade sein muss .

Eine Parabel , eine der einfachsten Kurven nach (geraden) Linien

Intuitiv kann eine Kurve als die Spur betrachtet werden, die ein sich bewegender Punkt hinterlässt . Dies ist die Definition, die vor mehr als 2000 Jahren in Euklids Elementen erschien : "Die [gekrümmte] Linie ^[a] ist […] die erste Quantitätsart, die nur eine Dimension hat, nämlich Länge, ohne Breite oder Tiefe, und ist nichts anderes als der Fluss oder Lauf des Punktes, der […] von seiner imaginären Bewegung etwas Überbleibsel in der Länge hinterlässt, ohne jegliche Breite. " ^[1]

Diese Definition einer Kurve wurde in der modernen Mathematik wie folgt formalisiert: Eine Kurve ist das Bild eines Intervalls zu einem topologischen Raum durch eine stetige Funktion . In einigen Kontexten wird die Funktion, die die Kurve definiert, als Parametrisierung bezeichnet , und die Kurve ist eine parametrische Kurve . In diesem Artikel werden diese Kurven manchmal als topologische Kurven bezeichnet , um sie von eingeschränkteren Kurven wie differenzierbaren Kurven zu unterscheiden . Diese Definition umfasst die meisten Kurven, die in Mathematik studiert werden. Bemerkenswerte Ausnahmen sind Pegelkurven (die Vereinigungen von Kurven und isolierten Punkten sind) und algebraische Kurven (siehe unten). Niveaukurven und algebraische Kurven werden manchmal als implizite Kurven bezeichnet , da sie im Allgemeinen durch implizite Gleichungen definiert werden .

Trotzdem ist die Klasse der topologischen Kurven sehr breit und enthält einige Kurven, die nicht so aussehen, wie man es von einer Kurve erwarten kann, oder sogar nicht gezeichnet werden können. Dies ist der Fall bei raumfüllenden Kurven und fraktalen Kurven . Um mehr Regelmäßigkeit zu gewährleisten, wird häufig angenommen, dass die Funktion, die eine Kurve definiert, differenzierbar ist , und die Kurve wird dann als differenzierbare Kurve bezeichnet .

Eine ebene algebraische Kurve ist die Nullmenge eines Polynoms in zwei unbestimmten Zahlen . Allgemeiner ist eine algebraische Kurve die Nullmenge einer endlichen Menge von Polynomen, die die weitere Bedingung erfüllt, eine algebraische Variante der Dimension Eins zu sein. Wenn die Koeffizienten der Polynome zu einem Feld $k gehören$ , wird die Kurve als über $k$ definiert bezeichnet . Im allgemeinen Fall einer reellen algebraischen Kurve , wobei $k$ das Feld reeller Zahlen ist , ist eine algebraische Kurve eine endliche Vereinigung topologischer Kurven. Wenn komplexe Nullen betrachtet werden, hat man eine komplexe algebraische Kurve , die aus topologischer Sicht keine Kurve, sondern eine Oberfläche ist und oft als Riemann-Oberfläche bezeichnet wird . Obwohl es sich nicht um Kurven im gesunden Menschenverstand handelt, wurden algebraische Kurven, die über andere Felder definiert wurden, umfassend untersucht. Insbesondere algebraische Kurven über einem endlichen Feld werden in der modernen Kryptographie häufig verwendet .

Geschichte

Megalithkunst aus Newgrange zeigt frühes Interesse an Kurven

Das Interesse an Kurven begann lange bevor sie Gegenstand mathematischer Studien waren. Dies zeigt sich in zahlreichen Beispielen ihrer dekorativen Verwendung in der Kunst und an Alltagsgegenständen aus prähistorischer Zeit. ^[2] Kurven oder zumindest ihre grafischen Darstellungen sind einfach zu erstellen, beispielsweise mit einem Stock auf dem Sand am Strand.

Historisch gesehen ist der Begriff Linie wurde anstelle der moderneren Begriff Kurve . Daher wurden die Begriffe gerade Linie und rechte Linie verwendet, um heutige Linien von gekrümmten Linien zu unterscheiden. Zum Beispiel wird in Buch I der Euklidischen Elemente eine Linie als "breitlose Länge" definiert (Def. 2), während eine gerade Linie als "eine Linie definiert wird, die gleichmäßig mit den Punkten auf sich selbst liegt" (Def. 4). . Euklids Vorstellung von einer Linie wird vielleicht durch die Aussage "Die Extremitäten einer Linie sind Punkte" (Def. 3) verdeutlicht. ^[3] Spätere Kommentatoren klassifizierten Zeilen weiter nach verschiedenen Schemata. Zum Beispiel: ^[4]

Zusammengesetzte Linien (Linien, die einen Winkel bilden)
Zusammengesetzte Linien
- Bestimmen (Linien, die sich nicht unbegrenzt erstrecken, wie z. B. der Kreis)
- Unbestimmt (Linien, die sich unbegrenzt erstrecken, wie die gerade Linie und die Parabel)

Die durch Schneiden eines Kegels ( Kegelschnitte ) erzeugten Kurven gehörten zu den im antiken Griechenland untersuchten Kurven.

Die griechischen Geometer hatten viele andere Arten von Kurven untersucht. Ein Grund war ihr Interesse an der Lösung geometrischer Probleme, die mit Standardkompass- und Linealkonstruktionen nicht gelöst werden konnten . Diese Kurven umfassen:

Die von Apollonius von Perga eingehend untersuchten Kegelschnitte
Das Cissoid von Diokles , von Diokles untersucht und als Methode zur Verdoppelung des Würfels verwendet . ^[5]
Das Conchoid von Nicomedes , das von Nicomedes als Methode untersucht wurde, um sowohl den Würfel zu verdoppeln als auch einen Winkel zu schneiden . ^[6]
Die archimedische Spirale , die von Archimedes als Methode zur Dreiteilung eines Winkels und zur Quadratur des Kreises untersucht wurde . ^[7]
Die Spiric Abschnitte , Abschnitte von Tori durch studiert Perseus als Abschnitt Kegel hatte Apollonius untersucht worden.

Durch die analytische Geometrie konnten Kurven wie das Folium of Descartes mithilfe von Gleichungen anstelle einer geometrischen Konstruktion definiert werden.

Ein grundlegender Fortschritt in der Kurventheorie war die Einführung der analytischen Geometrie durch René Descartes im 17. Jahrhundert. Dies ermöglichte die Beschreibung einer Kurve unter Verwendung einer Gleichung anstelle einer aufwändigen geometrischen Konstruktion. Dies ermöglichte nicht nur die Definition und Untersuchung neuer Kurven, sondern auch die formale Unterscheidung zwischen algebraischen Kurven , die mithilfe von Polynomgleichungen definiert werden können , und transzendentalen Kurven , die dies nicht können. Zuvor wurden Kurven als "geometrisch" oder "mechanisch" beschrieben, je nachdem, wie sie erzeugt wurden oder angeblich erzeugt werden konnten. ^[2]

Kegelschnitte wurden in der Astronomie von Kepler angewendet . Newton arbeitete auch an einem frühen Beispiel in der Variationsrechnung . Lösungen für Variationsprobleme wie die Brachistochron- und Tautochron- Fragen führten die Eigenschaften von Kurven auf neue Weise ein (in diesem Fall die Zykloide ). Die Oberleitung erhält ihren Namen als Lösung für das Problem einer hängenden Kette, eine Frage, die routinemäßig mittels Differentialrechnung zugänglich wurde .

Im achtzehnten Jahrhundert begannen die Anfänge der Theorie der ebenen algebraischen Kurven im Allgemeinen. Newton hatte die kubischen Kurven in der allgemeinen Beschreibung der realen Punkte in "Ovale" untersucht. Die Aussage des Satzes von Bézout zeigte eine Reihe von Aspekten, die der Geometrie der Zeit nicht direkt zugänglich waren, was mit singulären Punkten und komplexen Lösungen zu tun hatte.

Seit dem neunzehnten Jahrhundert wird die Kurventheorie als Sonderfall der Dimension eins der Theorie der Mannigfaltigkeiten und algebraischen Varietäten angesehen . Dennoch bleiben viele Fragen kurvenspezifisch, wie z. B. raumfüllende Kurven , der Jordan-Kurvensatz und Hilberts sechzehntes Problem .

Topologische Kurve

Eine topologische Kurve kann durch eine kontinuierliche Funktion angegeben werden ${\ displaystyle \ gamma \ Doppelpunkt I \ rightarrow X}$ aus einem Intervall $I$ der reellen Zahlen in einen topologischen Raum $X$ . Eigentlich ist die Kurve das Bild von ${\ displaystyle \ gamma.}$ In einigen Kontexten ${\ displaystyle \ gamma}$ selbst wird als Kurve bezeichnet, insbesondere wenn das Bild nicht so aussieht, wie es allgemein als Kurve bezeichnet wird, und nicht ausreichend charakterisiert wird ${\ displaystyle \ gamma.}$

Beispielsweise füllt das Bild der Peano-Kurve oder allgemeiner einer raumfüllenden Kurve ein Quadrat vollständig aus und gibt daher keine Informationen darüber, wie ${\ displaystyle \ gamma}$ ist definiert.

Eine Kurve ${\ displaystyle \ gamma}$ ist geschlossen ^[8] oder ist eine Schleife, wenn ${\ displaystyle I = [a, b]}$ und ${\ displaystyle \ gamma (a) = \ gamma (b)}$ . Eine geschlossene Kurve ist somit das Bild einer kontinuierlichen Abbildung eines Kreises .

Wenn die Domäne einer topologischen Kurve ein geschlossenes und begrenztes Intervall ist ${\ displaystyle I = [a, b]}$ wird es als Pfad bezeichnet , der auch als topologischer Bogen (oder einfach als Bogen ) bezeichnet wird.

Eine Kurve ist einfach, wenn es sich um das Bild eines Intervalls oder eines Kreises durch eine injektive kontinuierliche Funktion handelt. Mit anderen Worten, wenn eine Kurve durch eine stetige Funktion definiert ist ${\ displaystyle \ gamma}$ Mit einem Intervall als Domäne ist die Kurve genau dann einfach, wenn zwei verschiedene Punkte des Intervalls unterschiedliche Bilder haben, außer möglicherweise, wenn die Punkte die Endpunkte des Intervalls sind. Intuitiv ist eine einfache Kurve eine Kurve, die "sich nicht kreuzt und keine fehlenden Punkte hat". ^[9]

Eine Drachenkurve mit einer positiven Fläche

Eine einfache geschlossene Kurve wird auch als Jordan-Kurve bezeichnet . Der Jordan-Kurvensatz besagt, dass das Mengenkomplement in einer Ebene einer Jordan-Kurve aus zwei verbundenen Komponenten besteht (dh die Kurve teilt die Ebene in zwei nicht schneidende Bereiche , die beide verbunden sind).

Eine ebene Kurve ist eine Kurve, für die ${\ displaystyle X}$ ist die euklidische Ebene - dies sind die zuerst angetroffenen Beispiele - oder in einigen Fällen die projektive Ebene .Eine Raumkurve ist eine Kurve für die ${\ displaystyle X}$ ist mindestens dreidimensional; eine Schrägkurve ist eine Raumkurve, die in keiner Ebene liegt. Diese Definitionen von Ebenen-, Raum- und Schrägkurven gelten auch für reale algebraische Kurven , obwohl die obige Definition einer Kurve nicht gilt (eine reale algebraische Kurve kann getrennt werden ).

Die Definition einer Kurve umfasst Zahlen, die im allgemeinen Sprachgebrauch kaum als Kurven bezeichnet werden können. Beispielsweise kann das Bild einer einfachen Kurve ein Quadrat in der Ebene bedecken ( raumfüllende Kurve ) und somit eine positive Fläche haben. ^[10] Fraktale Kurven können Eigenschaften haben, die für den gesunden Menschenverstand seltsam sind. Beispielsweise kann eine fraktale Kurve eine Hausdorff-Dimension haben, die größer als eins ist (siehe Koch-Schneeflocke ), und sogar eine positive Fläche. Ein Beispiel ist die Drachenkurve , die viele andere ungewöhnliche Eigenschaften aufweist.

Differenzierbare Kurve

Grob gesagt ist eine differenzierbare Kurve eine Kurve, die als lokal das Bild einer injektiven differenzierbaren Funktion definiert ist ${\ displaystyle \ gamma \ Doppelpunkt I \ rightarrow X}$ oft von einem Intervall $I$ der reellen Zahlen in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $X.$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Genauer gesagt ist eine differenzierbare Kurve eine Teilmenge $C$ von $X,$ wobei jeder Punkt von $C$ eine solche Nachbarschaft $U hat$ , dass ${\ displaystyle C \ cap U}$ ist diffeomorph zu einem Intervall der reellen Zahlen. ^{[ Klarstellung erforderlich ]} Mit anderen Worten, eine differenzierbare Kurve ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension eins.

Differenzierbarer Lichtbogen

In der euklidischen Geometrie ist ein Bogen (Symbol: ⌒ ) eine zusammenhängende Teilmenge einer differenzierbaren Kurve.

Bögen Linien werden als Segmente oder Strahlen , je nachdem , ob sie begrenzt sind oder nicht.

Ein übliches Beispiel ist ein gekrümmter Bogen eines Kreises , ein gerufener Kreisbogen .

In einer Kugel (oder einem Sphäroid ) wird ein Bogen eines Großkreises (oder einer großen Ellipse ) als Großbogen bezeichnet .

Länge einer Kurve

Wenn ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$ ist der ${\ displaystyle n}$ -dimensionaler euklidischer Raum, und wenn ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ist eine injektive und kontinuierlich differenzierbare Funktion, dann die Länge von ${\ displaystyle \ gamma}$ ist definiert als die Menge

{\ displaystyle \ operatorname {Länge} (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {b} | \ gamma \, '(t) | ~ \ mathrm {d} {t}.}

Die Länge einer Kurve ist unabhängig von der Parametrisierung ${\ displaystyle \ gamma}$ .

Insbesondere die Länge ${\ displaystyle s}$ des Graphen einer kontinuierlich differenzierbaren Funktion ${\ displaystyle y = f (x)}$ in einem geschlossenen Intervall definiert ${\ displaystyle [a, b]}$ ist

{\ displaystyle s = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1+ [f '(x)] ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} {x}.}

Allgemeiner, wenn ${\ displaystyle X}$ ist ein metrischer Raum mit Metrik ${\ displaystyle d}$ Dann können wir die Länge einer Kurve definieren ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ bis X}$ durch

{\ displaystyle \ operatorname {Länge} (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ sup \! \ left (\ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n } d (\ gamma (t_ {i}), \ gamma (t_ {i-1})) ~ {\ Bigg |} ~ n \ in \ mathbb {N} ~ {\ text {und}} ~ a = t_ {0}

wo das Supremum alles übernommen wird ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ und alle Partitionen ${\ displaystyle t_ {0}$ von ${\ displaystyle [a, b]}$ .

Eine korrigierbare Kurve ist eine Kurve mit endlicher Länge. Eine Kurve ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ bis X}$ wird als natürlich (oder Einheitsgeschwindigkeit oder parametrisiert durch die Bogenlänge) bezeichnet, falls vorhanden ${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ in [a, b]}$ so dass ${\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2}}$ , wir haben

{\ displaystyle \ operatorname {Länge} \! \ left (\ gamma | _ {[t_ {1}, t_ {2}]} \ right) = t_ {2} -t_ {1}.}

Wenn ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ bis X}$ ist eine Lipschitz-kontinuierliche Funktion, dann ist sie automatisch korrigierbar. Darüber hinaus kann in diesem Fall die Geschwindigkeit (oder metrische Ableitung ) von definiert werden ${\ displaystyle \ gamma}$ beim ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ wie

{\ displaystyle {\ operatorname {Speed} _ {\ gamma}} (t) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ limsup _ {[a, b] \ ni s \ to t} {\ frac {d (\ gamma (s), \ gamma (t))} {| st |}}}

und dann zeig das

{\ displaystyle \ operatorname {Länge} (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {\ operatorname {Geschwindigkeit} _ {\ gamma}} (t) ~ \ mathrm {d} {t}.}

Differentialgeometrie

Während die ersten Beispiele für Kurven, die erfüllt werden, meist ebene Kurven sind (dh in alltäglichen Worten gekrümmte Linien im zweidimensionalen Raum ), gibt es offensichtliche Beispiele wie die Helix, die natürlicherweise in drei Dimensionen existieren. Die Bedürfnisse der Geometrie und zum Beispiel auch der klassischen Mechanik bestehen darin, eine Vorstellung von einer Kurve im Raum mit einer beliebigen Anzahl von Dimensionen zu haben. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine Weltlinie eine Kurve in der Raumzeit .

Wenn ${\ displaystyle X}$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit , dann können wir den Begriff der differenzierbaren Kurve in definieren ${\ displaystyle X}$ . Diese allgemeine Idee reicht aus, um viele Anwendungen von Kurven in der Mathematik abzudecken. Aus lokaler Sicht kann man nehmen ${\ displaystyle X}$ euklidischer Raum sein. Auf der anderen Seite ist es nützlich , allgemeiner zu sein, dadurch , dass (zum Beispiel) , ist es möglich , die definieren Tangentenvektoren zu ${\ displaystyle X}$ mittels dieses Begriffs der Kurve.

Wenn ${\ displaystyle X}$ ist eine glatte Mannigfaltigkeit , eine glatte Kurve in ${\ displaystyle X}$ ist eine glatte Karte

{\ displaystyle \ gamma \ Doppelpunkt I \ rightarrow X}

.

Dies ist ein Grundbegriff. Es gibt auch immer weniger eingeschränkte Ideen. Wenn ${\ displaystyle X}$ ist ein ${\ displaystyle C ^ {k}}$ Verteiler (dh ein Verteiler, dessen Diagramme sind ${\ displaystyle k}$ mal kontinuierlich differenzierbar ), dann a ${\ displaystyle C ^ {k}}$ Kurve in ${\ displaystyle X}$ ist eine solche Kurve, die nur angenommen wird ${\ displaystyle C ^ {k}}$ (dh ${\ displaystyle k}$ mal kontinuierlich differenzierbar). Wenn ${\ displaystyle X}$ ist eine analytische Mannigfaltigkeit (dh unendlich differenzierbar und Diagramme können als Potenzreihen ausgedrückt werden ), und ${\ displaystyle \ gamma}$ ist also eine analytische Karte ${\ displaystyle \ gamma}$ soll eine analytische Kurve sein .

Eine differenzierbare Kurve gilt als regelmäßig, wenn ihre Ableitung niemals verschwindet. (Mit anderen Worten, eine reguläre Kurve verlangsamt sich nie bis zum Stillstand oder zieht sich zurück.) Zwei ${\ displaystyle C ^ {k}}$ differenzierbare Kurven

{\ displaystyle \ gamma _ {1} \ Doppelpunkt I \ rightarrow X}

und

{\ displaystyle \ gamma _ {2} \ Doppelpunkt J \ rightarrow X}

sollen gleichwertig sein, wenn es ein Bijektiv gibt ${\ displaystyle C ^ {k}}$ Karte

{\ displaystyle p \ Doppelpunkt J \ rightarrow I}

so dass die inverse Karte

{\ displaystyle p ^ {- 1} \ Doppelpunkt I \ rightarrow J}

ist auch ${\ displaystyle C ^ {k}}$ , und

{\ displaystyle \ gamma _ {2} (t) = \ gamma _ {1} (p (t))}

für alle ${\ displaystyle t}$ . Die Karte ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ wird eine Reparametrisierung von genannt ${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ ;; und dies macht eine Äquivalenzbeziehung auf der Menge aller ${\ displaystyle C ^ {k}}$ differenzierbare Kurven in ${\ displaystyle X}$ . EIN ${\ displaystyle C ^ {k}}$ Bogen ist eine Äquivalenzklasse von ${\ displaystyle C ^ {k}}$ Kurven unter dem Verhältnis der Reparametrisierung.

Algebraische Kurve

Algebraische Kurven sind die Kurven, die in der algebraischen Geometrie berücksichtigt werden . Eine ebene algebraische Kurve ist die Menge der Koordinatenpunkte $x, y,$ so dass $f (x, y) = 0 ist$ , wobei $f$ ein Polynom in zwei Variablen ist, die über ein Feld $F definiert sind$ . Man sagt, dass die Kurve über $F$ definiert ist . Algebraische Geometrie hält normalerweise nicht nur Punkte mit den Koordinaten in $F$ aber alle Punkte mit den Koordinaten in einem algebraischabgeschlossenen Feld $K$ .

Wenn C eine Kurve ist, die durch ein Polynom f mit Koeffizienten in F definiert ist, wird die Kurve als über F definiert bezeichnet .

Bei einer Kurve, die über den reellen Zahlen definiert ist , werden normalerweise Punkte mit komplexen Koordinaten berücksichtigt . In diesem Fall ist ein Punkt mit reellen Koordinaten ein reeller Punkt , und die Menge aller reellen Punkte ist der reelle Teil der Kurve. Es kann daher nur der Realteil einer algebraischen Kurve eine topologische Kurve sein (dies ist nicht immer der Fall, da der Realteil einer algebraischen Kurve möglicherweise getrennt ist und isolierte Punkte enthält). Die gesamte Kurve, dh die Menge ihres komplexen Punktes, ist aus topologischer Sicht eine Oberfläche. Insbesondere die nicht singulären komplexen projektiven algebraischen Kurven werden als Riemann-Oberflächen bezeichnet .

Die Punkte einer Kurve $C$ mit Koordinaten in einem Feld $G$ sollen über $G$ rational sein und können mit $C (G) bezeichnet werden$ . Wenn $G$ das Feld der rationalen Zahlen ist , spricht man einfach von rationalen Punkten . Zum Beispiel kann der letzte Satz von Fermat wie folgt angepasst werden: Für $n > 2$ hat jeder rationale Punkt der Fermat-Kurve vom Grad $n$ eine Nullkoordinate .

Algebraische Kurven können auch Raumkurven oder Kurven in einem Raum höherer Dimension sein, z . B. $n$ . Sie sind als algebraische Varietäten der Dimension eins definiert. Sie können als gemeinsame Lösungen von mindestens $n -1$ Polynomgleichungen in $n$ Variablen erhalten werden. Wenn $n -1$ Polynome ausreichen, um eine Kurve in einem Raum der Dimension $n$ zu definieren , wird die Kurve als vollständiger Schnittpunkt bezeichnet . Durch Eliminieren von Variablen (mit jedem Werkzeug der Eliminierungstheorie ) kann eine algebraische Kurve auf eine ebene algebraische Kurve projiziert werden , die jedoch neue Singularitäten wie Höcker oder Doppelpunkte einführen kann .

Eine ebene Kurve kann auch zu einer Kurve in der projektiven Ebene vervollständigt werden : Wenn eine Kurve durch ein Polynom $f$ des Gesamtgrades $d definiert ist$ , vereinfacht sich $w d f (u / w, v / w)$ zu einem homogenen Polynom $g (u, v, w)$ vom Grad $d$ . Die Werte von $u, v, w,$ so dass $g (u, v, w) = 0$ sind, sind die homogenen Koordinaten der Punkte der Vervollständigung der Kurve in der Projektionsebene, und die Punkte der Anfangskurve sind diejenigen, die $w$ sind nicht Null. Ein Beispiel ist die Fermat-Kurve $u n + v n = w n$ , die eine affine Form $x n + y n = 1 hat$ . Ein ähnlicher Homogenisierungsprozess kann für Kurven in höherdimensionalen Räumen definiert werden.

Mit Ausnahme von Linien sind die einfachsten Beispiele für algebraische Kurven die Kegel , bei denen es sich um nicht singuläre Kurven vom Grad zwei und der Gattung Null handelt. Elliptische Kurven , die nicht singuläre Kurven der Gattung 1 sind, werden in der Zahlentheorie untersucht und haben wichtige Anwendungen für die Kryptographie .

Siehe auch

Koordinatenkurve
Kurvenausrichtung
Kurvenskizze
Differentialgeometrie von Kurven
Galerie der Kurven
Liste der Kurventhemen
Liste der Kurven
Oszillierender Kreis
Parametrische Oberfläche
Pfad (Topologie)
Positionsvektor
Vektorwertfunktion
Kurvenanpassung
Wicklungsnummer

Anmerkungen

^ In der aktuellen mathematischen Verwendung ist eine Linie gerade. Bisher konnten Linien entweder gekrümmt oder gerade sein.

Verweise

^ In (ziemlich altem) Französisch: …] Laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, befreit de toute Spielraum. " Seiten 7 und 8 von Les Quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs Zahlen & Demonstrationen, avec la Korrekturen des Erreurs commises és autres traductions von Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645) .
^ a b Lockwood p. ix
^ Heide p. 153
^ Heide p. 160
^ Lockwood p. 132
^ Lockwood p. 129
^ O'Connor, John J . ; Robertson, Edmund F. , "Spiral of Archimedes" , Archiv für Geschichte der Mathematik von MacTutor , University of St. Andrews.
^ Dieser Begriff kann mehrdeutig sein, da eine nicht geschlossene Kurve eine geschlossene Menge sein kann , ebenso wie eine Linie in einer Ebene
^ "Jordanische Bogendefinition bei Dictionary.com. Dictionary.com ungekürzt. Random House, Inc" . Dictionary.reference.com . Abgerufen am 14.03.2012 .
^ Osgood, William F. (Januar 1903). "Eine Jordan-Kurve der positiven Fläche" . Transaktionen der American Mathematical Society . Amerikanische Mathematische Gesellschaft . 4 (1): 107–112. doi : 10.2307 / 1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .

AS Parkhomenko (2001) [1994], "Line (Kurve)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
BI Golubov (2001) [1994], "Rektifizierbare Kurve" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Euklid , Kommentar und trans. von TL Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
EH Lockwood Ein Buch der Kurven (1961 Cambridge)

Externe Links

Famous Curves Index , Fakultät für Mathematik und Statistik, Universität St. Andrews, Schottland
Mathematische Kurven Eine Sammlung von 874 zweidimensionalen mathematischen Kurven
Galerie der aus Kreisen hergestellten Raumkurven mit Animationen von Peter Moses
Die Galerie der Bischofskurven und anderer sphärischer Kurven enthält Animationen von Peter Moses
Der Artikel der Encyclopedia of Mathematics über Zeilen .
Die Seite Verteileratlas über 1-Verteiler .

[1] In der aktuellen mathematischen Verwendung ist eine Linie gerade. Bisher konnten Linien entweder gekrümmt oder gerade sein.

[2] In (ziemlich altem) Französisch: …] Laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, befreit de toute Spielraum. " Seiten 7 und 8 von Les Quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs Zahlen & Demonstrationen, avec la Korrekturen des Erreurs commises és autres traductions von Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645) .

[Lockwood-3] Lockwood p. ix

[4] Heide p. 153

[5] Heide p. 160

[6] Lockwood p. 132

[7] Lockwood p. 129

[8] O'Connor, John J . ; Robertson, Edmund F. , "Spiral of Archimedes" , Archiv für Geschichte der Mathematik von MacTutor , University of St. Andrews.

[9] Dieser Begriff kann mehrdeutig sein, da eine nicht geschlossene Kurve eine geschlossene Menge sein kann , ebenso wie eine Linie in einer Ebene

[10] "Jordanische Bogendefinition bei Dictionary.com. Dictionary.com ungekürzt. Random House, Inc" . Dictionary.reference.com . Abgerufen am 14.03.2012 .

[11] Osgood, William F. (Januar 1903). "Eine Jordan-Kurve der positiven Fläche" . Transaktionen der American Mathematical Society . Amerikanische Mathematische Gesellschaft . 4 (1): 107–112. doi : 10.2307 / 1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .

[a]